结构的稳定计算课件

第十五章结构的稳定计算2023/7/2813:03:152一.第一类稳定问题(分支点失稳)lEIP---临界荷载稳定平衡随遇平衡不稳定平衡

不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳定性称为失稳(屈曲).15.1绪论2023/7/2813:03:153分支点失稳的特征PP两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。---第一类稳定问题完善体系lEIP2023/7/2813:03:154二.第二类稳定问题(极值点失稳)偏心受压

第二类稳定问题PP有初曲率非完善体系2023/7/2813:03:155三.分析方法大挠度理论。小挠度理论。静力法能量法四.稳定自由度

在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的独立几何参数的数目,称为稳定自由度。P1个自由度PP2个自由度无限自由度2023/7/2813:03:156例1、分支点失稳示例失稳变形：一、运用大挠度理论分析：根据：因解一：平衡路径I解二：平衡路径II2023/7/2813:03:157失稳变形：二、运用小挠度理论分析：根据：因解一：平衡路径I解二：平衡路径II小挠度、小位移情况下：2023/7/2813:03:158例2、极值点失稳示例失稳变形：一、运用大挠度理论分析：根据：因解得：2023/7/2813:03:159一.一个自由度体系小挠度、小位移情况下：Pl1抗转弹簧A----稳定方程（特征方程）---临界荷载15.2静力法2023/7/2813:03:1510二.N自由度体系（以2自由度体系为例）----稳定方程---临界荷载lAPlB---失稳形式P11.6182023/7/2813:03:1511三.无限自由度体系Pl挠曲线近似微分方程为QPQ或令通解为由边界条件得稳定方程2023/7/2813:03:1512PlQPQ得稳定方程经试算2023/7/2813:03:1513静力法举例例1.

试用静力法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为k。分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP=2qaEI=∞EI=∞qFP=2qaqθ失稳变形图2023/7/2813:03:1514可解得临界荷载为：FP=2qaqθ通过对A点求矩有：A2023/7/2813:03:1515例2.试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为k。ABCFP分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=∞失稳变形图ABCFPyθθ2023/7/2813:03:1516可解得临界荷载为：通过对竖向取力的平衡有：2023/7/2813:03:1517例3.试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆I=∞，刚度系数为k。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形图ABCDFPABCDFP解：2023/7/2813:03:1518代入上式可得：通过对变形后的B’、C’点求矩有：由行列式为零可得：ABCDFP2023/7/2813:03:1519例4.试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程（k0、kr为弹性抗转刚度，k为弹性抗侧移刚度）。并讨论k、

k0、kr分别为常数或等于零或等于∞时，弹性压杆的支承状况及相应的稳定方程是什么。

取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，采用小挠度理论可得弹性平衡微分方程。解：2023/7/2813:03:1520通解为：边界条件为：令：则：2023/7/2813:03:15212023/7/2813:03:1521由整体平衡条件整理后得：可得稳定特征方程：2023/7/2813:03:1522分情况讨论：一、当k=常数，且

k0、kr为如下取值时的稳定方程k0=0、

kr=常数；k0=0、

kr=0；1-11-21-3k0=∞、

kr=0；2023/7/2813:03:1523二、当k=0，且

k0、kr为如下取值时的稳定方程k0=0、

kr=常数；2-12-22-3k0=∞、

kr=0；k0=∞、

kr=∞；2023/7/2813:03:15243-13-23-3k0=0、kr=∞；k0=∞、

kr=0；k0=∞、

kr=∞.3-4k0=0、

kr=0；三、当k=∞，且

k0、kr为如下取值时的稳定方程2023/7/2813:03:1525一.势能原理2.外力势能1.应变能P弯曲应变能拉压应变能PP剪切应变能

外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功.y(x)q(x)3.结构势能15.3能量法2023/7/2813:03:1526结构势能例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数.P1llA解:杆件轴力杆件伸长量A点竖向位移外力势能应变能2023/7/2813:03:1527结构势能P1llA杆件轴力杆件伸长量A点竖向位移外力势能应变能4.势能驻值原理设A点发生任意竖向位移是的函数.杆件伸长量杆件轴力应变能外力势能结构势能2023/7/2813:03:15284.势能驻值原理设A点发生任意竖向位移是的函数.杆件伸长量杆件轴力应变能外力势能结构势能

在弹性结构的一切可能位移中，真实位移使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移

对于稳定平衡状态,真实位移使结构势能取极小值.2023/7/2813:03:1529分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP=2qaEI=∞EI=∞qFP=2qaqθ失稳变形图例6.

试用能量法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为k。能量法举例2023/7/2813:03:1530则结构势能为：FP=2qaqθ变形能为：A外力势能为：由驻值条件有：可解得临界荷载为：解：2023/7/2813:03:1531例7.试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为k。ABCFP分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=∞失稳变形图ABCFPyθθ2023/7/2813:03:1532则结构势能为：变形能为：外力势能为：由驻值条件有：可解得临界荷载为：解：2023/7/2813:03:1533例8.试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆I=∞，刚度系数为k。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形图ABCDFPABCDFP解：2023/7/2813:03:1534则结构势能为：变形能为：外力势能为：ABCDFP2023/7/2813:03:1535由驻值条件有：由行列式为零可得：ABCDFP2023/7/2813:03:1536起重机塔架10.4组合压杆的稳定2023/7/2813:03:1537钢桁架桥2023/7/2813:03:1538基坑开挖格构式立柱2023/7/2813:03:1539缀板式肢杆缀条缀板缀条式组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组合压杆具体可分为缀条式和缀板式两种。2023/7/2813:03:1540一.缀条式组合压杆z假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线：则组合杆上任意点的弯矩、剪力和轴力为：上式中：b为组合杆的肢宽，θ为斜缀条与水平轴的夹角。---上斜缀条截面积.---下斜杆截面积.应变能为：将轴力代入后得：2023/7/2813:03:1541一般缀条式组合杆的结间数较多，可取另外：则应变能为：外力势能：I为两根肢杆的截面对z轴的惯性矩.令，可得：z2023/7/2813:03:1542若写成欧拉问题基本形式当，时，z2023/7/2813:03:1543若用r

代表两肢杆截面对整个截面形心轴z的回转半径,取并且,一般为,故可取并引入长细比若采用换算长细比

,则有若写成欧拉问题基本形式2023/7/2813:03:1544上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.若用r

代表两肢杆截面对整个截面形心轴z的回转半径,取并且,一般为,故可取并引入长细比若采用换算长细比

,则有2023/7/2813:03:1545若采用换算长细比

,则有二.缀板式组合压杆可取刚架作为计算结构，运用能量法可得到其临界荷载值为：上式中：2023/7/2813:03:1546组合结构稳定计算举例1.计算图示结构的临界荷载。解：①简化模型如右所示，无限个稳定自由度.②稳定的特征方程.③

计算结构临界荷载.2023/7/2813:03:15472.计算图示结构的临界荷载。解：①简化模型如右所示，无限个稳定自由度.②稳定的特征方程.③

计算结构临界荷载.2023/7/2813:03:1548详细解题过程：

取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方程。通解为：令：则：2023/7/2813:03:1549边界条件为：整理后得：可得稳定特征方程：可得临界荷载：2023/7/2813:03:15503.计算图示结构的临界荷载。解：①简化模型如右所示，一个稳定自由度.②静力法求解.③

计算结构临界荷载.2023/7/2813:03:1551解：①一个稳定自由度，失稳变形后的图如上所示.②结构临界荷载为：4.计算图示结构的临界荷载。2023/7/2813:03:1552解：①产生单位