联结AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,联结CE、D_第1页
联结AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,联结CE、D_第2页
联结AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,联结CE、D_第3页
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插入专题训练八—真题演练—9，原稿是照片，无答案❾（20重庆A26）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，联结AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，联结CE、DE，点F是DE的中点，联结CF．（1）求证：CF＝；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF、BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA＋PB＋PC的值最小，当PA＋PB＋PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．图1图2备用图❾（1）如图1，在等腰直角三角形ADE中，DE＝．因为AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，所以△BAD绕点A逆时针旋转90°可以与△CAE重合．根据对应线段所在直线的夹角等于旋转角，可知∠BCE＝90°．所以CF是Rt△DCE斜边上的中线，CF＝＝．第9题图1第9题图2第9题图3（2）如图2，由CF＝＝DF，得∠FCD＝∠FDC．如图3，因为∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠FDC，∠B＝∠ADE＝45°，所以∠BAD＝∠FDC．等量代换，得∠BAD＝∠FCD．又因为∠B＝∠B，所以△BAD∽△BCG．所以．所以BG＝．设BD＝4m，DC＝2m，那么AB＝AC＝．所以BG＝＝．所以AG＝BG－AB＝＝．所以．（3）如图4，将△PAC绕点C顺时针旋转60°得△P′A′C，那么点A′的位置是确定的．联结PP′，所以△CPP′是等边三角形．所以PA＋PB＋PC＝P′A′＋PB＋P′P．根据两点之间线段最短，可知BP＋PP′＋P′A′＞BA′．如图5，当B、P、P′、A′四点共线时，BP＋PP′＋P′A′的值最小，最小值为BA′．此时∠BPC＝∠CP′A′＝∠CPA＝∠BPA＝120°．第9题图4第9题图5如图6，△ABA′是顶角为150°的等腰三角形，所以∠1＝∠2＝15°．所以∠4＝45°－15°＝30°．又因为∠3的邻补角等于120°，所以∠3＝60°．所以AD⊥BC．所以AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高．所以四边形ADCE是正方形（如图7所示）．设正方形的边长为x．在Rt△PBD中，由

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