海东市重点中学2022-2023学年数学高二下期末达标测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知中，，，，点是边的中点，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．42．焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A．或 B．C．或 D．3．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则异面直线与所成的角是（）A． B． C． D．4．已知复数，，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．5．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（）A．6 B．4 C．94 D．966．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（）A． B． C． D．7．某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24 B．30 C．32 D．358．设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），,若任取，则满足的概率是()A． B． C． D．9．若，则的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．810．已知随机变量服从二项分布，且，则（）A． B． C． D．11．已知集合，，则A． B． C． D．12．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有()A．种 B．种 C．种 D．种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______14．已知函数，则______．15．已知直线：，抛物线：图像上的一动点到直线与到轴距离之和的最小值为________.16．已知边长为的正的顶点在平面内，顶点，在平面外的同一侧，点，分别为，在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若是以角为直角的直角三角形，则的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451701781661761807480777681（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．18．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆，右焦点为．（1）若其长半轴长为，焦距为，求其标准方程．（2）证明该椭圆上一动点到点的距离的最大值是．19．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且.（I）求直线的方程；（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.20．（12分）某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在内的植物有8株,在内的植物有2株.(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在内的植物中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望;(Ⅲ)据市场调研,高度在内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?21．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若，且，证明：.22．（10分）已知椭圆的离心率为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：与椭圆交于A，B两点，是否存在实数，使线段AB的中点在圆上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用正弦定理求出的值，用基底表示，，则可以得到的值.【详解】解：在中，由正弦定理得，，即，解得，因为，，所以故选B.【点睛】本题考查了正弦定理、向量分解、向量数量积等问题，解题的关键是要将目标向量转化为基向量，从而求解问题.2、A【解析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．3、B【解析】

底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以就是异面直线PB与AC所成的角.【详解】解：由题意：底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四边形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角.

设PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等边三角形.

所以∠ACM等于60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°.

故选：B.【点睛】本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法.属于基础题.4、B【解析】

根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，，，且，所以，，化简得，，当时，取得最大值为.【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.5、B【解析】

由已知根据正态分布的特点，可得，根据对称性，则，乘以样本个数得答案．【详解】由题意，知，可得，又由对称轴为，所以，所以成绩小于分的样本个数为个．故选：B．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量和的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题．6、C【解析】

作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD1＝BN1+DN1﹣1BN•DN•cos∠BND，则BD＝1．故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故．因此，三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为．故选：C．【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．7、C【解析】分析：本题考查的知识点是分层抽样，根据分层抽样的方法，由样本中高一年级学生有8人，所占比例为25%，即可计算.详解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x人，则，解得：.故选：C.点睛：分层抽样的方法步骤为：首先确定分层抽取的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，其中按比例是解决本题的关键.8、C【解析】由题意得，，则，即，，如图所示，作曲线，交直线于点，，则满足事件的实验区域为曲边形，其面积为，所以所求概率为，故选C.9、C【解析】

利用均值不等式求解即可．【详解】∵（当且仅当n＝3时等号成立）故选：C．【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．10、A【解析】

由二项分布与次独立重复实验的模型得：，，则，得解．【详解】因为服从二项分布，，，所以，，即，，则，故选：A．【点睛】本题考查二项分布与次独立重复实验的模型，属于基础题．11、C【解析】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.12、C【解析】

根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果．【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有种抽取方法，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种；故选：C．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】：，即14、.【解析】

由题设条件，先求出，．【详解】由题，可得则即答案为【点睛】本题考查分段函数的函数值求法，解题时要认真审题，仔细解答，是基础题．15、1【解析】

首先根据抛物线的性质，可将抛物线上的点到直线和轴的距离和转化为抛物线上的点到直线的距离和到焦点的距离和减1，再根据数形结合求距离和的最小值.【详解】设抛物线上的点到直线的距离为，到准线的距离为，到轴的距离为，抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等，，,如图所示：的最小值就是焦点到直线的距离，焦点到直线的距离，所以有：的最小值是1，故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的几何性质，意在考查转化与化归，关键是抛物线定义域的转化，属于中档题型.16、【解析】分析：由题意找出线面角，设BB′=a，CC′=b，可得ab=1，然后由a的变化得到A′B′的变化范围，从而求得tanφ的范围．详解：如图，由CC′⊥α，A′B′⊂α，得A′B′⊥CC′，又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′，∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，设BB′=a，CC′=b，则A′B′1=4﹣a1，A′C′1=4﹣b1，设B′C′=c，则有，整理得：ab=1．∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b，tanφ=，在三角形BB′A′中，∵斜边A′B为定值1，∴当a最大为时，A′B′取最小值，tanφ的最小值为．当a减小时，tanφ增大，若a≤1，则b≥1，在Rt△A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾，∴a＞1，此时A′B′＜，即tanφ．∴tanφ的范围为．即的最小值为故答案为：．点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）30；（2）18；（3）分布列见解析，期望为．【解析】

分析：（1）设乙厂生产的产品数量为件，由，即可求得乙厂生产的产品数量；（2）由题意，从乙厂抽取的件产品中，编号为的产品是优等品，即件产品中有件是优等品，由此可估算出乙厂生产的优等品的数量；（3）可能的取值为，求得取每个随机变量时的概率，得到分布列，利用公式求解数学期望．详解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得所以乙厂生产的产品数量为30件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有3件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）（3）可能的取值为0，1，2∴的分布列为：012∴点睛：本题主要考查了统计的应用，以及随机变量的分布列和数学期望的求解，其中正确理解题意，合理作出运算是阶段的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.．【详解】请在此输入详解！18、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）由题设条件可得出、的值，进而可求出的值，由此得出椭圆的标准方程；（2）设点，将该点代入椭圆的方程得出，并代入的表达式，转化为关于的函数，利用函数的性质求出的最大值.【详解】（1）由题意，，，则，．椭圆的标准方程为；（2）设，，，当时，．【点睛】本题考查椭圆方程的求解及椭圆方程的应用，在处理与椭圆上一点有关的最值问题时，充分利用点在椭圆上这一条件，将问题转化为二次函数来求解，考查函数思想的应用，属于中等题.19、（1）或；（2）【解析】

（I）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出．解法二：利用焦半径公式可得．（II）II）设l2的方程为与椭圆联立：．假设存在点T（t，0）符合要求，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根与系数的关系即可得出．【详解】解：（I）设的方程为与椭圆联立得直线经过椭圆内一点，故恒成立，设，则，，解得，的方程为或；解2：由焦半径公式有，解得.（II）设的方程为与椭圆联立：，由于过椭圆内一点，假设存在点符合要求，设，韦达定理：，点在直线上有，即，，解得.【点睛】解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．20、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)方案一付费更便宜.【解析】

(Ⅰ)由题目条件及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y．(Ⅱ)由题意可知，高度在[80，90）内的株数为5，高度在[90，100]内的株数为2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．(Ⅲ)根据(Ⅰ)所得结论，分别计算按照方案一购买应付费和按照方案二购买应付费，比较结果即可得按照方案一付费更便宜.【详解】(Ⅰ)由题意可知，样本容量,，.(Ⅱ)由题意可知,高度在[80,90)内的株数为5,高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数X的可能取值为1,2,3,则，，,∴X的分布列为：X123P故.(Ⅲ)根据(Ⅰ)所得结论，高度在内的概率为，按照方案一购买应付费元，按照方案二购买应付费元，故按照方案一付费更便宜.【点睛】本题考查频率分布直方图、分布列和数学期望，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及一组的数据计算总体，求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求