浙江省杭州市寿昌中学高三数学理月考试卷含解析

浙江省杭州市寿昌中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（） A．45 B． 50 C． 55 D． 60参考答案：分析： 根据频率分布直方图，利用频率=，求出样本容量来．解答： 解：根据频率分布直方图，得；不低于80分的频率是0.015×10=0.15，∴该班人数是=60．故选：D．点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率、频数与样本容量的关系进行解答，是基础题．2.i为虚数单位，复数在复平面内对应的点到原点的距离为(

)A． B． C．1 D．参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==在复平面内对应的点到原点的距离为=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知函数，若命题“且，使得”为真命题，则下列结论一定正确的是

(A)

(B)a<0

(C)b≤0

(D)b>l参考答案：B略4.若三棱锥P－ABC的底面ABC是正三角形，则三个侧面的面积相等是三棱锥P－ABC为正三棱锥的（

）A．充分必要条件

B．充分不必要条件C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要的条件参考答案：答案:A5.某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为(

)A． B． C． D．参考答案：C试题分析：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：

条件

循环前

0/1

第1圈

1

否

2

第2圈

4

否

3

第3圈

11

否

4

第4圈

26

是

可得，当时，．此时应该结束循环体并输出的值为26

所以判断框应该填入的条件为：

故选C．考点：程序框图6.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数的个数为A.1

B.2

C.

3

D.4参考答案：C略7.在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题：（1）若，，则的最大值为；（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为；(3)若，点为直线上的动点，则的最小值为．其中为真命题的是A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）

C．（1）(3)

D．(2)(3)参考答案：A8.执行如图所示的程序框图，则输出的n值为(

)（注：“n=1”，即为“n←1”或为“n：=1”．）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由框图的流程依次求得其运行的结果，直到满足条件S＜0，求出输出的n值．【解答】解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=100﹣2，n=2；第二次运行S=100﹣2﹣22，n=3；第三次运行S=100﹣2﹣22﹣23，n=4；第四次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24，n=5；第五次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25=38，n=6；第六次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣26=﹣26＜0，n=7，满足条件s＜0，程序运行终止，输出n=7．故选D．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断程序运行的功能是关键．9.已知全集U＝R，集合则()∩B的子集个数为A.2

B.4

C.8

D.16参考答案：B10.在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间内的概率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的最大值是

．参考答案：4【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方，∴当动点（x，y）为A（0，2）时，z有最大值为4．故答案为：4．12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则_______；若，则_________．参考答案：,13.已知，则的取值范围为

．参考答案：由题意得，令，则，且，所以，，即.14.i为虚数单位，复数=

．参考答案：1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数代数形式的除法法则可求．【解答】解：==1+i，故答案为：1+i．15.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E、F分别为AC、PB的中点，，则球O的体积为______.参考答案：【分析】可证，则为的外心，又则平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.【详解】解：，，，因为为的中点，所以为的外心，因为，所以点在内的投影为的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．16.已知函数f(x)＝＋x，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则a的取值范围是_________参考答案：或略17.关于函数（1）是f(x)的极小值点；（2）函数有且只有1个零点；（3）恒成立；（4）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则．上述说法正确的序号为_______．参考答案：（1）（2）（4）【分析】利用导数研究函数的极值点、单调性以及零点，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】（1）因为，故可得，令，解得，故可得在区间单调递减，在单调递增，故是的极小值点；故（1）正确；（2）令，故可得在恒成立，故在单调递减；又当时，，当时，，故可得在区间上只有一个零点；故（2）正确；（3）令，故可得在恒成立，故可得在定义域上单调递减；又当，故区间不恒成立，即在区间上不恒成立；故（3）错误.（4）由题可知，故可得，则，令，解得，故可得在区间单调递减，在区间单调递增.故，故在单调递增.要满足题意，只需，等价于在上至少有两个不同的正根，也等价于与直线在区间至少有两个交点.又，故可得，令，故可得在区间恒成立，故可得在上单调递增，又，故可得区间上单调递减，在区间上单调递增.则要满足题意，只需，又因为，则.故（4）正确.综上所述，正确的有：（1）（2）（4）.故答案为：（1）（2）（4）.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点和零点、方程的根、参数的范围，属压轴题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B?A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈?，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2}，如果A∪B=A，则B?A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．19.(12分)已知函数f(x)=()().(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域.(2)若f(x)≥m对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.参考答案：(1)f(x)=(2log4x-2)(log4x-),令t=log4x,x∈[2,4]时,t∈[,1],此时,y=(2t-2)(t-)=2t2-3t+1,y∈[-,0].(2)由题知,f(x)≥mlog4x,即2t2-3t+1≥mt对t∈[1,2]恒成立,m≤2t+-3对t∈[1,2]恒成立,易知g(t)=2t+-3在t∈[1,2]上是增加的,g(t)min=g(1)=0,∴m≤0.略20.（本小题满分14分）

已知函数f（x）=（k为常数，e=2．71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（l,f（l））处的切线与x轴平行．

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意0<x<1，g（x）<1+e－2参考答案：解：（I），由已知，，∴.………………（4分）（II）由（I）知，.设，则，即在上是减函数.由知，当时，从而；当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.………………（8分）（III）由（II）可知当时，中的分母＞1，且，∴.设，，则.当时，；当时，.所以，当时，取得最大值.所以.综上，对任意，.……………………（14分）

略21.（12分）已知函数在上是增函数。（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设，求函数的最小值。参考答案：解析：（Ⅰ）。∵

在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上恒成立，即∵（当且仅当时取等号），所以。（Ⅱ）设，则（显然）当时，在区间[1，3]上是增函数，所以h(t)的最小值为。当时，因为函数h(t)在区间是增函数，在区间是也是增函数，又h(t)在[1，3]上为连续函数，所以h(t)在[1，3]上为增函数，所以h(t)的最小值为h(1)=∴22.（12分）已知数列{an}为等差数列，且a1=5，a2=9，数列{bn}的前n项和Sn=bn+．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an|bn|，求数列{cn}的前n项的和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由d=a2﹣a1=4，利用等差数列通项公式即可求得数列{an}通项公式，则bn=Sn﹣Sn﹣1，则bn=﹣2bn﹣1，由等比数列通项公式即可求得{bn}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：cn=（4n+1）2n﹣1，利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项的和Tn．【解答】解：（1）由数列{an}为等差数列，公差d=a2﹣a1=4，则数列{an}的通项公式，an=a1+（n﹣1）d=4n+1，由Sn=bn+，当n≥2时，Sn﹣1=bn﹣1+，则bn=Sn﹣Sn﹣1=（bn+）﹣（bn﹣1+）=bn﹣bn﹣1，则bn=﹣2bn﹣1，当b=1时，b1=b1+．b1=1，数列{bn}以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴数列{bn}的通项公式bn=（﹣2）n﹣1；（Ⅱ）cn=