2023数学建模乘公交-看奥运(含代码)

乘公交看奥运

摘要

本设计要解决的是合理给出两站点间的最正确路线选择问题，即给出一条经济且省

时的路线。在处理此问题之前，我们根据调查和分析，对影响线路选择的因素进行筛选,

最终确定了以下三个影响较大的因素：第一是换乘次数；第二是乘车时间；第三是乘车

费用。依据各因素对路线选择的影响程度，我们按不同的权重对它们进行考虑。从实际

情况分析，人们通常宁愿多乘坐几站地也不愿换车，所以我们赋予换乘次数较大的权重。

为了解决换乘次数最少，乘车时间相对较短、乘车费用相对较少的问题，经过尝试与探

索，我们采用了现代分析的方法，对起始站和终点站有无相交站点进行分类讨论，归纳

出直达，换乘一次，换乘两次的情况（三次以上的情形可以类推），并通过Matlab编制

程序，给出了任意两站点间的最正确乘车路线以及换车的地点，最后还提出了进一步的

意见和建议。

关键词：最正确路线换乘次数乘车时间乘车费用

一、问题的重述

第29届奥运会明年8月将在北京举行，作为城市枢纽的公共交通承当着非

常重的运输任务。近年来，北京市的公交系统有很大的开展，公交线路的条数和

公交车数量在迅速增多，给人民生活带来便利的同时，也面临多条线路得选择问

题，有时出行往往还需要转乘多辆公交车才能到达目的地。如何在短时间、换乘

次数最少、本钱最低的情况到达目的地，是人们所关注的问题。

因此，我们通过建立线路选择的模型与算法，设计一套自主查询计算机系统,

查询到出行时所需的最正确公交路线及换乘方法，给人们出行节约更多的时间和

金钱。

要求：

1、仅考虑公汽线路，建立任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与

算法。并求出以下6对起始站一终到站之间的最正确路线。

(1)S3359fsi828(2)SI557fs0481(3)S0971-S0485

(4)S0008-S0073(5)S0148^S0485(6)SOO87fs3676

2、同时考虑公汽与地铁线路，解决1中问题。

3、如果所有站点间的步行时间，建立任意两站点间路线选择问题的数学模

型。

二、模型的假设

1、所有公交线路的开班、收班时间相同。

2、公车不会因为堵车等因素延长行驶时间。

3、各条线路不会有新的调整与变化。

4、环线可以以任意站作为起点站和终点站，并且是双向的。

5、除环线以外的线路，到达终点站后，所有的人都必须下车。

6、人们对换乘车次数尽量少的偏好程度总是大于对花费时间相对短和花费

金钱相对少的偏好程度。

7、同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘，且无需支

付地铁费。

三、符号的说明

符号表示意义

第i条包含初始站点的线路，i=1,2,,m

LB,第7条包含目标站点的线路，；=1,2,,5

符号表示意义

LCk第左条中间线路，攵=1,2,，卬

ailL4,上的第/个站点，1=1,2,,m

bJrLB,.上的第7•个站点，r=l,2,,t

%L以上的第〃个站点，〃=1,2,“

七乘客在第i段线路上乘坐的站数

y乘客在一次地铁线路上乘坐的总站数

zi公汽换乘公汽的次数

Z2地铁换乘地铁的次数

Z3地铁换乘公汽的次数

Z4公汽换乘地铁的次数

四、问题的分析、模型的建立及求解

4.1问题—*

4.1.1问题一的分析

相邻公汽站平均行驶时间（包括停站时间）：3分钟；公汽换乘公汽平均

耗时：5分钟（其中步行时间2分钟）。

公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段估计票

价为：0〜20站：1元；21〜40站：2元；40站以上：3元。

题目要求设计任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。

对于附录中的1.1公汽线路信息.txt中的数据进行处理后，以文本文件形

式导入Matlab中，找到了站点与站点之间的关系。进一步发现说明无论试图产

生邻接矩阵或边权矩阵因数据太庞大而可行性极低，其运行时间长达50分钟，

故考虑按题目给的路线来建立站点矩阵并对此矩阵进行处理后能够清晰有效地

应用此矩阵。

4.1.2模型的建立及求解

模型一

设了为乘坐公交线路的费用函数：

0,为=0;

1,0<X,.<20;

/=<2,20<x,.<40/

3,%,.>40

总时间函数：

3

T=3^X,.+5ZI(0<zt<2)(1)

i=l

总费用函数：

3

F=£f(xJ(2)

i=\

其中天表示乘客在公交线路L,上乘坐的站数；Z1表示公汽换乘公汽的次数。

目标：找出任意给定的两站点的乘车线路，使T和尸相对最小。

算法思路：由于人们的对换乘车次数尽量少的偏好程度总是大于对花费时间

和金钱相对少的偏好程度，我们将优先考虑换乘车次数尽量少，然后再考虑花费

时间相对短、花费金钱相对少，对得出的所有结果中进行筛选。换乘次数的大概

思路及步骤如下：

将所有包含初始站点囱,的线路以,L4,,必,建成一个集合S,1</0<»,

i=l,2,，相，所有包含目标站点与的线路,L纥建成一个集合G,

14而4/，j=l,2,,5o

5={必,以，,1A,,},G={LBt,LB2,.,LBs},

LA=a”fq2T—>ain,i=1,2,,m,

LBt—bjX—»hj2—»■—>b.t,j=1,2/,so

1、直达的线路。

当Gw0时，存在L4：、LB,,1WjWs,使得即L4；、

LJ为同一线路。此线路既包含初始站点”又包含目标站点加)。

假设那么，此线路为所求直达线路。

假设/°>“，或者当S「G=0时，考虑换乘一次的线路。

2、换乘一次的线路。

当有L4,和乙鸟相交时，存在LA,、LBj,1<j<s,有％e/4.及

bjreLBj,l<l<n,l<r<t»使得%=b〃，即为、如为同一站点。

假设/。<”〃，1Kr</，那么，从初始站点a通乘坐线路M,.,行驶至站点小，

即在站点乙，换乘线路L吗至目标站点^即

假设不满足％<”〃，14「<彳），或者，当无任何LA,和心功相交时，考虑换

乘两次的线路。

3、换乘两次的线路。

记LC[,LC],,LCW,LCk=Qi—>c*2-ckv,々=1,2,,,w>有LCk^S,

匕生G,k=l,2,，卬，且满足LC；.与LA,、LB,都相交时，即

线路LCk既不包含初始站点气又不包含目标站点bjro,\<lQ<n,\<r0<ta

但是

存在％,GLCk及aiteLA,使得=%,

存在Q,,eLCk及"GLB,,使得%=bjr,

即%、%为同一站点，且小z、%.为同一站点。\<i<m,\<j<s,

1<M,<v,1<M2<v,l<l<n,l<r<to

假设/（）</<〃，\<ut<u2<v,\<r<r0,那么，从初始站点也乘坐以线路,

行驶至站点即，即在站点为,,换乘〃；线路至站点%°,即在站点匕，换乘L鸟

线路至目标站点勺均。即

假设不满足1<«1<H2<v,\<r<r{},或者，当不存在满足条件的

LQ时，说明需要换乘三次才能够到达目标站点。换乘三次的线路的模型建立原

理是相同的。由于几乎没有这样的情况，故我们不作考虑。

通过考虑花费的时间或金钱，在得出的多条结果中进行筛选。

4.1.3问题一的结果

由于公交线路的固定性、重叠性和可选择性，使得公交乘客出行线路选择行

为具有相当的复杂性。由公交乘客的路径选择特性可知，乘客总是根据个人偏好

选择出行路线（或希望出行时间最少,或希望换乘次数最少，或希望出行费用最低）,

可称之为最短路因素。同时，由于公交网络的复杂性,使得最短路判断出现差异,

而个人选择行为带有一定的随机性，所以多路径选择较为符合乘客的行为特点。

另外一个方面，当乘客要进行一次换乘时，他会考虑到时间或者费用等问题，但

当乘客必须二次换乘时，时间是决定乘客选择路线的唯一因素，所以在这种情况

下我们只考虑途经站点最少的二次转乘路线。基于以上考虑，我们对每道小题都

给出了多种乘车路线，以供乘客根据自己的需要选择。

（程序见附录8.1、附录8.2、附录8.3）

（1）S3359fsi828

金

线

时

初始

站

钱

路

公汽线路公汽线路）公汽线路间

换乘站途经站数’换乘站））目标站

(〔(

条

分

途经站数途经站数元

)〕)

L436b<T

1S3359->S1784"17s>S18281013

311

S3359〃36下行》L167下彳丁_>$1828

2S17841013

311

S3359〃05上行_>L011下仃L217下行〉51828

3S3515S1784943

12151

S3359.小。”上行_>L011下行〉L217Tfi

4S0359S1784>S1828943

11161

3359乙°15上行>L011下行、067下行,s1828

5S3515S1784943

12151

评价说明：经Matlab运行程序，得出了5条优化线路。其中，1、2条换乘

一次，3、4、5条换乘两次，3、4、5条线路比1、2条线路多换乘一次，所花

的金钱相同，但是节省了7分钟时间。

乘客根据自己的需要进行选择。

（2）S1557-S0481

金

时

线

初始

上

钱

间

路公汽线路公汽线路）公汽线路

坨＞换乘站（换乘站＞）目标站

(途经站数,((

条

分

途经站数途经站数元

)))

S1557—363下优L417上行4254上行_>SO481

1>S1919,S24241123

12175

SI557—经63下任.L417上行L447上行>S0481

2>S1919,S24241123

12175

nc-7L363下行L417上行一〃吐

3SC11557---------------->S1919,S242446504811123

12175

4S1557」36；『亍一L417上行L516上行,S（）4811123

回,S2424

175

_L363Th_L417上行於12下行->S0481112

5S1557>S1919S24243

12175

6S1557L084下行)L417上行一/4上红_>SO4811123

S1919S2424

12175

7_L08£HJ_L417上行一丝"上红_》SO4811123

S1557>S1919------------------>S2424

12175

8SI557一^”4下包一L417上行―@6上红_>S04811123

81919S2424

12175

_L08£HT_L417上行一空11红7S0481112

9S1557>S1919------------------>S24243

12175

评价说明：经Matlab运行程序，得出了9条优化线路。乘坐这9条线路所

花费的时间和金钱都相同，且均需要换乘两次。不存在换乘一次的线路。

乘客可以选择任意一条线路。

⑶S0971-S0485

金

时

线

钱

初始站匕臂＞换乘站-公汽线路、公汽线路）目标站间

路换乘站

途经站数途经站数途经站数((

分

元

〕

〕

1S0971—竺13用二〉.一下付—>$04851283

S2184317

2021

__LOi3Th_—丝口下红_一＞S0485

2sog71>S09921313

2220

3S0971-1013下行》L007上行，什7下红__>S0485943

S3405------------------>S2515

15122

4S0971119上行)L008下仃—日9上红_,SO485943

S1520S2265

81713

S0971119上行)L008下仃人士9上红_>SO48594

5S1520------------------>S26543

81911

S097]LU9上行)L008下仃」纱9上口＞S048594

6S1520------------------>S17293

82010

7S0971一上红一＞L008下仃£469上行>S048594

S1520S37663

8219

S0971-”口下彳亍―〉L008下仃_犷尹上包一S0485

881520------------------>S2265943

91712

9S097]一工094下彳亍一L008下仃_少9上红〉S0485943

S1520------------------>S2265

91712

评价说明：经Matlab运行程序，得出了9条优化线路。其中，1条换乘一次,

3~9条换乘两次，3~9条线路比1条线路多换乘一次，所花的金钱相同，但是节

省了37分钟时间。

乘客根据自己的需要进行选择。

⑷S0008-S0073

时

金

间

初始站弋普乎恒一皿线路-（钱

线换乘站.一£.空畅_>）目标站

〔

〔

路

分

途经站数途经站数元

〕

〕

1S0008—空.下3,红一一出7上红PS0073832

S2083

1412

2一空尹上红_>S00732

S0008——->S226383

719

S0008——59下行一一竺?8T红一〉soo73

3S2683832

179

4S0008口59下行)Z474上行>soo73

S0400832

1016

S0008—下.红—>_必64上红

5S2559S0073833

215

S0008〃98上行_>L002上行L345上行>S0073

6S1383S2833823

11013

7S0008〃98上行_>L002上行上行_>SOO823

S1691------------->S2833L34573

2913

S0008〃98上行一L002上行L345上行_>S007382

8S3766S28333

3813

S0008—463下行一>L002上行—^^^-»S0073

9S1383------------------>S2833823

11013

S0008期3下沅>L002上行L345上行_>Soo's

10S1383S2833823

11013

评价说明：经Matlab运行程序，得出了10条优化线路。其中，1~5条换乘

一次，所花费的时间相同，但是1~4条比5条节省了1元钱。6~10条换乘两次,

所花的金钱比1~4条多1元，只节省了1分钟时间。

所以建议乘客选择1~4条。

⑸SO148fs0485

金

时

线

钱

初始站匕臂>换乘站-公汽线路）（公汽线路、、口厂斗间

路换乘站途经站数>）目标站

((

分

途经站数途经站数元

))

SO148—空8上包一L156上行Z417下行>$0485

1S0036------------------>S22101063

14153

2S0148-妤8上仇今L156上行106

S0036------------------>S3332—>S04853

14162

3S0148-308上彳亍_>L156上行―必卫下红_>1063

S003€------------------>S3351SO485

14171

评价说明：经Matlab运行程序，得出了3条优化线路。乘坐这3条线路所

花费的时间和金钱都相同，且均需要换乘两次。不存在换乘一次的线路。

乘客可以选择任意一条线路。

(6)SOO87fs3676

金

时

线

初始

站

钱

间

路公汽线路）公汽线路）公汽线路

途经站数,换乘站途经站数,乘站>）目标站

〔((

条

分

途经站数元

〕

〕

〕

83676

S0087国咒">652

下行>

>S1893"09S3676712

10

S0087上—国―卬心行—>睡附必6j上行一5367652

4S0087M5L120上行上"$367652

-5S0541--------------->S2336

3

评价说明：经Matlab运行程序，得出了4条优化线路。其中，1、2条换乘

一次，所花费的金钱相同，但是1条比2条节省了6分钟。3、4条换乘两次，

所花的金钱相同，且比1、2条多1元，但节省了时间。

所以建议乘客选择1、3、4条。

4.2问题二

4.2.1问题二的分析

相邻地铁站平均行驶时间（包括停站时间）：2.5分钟；

地铁换乘地铁平均耗时：4分钟（其中步行时间2分钟）；

地铁换乘公汽平均耗时：7分钟（其中步行时间4分钟）；

公汽换乘地铁平均耗时：6分钟（其中步行时间4分钟）；

地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘）；其它的公汽时间信息与问题

一相同。

题目要求同时考虑公汽与地铁线路，设计任意两公汽站点之间线路选择问题

的数学模型与算法。在此，我们考虑了总时间和总费用两个函数，讨论方法与一

题类似，只是参加了地铁，分为乘坐地铁和完全不坐地铁两种。

4.2.2模型的建立及求解

模型二

设/，g分别为乘坐公交和地铁线路的费用函数：

总时间函数：

34

T=+2.5y+5Zj+4z2+7z3+6z4[0<zz.<2,z.<2]13）

/=l/=!

总费用函数:

尸=Z/a）+g（y）⑷

Z=1

其中七表示乘客在公交线路乙上乘坐的站数；y表示乘客在一次地铁线路

上乘坐的总站数；Z1,Z2，Z3，Z4分别表示公汽换乘公汽，地铁换乘地铁，地铁换乘

公汽，公汽换乘地铁的次数。

目标：找出任意给定的两站点的乘车线路，使T和尸相对最小。

算法思路：由于假设同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站

换乘且无需支付地铁费，那么不妨把同一地铁站所对应的几个公汽站合并成一个

站。

地铁线路

T1=ZX）9DO2c—023,

T2=£>24-D25c6£>39—024。

1、可以乘坐地铁的线路。

（1）假设初始站点和目标站点都在地铁线路T1或者T2上，那么，只乘坐

地铁71或者丁2便可以直达。其中，假设都在线路T2上，就选择经过站数最少的

方向。

假设初始站点和目标站点分别在地铁线路T1和T2上，那么，需要进行一次

地铁换乘地铁才能到达。

（2）假设只有初始站点或只有目标站点在地铁线路上，那么需要换乘公汽

才能到达目标站点。

①初始站点气€小，p=l,2,目标站点%,任为且与）e72,小LBj,

当有L鸟和地铁相交时，即存在工鸟，有b"€LBj,使得与,€4，q=l或2。

1<j<so

假设iKr〈石，那么，从初始站点气（记为。a）乘坐地铁线路，行驶至

站点与（记为W）,换乘公汽线路L吗至目标站点般。l<a<39,1<Z?<39O

即

%……—"〃卬']—…（"与）—〔q=P）

%[""]一」（力）（B）-（乙与）fbjr。（4*p）

其中，4。〃时需要地铁换乘地铁。

假设不满足14r<%，或者当没有这样的LB,时，说明在地铁换乘公汽后，

还需要进行公汽换乘公汽。由于这样的情况几乎不存在，故不作考虑。

②目标站点b..eTp,初始站点气£T1且气2T2,p=l,2

同理可得结论。

(3)假设初始站点和目标站点都不在地铁线路上，那么先乘坐公汽，换乘

地铁，再由地铁换乘公汽。

地铁线路既和LA,相交又和L与相交时，即

地铁线路既不包含初始站点火他又不包含目标站点与〃6。但是存在LA,1、LBJ-

\<i<m,1<js,有

aueLAi,使得aiteTp,记句为Da,

bjreLBj,使得bJr&Tq,记bjr为Db,

p=\,2,g=l或2,l<a<39,1</?<39O

假设/o</4〃，那么，从初始站点气乘坐LA；线路，行驶至站点即

(记为换乘地铁线路至站点与_〔记为•)，换乘LB,线路至目标站点/%。

即

%T(M)-^au[Dci\-^(7/?)•%[6]->(LBj)1%,(q=P)

%f(M)(Tp)(B)一%」例f(LB)->bjro

(4*P)

其中，qw〃时需要地铁换乘地铁。

假设不满足/。<"〃，或者不存在LA,、L%都与地铁线路相交，

说明需要在地铁线路前或后进行公汽与公汽的换乘。由于这样的情况几乎不存

在，故不作考虑。

2、只乘坐公汽的线路。

完全排除地铁线路，与解决问题一的方法相同。

4.1.3问题二的结果

(程序见附录8.4)

⑴S3359fsi828

应用Matlab编出的程序显示出没有在地铁站附近车站转站的的转站台，所

以此时不坐地铁的结果完全和“问题一”中的第一小题的结果相同。

因此在这种情况下，建议在这些站点乘客应当首先考虑坐公汽。具体情况请

参照“问题一”的的结果。

（2）SI557fs0481

同（1）的结论。

图1北京地铁图

⑶S0971-S0485

通过S0971的路线同时又能够到达地铁站的线路分别为：L160上行，L263

下行，L119上行，L024下行，L119下行，L013上行，分别到达地铁的D01,

D02,D26；另外一方面，与终点站S0485相连并能够到达地铁站的公交线路分

别是L375上,L469下行，L0是上行,L417下行，L395下行,分别到达地铁站

的D21,D22和D20。

可以乘坐地铁:

金

线

时

钱

间

路.线路「线路

初始站——~>4换乘站——~>）目标站

〔途经站数L垂((

条

元

途经站数分

〕

〕

〕

S0971〃60上行)T2fT1£051上行>SO485

1(D26)----------->(D21)1386

2895

.5

S0971-S60上行一T27T1下行>

2(D26)----------->(D21)£469SO4851386

2895

.5

S0971160上行)T2-»T1"95下行>SO485

3(D26)----------->(D21)1386

2895

.5

只乘坐公汽:

金

时

线

钱

初始站然鬻>国型-公汽线路』TSI-标站间

路换乘站

((

分

途经站数途经站数元

)〕

S0971下行)下行>50485

1L013S2184Z4171283

2021

S0971下行)下行〉485

2-13S0992Z417S01313

2220

S0971"13下什》L007上行L417下行)S0485

3S340f------------>S2515943

15」122

S097]〃上行)L008卜行）上行〉50485

419S152CS2265L469943

81713

S097]上行_>L008下行一纱叱工—S0485

5S1520S2654943

81911

S0971一旦!口上匕》L008下仃Z469上行>S0485

6S1520S1729943

82010

L008下仃L469上行>S0485

7S0971——S1520S3766943

8219

S0971一卬3下行L008下仃/纱9上红_＞S（）485

8S1520S2265943

91712

S097]-"94下彳亍1L008下仃—纱9上红_>S0485

9S1520S2265943

9