2020年中考数学难点突破复习资料汇总

2020年中考数学难点突破复习资料汇总首先，我们需要标注出相关信息和定点、动点。如图：在解决这个问题之前，我们需要回顾一下几何最值问题的理论依据。已知一个定点和一条定直线时，线段的最短距离是垂线。因此，我们可以发现，PE和PF分别是AB和AC的垂线。接下来，我们可以利用几何变换进行转化。我们可以画出辅助线PM，如图：由于PE和PF是垂线，因此APME和APMF都是矩形。因此，我们可以得到AM=ME=MF=AP/2。根据勾股定理，我们可以得到AP的表达式：AP^2=AE^2+EP^2AP^2=AF^2+FP^2将AP代入AM的表达式中，我们可以得到：AM=(AE^2+EP^2+AF^2+FP^2)/(2AP)AM=(AE^2+AF^2+(EP^2+FP^2))/(2AP)EP和FP分别是AB和AC的垂线，因此EP^2=PB^2和FP^2=PC^2。将它们代入上式中，我们可以得到：AM=(AE^2+AF^2+PB^2+PC^2)/(2AP)因此，我们需要求出AP的最小值。根据三角形三边关系，我们可以得到：AP<AB+ACAP<14因此，AP的最小值为14。将它代入上式中，我们可以得到：AM=(AE^2+AF^2+PB^2+PC^2)/(2AP)AM=(64/2+36/2+36/2+64/2)/28AM=5因此，AM的最小值为5。方案一：在正方形四周各增加b/4厘米，然后在四个角上削去一块面积为(b/4)²的小正方形；方案二：在正方形四周各增加b/2厘米，然后在四个角上削去一块面积为(b/2)²的小正方形；方案三：在正方形中心加一块边长为b的小正方形.现在需要选择一种方案，使得增加后的正方形面积最大，请你分别计算出三种方案增加后的正方形面积，并选择最大的一种方案.解：设正方形边长为a，则面积为a².方案一：增加后的正方形边长为a+b/2，面积为(a+b/2)²-4(b/4)²=a²+ab+b²/4.方案二：增加后的正方形边长为a+b，面积为(a+b)²-4(b/2)²=a²+2ab+b².方案三：增加后的正方形边长为a+b，面积为a²+2ab+b².经计算，可得方案二增加后的正方形面积最大，为a²+2ab+b²，故选择方案二.小明发现三种方法都可以验证公式：a2+2ab+b2=(a+b)2。对于方案一，小明的验证过程如下：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2对于方案二，验证过程如下：a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2对于方案三，验证过程如下：a2+5b2+2ab=a2+2ab+5b2=(a+b)2在例5中，某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)，解答过程如下：原式=a2+2ab-(a2-b2)（第一步）=a2+2ab-a2+b2（第二步）=2ab-b2（第三步）该同学在第二步去括号时没有变号，所以答案是二。正确的解答过程如下：原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2在例6中，我们了解到对数的定义和性质。将指数43=64转化为对数式，得到3=log464。【小改】（1）根据题意，将指数式$4^3=64$写成对数式；（2）设$log_aM=m$，$log_aN=n$，根据对数的定义可表示为指数式为：$M=a^m$，$N=a^n$，通过计算可得结论，即$log_aM-log_aN=m-n$，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式$log_a(M\cdotN)=log_aM+log_aN$和$log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN$的逆用，将所求式子表示为：$log_3(2\cdot\frac{6}{4})$，计算可得结论为$1$。【解答】解：（1）根据题意，将指数式$4^3=64$写成对数式为：$3=log_464$，故答案为$3=log_464$；（2）设$log_aM=m$，$log_aN=n$，则$M=a^m$，$N=a^n$，通过计算可得结论，即$log_aM-log_aN=m-n$，同理由所给材料的证明过程可得结论$log_a=log_aM-log_aN$（$a>0$，$a\neq1$，$M>0$，$N>0$）；（3）将所求式子表示为$log_3(2\cdot\frac{6}{4})$，通过公式$log_a(M\cdotN)=log_aM+log_aN$和$log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN$的逆用，计算可得结论为$1$，故答案为$1$。问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：C；（2）错误的原因为：没有考虑$a=b$的情况；（3）本题正确的结论为：$\triangleABC$是等腰三角形或直角三角形。【解答】解：（1）根据题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为C，故答案为C；（2）错误的原因为：没有考虑$a=b$的情况，故答案为没有考虑$a=b$的情况；（3）本题正确的结论为：$\triangleABC$是等腰三角形或直角三角形，故答案为$\triangleABC$是等腰三角形或直角三角形。1.观察数字型阅读问题例1（2018•广西）某班共有50名学生，其中男生和女生比例为3∶2，男生人数是女生人数的1.5倍，求男生和女生各有多少人？【分析】根据题意列方程，解方程求解男生和女生人数。【解答】解：设男生人数为3x，女生人数为2x，则：3x=1.5×2x解得x=0.6，即女生人数为2x=1.2，男生人数为3x=1.8．所以男生有1.8人，女生有1.2人．2.求关系型阅读问题例2（2018•威海）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=CF．连接DE，DF，交线段AC于点M，N．若AM=2，MN=1，则BN=（）．【分析】根据题意，利用三角形相似关系列方程求解BN．【解答】解：∵∠MDE=∠NDF，∠MED=∠NFD，∴△MDE∽△NDF，设BN=x，则：1=xx+2解得x=1，即BN=1．故答案为1．3.按顺序型阅读问题例3（2018•盐城）如图，已知ABCD为矩形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH，连接AC，BD，EG，FH，交线段EG于点P，FH于点Q，若EP=6，HQ=2，则PQ=（）．【分析】根据题意，利用矩形性质、三角形相似关系列方程求解PQ．【解答】解：∵AE=BF=CG=DH，∴AEH和BFC是全等三角形，∴∠AEH=∠BFC，∠AHE=∠CFB，∴△AHE∽△CFB，设AP=6x，CQ=2x，则：EP=6=AP−AE=6x−1，HQ=2=CQ−CH=2x−1，解得x=1，即AP=6，CQ=2，则PQ=AP+CQ=8．故答案为8．4.求数值型阅读问题例4（2018•南昌）某商场推出了一种优惠券，每张优惠券可享受8折优惠，小明购买了一些商品，总价为1000元，他用了一张优惠券后，只需要支付880元，请问他用了几张优惠券？【分析】根据题意列方程，解方程求解小明用了几张优惠券。【解答】解：设小明用了x张优惠券，则：1000×0.8x=880解得x=1，即小明用了1张优惠券．故答案为1．5.求比例型阅读问题例5（2018•宜春）某公司的员工工资总额为360万元，其中男员工的工资总额与女员工的工资总额之比为5∶3，若男员工的平均工资是女员工的1.2倍，求男员工和女员工的人数各是多少？【分析】根据题意列方程，解方程求解男员工和女员工的人数。【解答】解：设男员工人数为5x，女员工人数为3x，则：5：3=5x：3y∴x:y=3:5设女员工的平均工资为1，则男员工的平均工资为1.2，则：360=5x×1.2y+3x×1y解得x=60，y=100，即男员工人数为300，女员工人数为500．所以男员工有300人，女员工有500人．6.求面积型阅读问题例6（2018•泰安）如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，DE，交BD于点F，若△AEF和△DEF的面积之和为3，则BE的长为（）．【分析】根据题意，利用正方形性质、△AEF和△DEF面积公式列方程求解BE．【解答】解：设BE=x，则：△AEF的面积为1×（AE×EF）=x（1−x），△DEF的面积为1×（DE×EF）=x（x−1），∴x（1−x）+x（x−1）=3，解得x=2或x=−1，舍去x=−1的解，得x=2，即BE的长为2．故答案为2．7.求比率型阅读问题例7（2018•聊城）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AE∶EB=3∶1，CF∶FD=1∶2，连接BF，交AE于点G，若AG∶GE=1∶2，求BF∶FD．【分析】根据题意列方程，解方程求解BF∶FD．【解答】解：设AE=3x，EB=x，CF=y，FD=2y，则：AG:GE=1:2∴AG=3x/4，GE=x/4∵AE+EB=3x+x=4x，BF+FD=2y+y=3y，∴AG+GE=2x=BF+FD，∴BF:FD=2:1．故答案为2∶1．8.寻找规律型阅读问题例8（2018•滨州）观察下列各式：1+21+2+31+2+3+4……请利用你所发现的规律，计算1+2+3+…+17，其结果为153．【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【解答】解：由题意可得：1+2+3+…+17=（1+2+3+…+16）+17=153+17=170．故答案为170．9.公式推荐型阅读问题例9（2018•枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=的面积为1．现已知△ABC的三边长分别为1，2，3，则△ABC的面积为1．【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S=∴△ABC的面积为：S=√3×（3−1）×（3−2）×（3−3）÷4=√3÷4．故答案为√3÷4．10.介绍新知识型阅读问题例10（2018年•常德）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号cd称为2×2阶行列式，并且规定：abcd=ad−bc，例如：3−2=3×（−1）−（−2）×2=−6+4=−2．二元一次方程组ax+b1y=c1a2y=c2x=d1y=d2的解可以利用2×2阶行列式表示为：DxDDyD；其中D=a1b1，Dx=c1b1c2b2，Dy=a1c1a2c2．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）A．D=−7B．Dx=−14C．Dy=27D．方程组的解为x=3，y=−2．【分析】根据行列式的定义，分别计算D、Dx、Dy可得结论．【解答】解：∵D=a1b1c2d2−a2b2c1d1=ad−bc，Dx=c1b1c2b2d1d2−b1c1b2c2a1a2c1c2=−14，Dy=a1c1a2c2d1d2−c1d1c2d2b1b2=27，∴x=−Dx/D=2，y=Dy/D=−3．故选项D错误．【解答】解：根据等腰三角形的性质可知，∠A=∠C，故∠C=110°，又因为三角形ABC的内角和为180°，所以∠B=180°﹣∠A﹣∠C=35°．问题：张老师举的这道例题的答案是多少？答案：35°。【分析】通过阅读题目，可以发现这是一道求角度的题目，而且已经给出了一个角度的度数，要求求另一个角度的度数，因此我们只需要根据等腰三角形的性质和三角形内角和的性质来解答这道题目。例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数。（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．(1)解答以上的变式题。(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围。解析：(1)若∠A为顶角，则∠B=(180°-∠A)÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°。所以∠B=50°或20°或80°。(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，所以∠B的度数只有一个。②当0<x＜90时，∠A可以为顶角或底角。-若∠A为顶角，则∠B=(180-x)°；-若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180-2x)°；-若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°。需满足180-x≠180-2x且180-2x≠x且x≠60时，∠B有三个不同的度数。综上所述，可知当0<x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数。平行四边形的性质一、基础知识点知识点1：平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“ABCD”。知识点2：平行四边形的性质-边：相邻边相等，对角线互相平分。-角：对角线所夹角相等，相邻角互补。-对角线：互相平分的对角线相等。平行四边形的面积二、典型题型例题1：如图，E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF。猜想BE与DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。练习：如图，在平行四边形ABCD的对角线BD上存在P,Q两个点，且BP=DQ。试探究AP与CQ的关系。例题2：如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC,BD相交于点O，则OA的取值范围。例题3：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE。(1)请判断△ADF的形状，并说明理由；(2)已知∠ADE=∠FDE=30°，AE=2，求平行四边形ABCD的面积。练习：在平行四边形ABCD中，∠A=45°，BD⊥AD，BD=2。(1)求平行四边形ABCD的周长和面积；(2)求A、C两点间的距离。三、专题练习一、选择题1.在平行四边形ABCD中，BE=4，CE=3，∠ABC和∠BCD的平分线交AD于点E，则AB的长为（）A.5B.4C.3D.2.52.在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点F，且BE=3。若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于（）A.1B.3/5C.2D.2/53.如图□ABCD的CD边上有一点F，连接AE，BE，∠DAE=12，∠AEB=33，则∠EBC的度数是（）A.18B.21C.33D.454.如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1=∠2=44，则∠B为（）A.66B.104C.114D.1365.如图，若平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4，∠B=150，则平行四边形ABCD的面积为（）A.6B.12C.18√3D.24二、填空题6.如图，已知□ABCD三个顶点坐标是A（-1，0），B（-2，-3），C（2，-1），那么第四个顶点D的坐标是（3，2）。7.如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PFF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2。若S=3，则S1+S2的值为6。8.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点F。若BF=6，AB=5，则AF的长为9。9.如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E且∠ADC=60°，连接OF。下列结论：①∠CAD=30°；②S四边形ABCD=AB·AC；③OB=AB；④0E=BC。成立的个数有2个。三、解答题10.如图，点EF是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF。试说明：BF=DF。解析：连接BD，作BE，DF的中垂线分别交BD于M，N。因为ABCD是平行四边形，所以AM=MC，DN=NB。又因为CE=AF，所以EM=FN。由此可知△BEM≌△DFN，所以BE=DF。又因为ABCD是平行四边形，所以BF=BD-AB=BD-CD=DF。11.已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于F，CF⊥BD于F。(1)求证：△AED≌△CFB；(2)求证：AF=CD。解析：(1)因为ABCD是平行四边形，所以AD=BC，BD=2AD。又因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，DE∥FB。因此，△AED∥△CFB，且AE=CF，ED=FB。又因为两个三角形都是直角三角形，所以它们全等，即△AED≌△CFB。(2)因为ABCD是平行四边形，所以AD=BC。又因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，DE∥FB。因此，△AED∥△CFB，且AE=CF。又因为AE+ED=AF，CF+FB=CD，所以AF=CD。例1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点。求抛物线的解析式。解：设此抛物线的函数解析式为：y=ax^2+bx+c（a≠0），将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：-4a+4b+c=0c=-44a-8b+c=-16a+8b-4=0a=1/2b=1所以此函数解析式为：y=x^2+x-4。例2：若点M为第三象限内抛物线y=x^2+x-4上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S。求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。解：由已知，点M的坐标为：（m，m^2+m-4），△AMB的面积为：S=1/2*AM*MB=1/2*(m-(-4))^2+(m^2+m-4-(-4))^2=1/2*(m+4)^2+m^4+2m^3-3m^2+8m-16=1/2*m^2+4m+4+m^4+2m^3-3m^2+8m-12=m^4+2m^3-5/2*m^2