高考数学MST2023届年一轮复习-部分11

学习数学领悟数学秒杀数学第十二章风吹复数一片叶，算法推理妙惊秋

<?.*=<?>-Q*=<?.

2.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.

（-）反证法的定义

假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设

错误，从而证明原命题成立的证明方法.

（-）用反证法证明的一般步骤：假设——矛盾——肯定

①反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；

②归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及

明显的事实矛盾或自相矛盾；

③结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成

立.

要点诠释：

（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：

“都是”的反面为“不都是”，即”至少有一个不是“，不是"都不是”；

“都有”的反面为“不都有”，即"至少有一个没有“，不是“都没有”;

"都不是''的反面是“部分是或全部是“，即“至少有一个是“，不是“都是”；

"都没有'’的反面为“部分有或全部有“，即“至少有一个有“，不是“都有”

（2）归谬的主要类型：

①与已知条件矛盾；②与假设矛盾（自相矛盾）；③与定义、定理、公理、事实矛盾.

（3）宜用反证法证明的题型：

①否定性命题；②要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存

在性问题、唯一性问题''等；③如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只

要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.

考点一直接证明

角度I.分析法

【例11】（2021•湖北卷）分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a<6<c,S.a+b+c=0,求证:

b2-ac<3c2,则证明的依据应是（）

A.c-b>0B.c-a>0C.（c-b\c-o）>0D.（c-b）（c-a）<0

【例1门设。>0,6>0,且,用分析法证明"+63>/6+必2.

2222

【训I练］设a，b,c,deR,求证：ac+bd<Ja+b-Jc+d-

【训练】（2021•秦州）（1）已知实数a,6满足|a|<2,\b\<2,证明2|a+6|<|4+"|；

（2）已知a>0,求证。+--2.

400

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考向2.综合法

【例21】求证a4++c4>abc（a+b+c）.

【训练3】已知。，b是正数，且a+b=l,求证：-+^->4.

ab

【训练1】（2021•泰安模拟）设数列｛q｝的前〃项和S”，且（3-m）S“+2ma“=m+3（〃eN・），其中m为常数

且?《w-3,mx0.

（1）求证：｛”"｝是等比数列：

（2）若数列｛q｝的公比满足q=f（⑼且"=4，bn=^f（b„_,）（neN',n>2）,求证｛/｝为等差数列，并

求

考点二间接证明

【例I】（2020•合浦）已知xeR,a=x2+—,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有

2

一个不小于1.

【训练5】用反证法证明：疗，M,而不可能成等差数列.

【训练（；】求证：函数/（x）=xcosx不是周期函数.

【知识梳理一数学归纳法簿】

1.数学归纳法定义

对于某些与自然数"有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：

（1）（归纳奠基）证明当〃取第一个值〃o（"。eN*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设〃=%（keN,，且AN"。）时命题成立，证明当”=左+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从〃°开始的所有正整数〃都成立，上述证明方法叫做数学归

纳法.

2.运用数学归纳法的步骤与技巧

（-）用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

（1）证明：当〃取第一个值〃°结论正确；

（2）假设当〃=A（AeN"，且左N〃o）时结论正

确，证明当〃=左+1时结论也正确，由（1）、（2）可知，命题对于从〃。开始的所有正整数〃都正确・

（二）用数学归纳法证题的注意事项

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（1）弄错起始佝.〃。不一定恒为1,也可能〃。=2或3（即起点问题）.

（2）对项数估算错误.特别是当寻找“=%与〃=%+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）.

（3）没有利用归纳假设.归纳假设是必须要用的，

假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个

证明过程也就不正确了（即伪证问题）.

（4）关键步骤含糊不清.“假设〃=A时结论成立，利用此假设证明〃=%+1时结论也成立“是数学归纳法的

关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、

规范性（即规范问题）.

（三）用数学归纳法证题的关键：

运用数学归纳法由〃=%到〃=4+1的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由〃=%到〃=%+1的推证方

法.在运用归纳假设时，应分析由〃=%到〃=%+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归

纳假设出发，或从〃=«+1时分离出〃=%时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利

过渡.

3.用数学归纳法证题的类型

（-）用数学归纳法证明与正整数〃有关的恒等式

对于证明恒等的问题，在由已知证等式成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说

的两边凄的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性.

（二）用数学归纳法证明与正整数〃有关的整除性问题

用数学归纳法证明整除问题，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也

能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧.

（三）用数学归纳法证明与正整〃有关的几何问题

数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的

关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线

间的关系等.

（四）用数学归纳法证明与正整数〃有关的不等式

用数学归纳法证明一些与〃有关的不等式时，推导“"="+1''时成立，有时要进行一些简单的放缩，有

时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等.

（五）用数学归纳法证明与数列有关的命题.

由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方

法.在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要.

考点一数学归纳法证明等式

【例1】利用数学归纳法证明1+2+…+”=也罗.

【训练1］利用数学归纳法证明*+2?+…+〃2=++.

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考支二数学归纳法证明不等式

【例1】用数学归纳法证明不等式竺•竺・•一•罕＞闹.

24

【训练”用数学归纳法证明不等式小+后+…+师而＜g(〃+l)\

考点三数学归纳法证明数列

【例1】已知数列｛%｝中.=g，S"=")“("wN+).

(1)求。2，。3，a4的值；

(2)推测数列｛4｝的通项公式，并证明.

+|

【训练3】(2021•宝山月考)在数列｛q｝中，a,=2,aB+1=Aa„+1"+(2-2)2",其中2＞0.

(1)求%,4，4,猜想数列｛q｝的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

考克四数学归纳法证明整除问题

【例”是否存在正整数m,使得/(〃)=(2«+7)-3"+9对任意正整数〃都能被m整除？若存在，求出最大的m

值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

【训练I］用数学归纳法证明：32+52"M(〃eN)能被14整除.

考克五数学归纳法证明几何问题

［例I］用数学归纳法证明：凸〃边形的对角线的条数是g〃("-3)(〃23,neN').

【训练、在平面内有〃条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点.求证：

这〃条直线将它们所在的平面分成/+〃+22个区域.

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第十三章极坐标系伴身边，不等关系尽其欢

第十三章DISHISANZHANG

13/极坐标系伴身边，不等关系尽其欢

第1节参数人间

考点出现频率2023年预测

伸缩变换I2023年高考已经删除参数方W■内容.旧高考在试题

苴角坐标方程与极坐标方程的互化II难度.、知识点考查等方面.不会有太大的变化.主

参数方程与普通方程的互化III要考查极坐标方程和苴角坐标方程的互化、及游见

极坐标方程与参数方程的综合应用III曲线的极坐标方程与极生标方租的简单应用.

基础知识诊断回顾教材各实基础

【知双梳理】

1.伸缩变换

（X，-J.Y

平面直角坐标系的伸缩变换是指：设点尸（X,乃是平面直角坐标系中的任意一点，在变换。：「的

作用下，点尸（x,y）对应到点尸（V,川），称e为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.直角坐标方程与极坐标方程的互化

（-）极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点O引一条射线Ox,叫做极轴：再选定一个长度单位、一个

角度单位（通常取瓠度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.

设M是平面内一点，极点。与点M的距离|OA/|叫做点A/的极径，记为0;以极轴Ox为始边，射线

为终边的角xOM叫做点M的极角，记为。.有序对（0，6）叫做点M的极坐标，记为“S，0.一般地，

不作特殊说明时，我们认为020,。可以取任意实数.

（-）极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为（x,y）,极坐标为（夕，。）.极坐标与直角坐标的互化公式.为:

x=pcosdp=x+y

,,八，或＜y

y=psin0tan0=—（xwO）

x

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3.常见曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为/•的圆p=r(0<0<2^)

圆心为（r,0）,半径为r的圆p-IrCQsO(-y<^<y)

圆心为（『，£）,半径为r的圆p=2rsin0(O<0<TT)

OX

过极点，倾斜角为a的直线/,0=a(peR)或6=九+a(peR)

过点m，o）,与极轴垂直的直线0cos6=a[-y,y)

o(a,0/

:（遭）

过点（a,、），与极轴平行的直线psin0=a(0,TT)

O；x

4.常见曲线的参数方程

（I）直线的参数方程

过定点M（xo,为），倾斜角为a的直线/的参数方程为卜=%+'c°sa（，为参数）.

y=y0+/sina

（2）圆的参数方程

圆心为点M（x。，M））,半径为r的圆的参数方程为°（。为参数）.

y=y0+rsin。

（3）圆锥曲线的参数方程

椭圆]+4=l（a>6>0）的参数方程为卜="83（夕为参数）.

crb[y=bsin0

双曲线三一写=1的参数方程为「"sec'（。为参数）.

a2b2[y=btan0

抛物线k=2px（p>0）的参数方程为[x=2p/（’为参数）.

7=2Pt

考点聚焦突破分类讲练以例求法

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考点一伸缩变换

【例1】将曲线y=sin2x按照伸缩变换卜’=2》后得到的曲线方程为_________.

[y=^y

【例2】曲线C的方程为2》2+3/=1,曲线C进过伸缩变换x-zx,得到新曲线的方程为_________.

y=^y

【解题总结】

在平面直角坐标系中，曲线y=/(x)在伸缩变换°:的作用下的变换方程是将J",代入

y=q(〃>0)y=y_

y=f(x)t可得丫=/(工)，整理得V=g(x')，即为所求变换后的方程.

〃A

x*=3x

【训练1】将曲线y=sin(3x-生)按照伸缩变换1后得到的曲线方程为__________.

41户寸

【训练2】在同一直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2£2+8y，2=],则曲线C的方程

[y'=^y

为.

考支二直角坐标方程与极坐标方程的互化

用度1.极坐标化为直角坐标

【例I1】(2019•江苏卷)在极坐标系中，已知两点4(3,?),8(JI,g,直线/的方程为psin(e+?)=3.

(1)求4,8两点间的距离；

(2)求点8到直线/的距离.

Iy=tCO^sCX.

【例12】(2022•南充模拟)在直角坐标系xQy中，曲线G：《一。为参数一工0)，其中0"。<乃，

[y=tsina'

在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线q：0=2sin。，曲线C3：0=20cose.

(1)求C2与G交点的直角坐标；

(2)若C?与G相交于点4,G与G相交于点8,A,8都异于原点O,求|48|的最大值.

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用度2.直角生标化为极坐标

【例21】（2020•全国in卷）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为7一,、（/为参数且，wl）,

y=2-3t+t2

C与坐标轴交于力，8两点.

（1）求：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.

【解题总结】

当极坐标与平面直角坐标的极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合且单位长度相同时，可以使用

x=pcosd,y-夕sin。以及x?+/=储将两坐标方程实现互化.

直南坐标方程转化为极坐标方程，将x=pcos。和y=0sin。以及夕2=/+/代入化简即可：极坐标方

程转化为直南坐标方程，通过变形（如两边同乘以夕或储）构造出pcos0（p2cos2^）,psin0（p2sin冶）,

储的形式，应用公式代入化简.

【训练1】（2019•新课标3）如图，在极坐标系Ox中，A（2,0）,5（72,—）,C（VI,¥），。（2,万），

弧崩.BC.而所在圆的圆心分别是（1,0）,。，/）,。，乃），曲线是弧丽，曲线初2是弧前.曲线

是弧而.

（1）分别写出Mi，M2,M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M，a，M构成，若点尸在M上，且|。片=方，求P的极坐标.

2Y+—t---

【训练」】（2022•全国甲卷）在直角坐标系x0中，曲线G的参数方程为6（，为参数），曲线C?

y=4t

2+s

的参数方程为x=__为参数）.

y=-4s

（1）写出G的普通方程：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为2cose-sin〃=0,求G

与G交点的直角坐标，及Cm与g交点的直角坐标・

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考支三参数方程与普通方程的互化

角度1.参数方程化为普通方程

x=1+一

【例I1】（2020•全国2卷）已知曲线C1,C2的参数方程分别为G：为参数），一

1

V=/—

/

（t为参数）.

（1）将G，Q的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，设G，。2的交点为尸，求圆心在极轴上，且

经过极点和P的圆的极坐标方程.

角度2.普通方程化为参数方程

】（2014•全国II卷）在直角坐标系X0中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

半圆。的极坐标方程为0=2cos。，0e[O,1-].

（1）求C的参数方程；

（2）设点。在C上，C在。处的切线与直线/：y=Jir+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定。的

坐标.

[解懑总结]

消去参数的方法一般有三种：

（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接加减消元消参.

（2）利用三角恒等式消去参数.

（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确

定函数/（/）和g（f）的值域，即x和y的取值范围.

【训练1】（2020•全国I卷）在直角坐标系中，曲线G的参数方程为f=c°s：'（/为参数）.以坐标原点为

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线g的极坐标方程为40cosg-16psine+3=o.

（I）当〃=1时，G是什么曲线？

（2）当〃=4时，求G与。2的公共点的直角坐标.

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IY—cos0

【训练2】（2018•全国III卷）在平面直角坐标系》伽中，圆O的参数方程为_,八（6为参数），过点

[y=sin0

（0,-忘）且倾斜角为a的直线/与圆。交于4,8两点.

（1）求a的取值范围：

（2）求48中点P的轨迹的参数方程.

考堂四极坐标与参数方程的综合应用

极坐标与参数方程的综合应用主要有三大类题型，分别是是。的几何意义，，的几何意义和夕的几何意

义.

角度1.极径夕的几何总义

极径夕的几何意义：指极坐标平面内的某一点到极点。的距离.

【例1-1】（2021•长春二模）在平面直角坐标系中，曲线£的参数方程为F="°sa（f为参数）,以坐标

'=/sina

原点。为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为。2-20cose=3.

（1）求曲线G的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）曲线G与相交于4、8两点，求|O4|.|O8|的值.

用度2.直线的参数方程及箕几何意义

1.参数方程过点M（xo,打），倾斜角为a的直线/的参数为F=x°+'c°sa（/为参数，ae[0,;r））

y=y0+，sina

2.参数/的几何意义

参数/的绝对值表示参数，所对应的点M到定点Mo的距离.

（1）当后而与Z（直线的单位方向向量）同向时，，取正数，反之取负数；

（2）当M与A/。重合时，/=0.

3.过点尸&0，M）），倾斜角为a的直线/的参数为/="°+'8sa（「为参数），若/、8为直线上两点，其

=M）+/sina

对应的参数分别为A,，2，线段48的中点为M,点M所对应的参数为2，则以下结论在解题时经常用到：

（1）^0=^-：（2）\PM\=\t0\=；⑶|第=,—2|；

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（4）\P^-\PB\=\tx-t2\-,（5）回|+四=囿+回=也，'也<°注意：

仙+小，也>。

（1）直线的参数方程中，参数/的系数的平方和为1时，，才有几何意义且其几何意义为：M是直线上任

一点、M（x,y）到%（而,%）的距离，即|MWo|=，.⑵直线与圆锥中线相「，交点对应的参数分别为,/2,

则弦长/=,_胃；

补:直线参数/系数的平方和不为1时

第一步一化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程：

第二步一查：检查直线参数，的系数平方和是否为1,如果是，进行第三步；

如果否：按照下列操作

x=x.+al

（，为参数）

y=y»+bt

第三步一代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于/的一元二次方程：at2+bt+c=0

第四步一写：写出韦达定理：A+G=—2,/j/2=-

aa

第五步一选：选择公式代入计算.

【例27】（2022•榆林一模）以平面直角坐标系原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系

的长度单位为长度单位建立极坐标系.已知直线/的参数方程为「一列。为参数），曲线。的极坐标方

[y=-\+2t

程为psin20=4cos夕

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线/与曲线C相交于4,8两点，求|/8|.

【例27】（2022•河北模拟）在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为（'为参数），以

坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为P«>se=tane.

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）若G与C2交于4，8两点，点尸的极坐标为（2上，苧，求总[+薪的值.

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角度3.三冲函数。的几何直义

坐标系与参数方程题型通常有计算距离最值，面积最值，线段比值最值等最值问题，考虑到能出现最

值都是要出现三角函数。，极坐标中的。几何意义为极角，圆中6的几何意义为圆心角，圆锥曲线中。的几何

意义为离心角，虽然几何意义不同，但可根据合理的使用极坐标或者参数坐标设点引入e,从而代入化简

得到关于三角函数。的两种常见最值模型，一个是用辅助角公式归一得到的y=4sin@v+3）+8,其最值为

±4+8；另一个是关于sinx或者cosx的二次函数型y=4si/x+8sinr+C或y=Zcos?x+8cosx+C,根据二

次函数模型求取最值.

【例;1】（2017•全国II卷）在直角坐标系X0中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线G的极坐标方程为pcosJ=4.

（1）M为曲线G上的动点，点P在线段上，且满足|OM10月=16,求点尸的轨迹。2的直角坐标方程;

（2）设点4的极坐标为（2,工），点8在曲线上，求△048面积的最大值.

1

x=-----

【例：】（2019•全国I卷）在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为，1+/（，为参数），以坐标

4/

原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos8+&psin，+ll=0.

（1）求C和/的直角坐标方程：

（2）求C上的点到/距离的最小值.

【例」（2022•郑州模拟）己知曲线C:工+上=1,直线=2+’（/为参数），过曲线C上任意一点?

49[y=2-2t

作与/夹角为30。的直线，交/于点力，求|Q4|的最大值.

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【解题总结】

极坐标与参数方程的综合应用主要有三大类题型：

（1）关于极径0的几何意义题型的标志是带有极点O的线段，如类似这样的线段出现：

（2）关于直线参数，的几何意义题型的标志是带有定点厂的线段，如类似|尸国，归却这样的线段出现，应

用参数/的几何意义时要注意需要将直线的参数方程化为标准形式：

（3）关于。的几何意义题型的标志是最值问题，而引入e的两种方式一个是设极坐标，另一个是设参数坐

标，然后通过三角函数的辅助角公式或者转化为二次函数型求取最值.

3（x=acosa

【训练1K2022•大同模拟）在平面直角坐标系X。中，已知曲线E经过点尸（1,三），其参数方程「

2[y='3sina

（a为参数），以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线E的极坐标方程：

1I

（2）若直线/交£于点1,B,且O/_LO8,求证：商•+丽T为定值，并求出这个定值.

2

,x2V.|X=3+3COSG?

【训练八（2022•成都模拟）在直角坐标系X。中，曲线C|：二+二=1,曲线C2：”（。为

参数），以坐标原点。为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求G，。2的极坐标方程；

（2）射线/的极坐标方程为。=a（。＞0）,若/分别与q，C2交于异于极点的/，B两点,求解的

IUAI

最大值.

412

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第2节不等无眠

考点出现频率2023年预测

绝对值三角不等式III2023年旧高考地区主要考查绝对•值不等式的解法、绝对值不

绝对值不等式的解法III等式的证明.不等式恒成立参数取值范围问迎的解法等.

基础知识诊断回顾教材务实基础

【知识梳理】

1.绝对值三角不等式

定理1：如果。"是实数，则|a+6国a|+|6|,当且仅当MNO时，等号成立.

定理2：如果。，6,c是实数，^^\a-c^a-b\+\b-c\,当且仅当(。一b)(b-c)2O时，等号成立.

区区a|+|b|当且仅当|同2例且必20时，左边等号成立，当且仅当M40时，右边等号成立.

2.绝对值不等式的解法

(一)绝对值不等式|or-6|4c,|ar+6]Wc类型.

(1)4c的解法：

①当c>0时，不等式解集为：-cVox+bVc；②当cVO时，不等式解集为：空集

(2)|ox+6|2c的解法：

①当c>0时，不等式解集为：ox+62c或or+b4-c

②当cVO时，不等式解集为：全体实数

(-)绝对值不等式|x_a|+|x一心c与

|x-a|+|x-6]<c类型

绝对值的几何意义：同的几何意义是：数轴上表示数轴上点。到原点的距离.

,一耳的几何意义是：数轴上表示数轴上两点的距离.

|。+目的几何意义是：数轴上表示数轴上。,一6的两点的距离.

|x-a|+|x-6|的几何意义是：数轴上表示点X到0,6的两点的距离和，故卜一。|+k-6|2,-6|

利用图像和几何意义解卜一同+卜一目4。或卜-4+卜一4"的解集.

-2x+a+b(x<a)\4

分区间讨论：\x-c^+\x-t\=-b—a(a<x<b)J

2x-a-b(x>b)

(三)绝对值不等式“与卜-力,-44c类型

k-。|-卜-4的几何意义是：数轴上表示点x到。的距离与到6的距离之差，

-|a-6|<|x-a|-|x-6|<|a-Z>|

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学习数学领悟数学应用数学第十三章极坐标系伴身边，不等关系尽其欢

利用图像和几何意义解-|x-614c或|x--卜-2c的解集.

a-b(x<a)

分区间讨论：|x-o|-|x-Z>|=-2x-a-b(a<x<b)

-a+b(x>b)

卜-6卜卜-。|的几何意义是：数轴上表示点x到b的距离与到a的距离之差,

故-4—4—[x-a|V

利用图像和几何意义解卜-4一卜-同〃或卜-4-卜-同“的解集.

-a+b(x<a)

分区间讨论：|x-Z>|-|x-a|=--2x+a+b[a<x<b)

a-b(x>b)

（四）绝对值不等式/（6=桁卜-。|+〃卜-目类型

结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值.绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到

零点时取到最小值.

书写过程：|x-l|+2|x-2|=|x-l|+|x-2|+|x-2|^l+|x-2|>l

（五）绝对值不等式类型

结论：系数大的决定最值，类似于二次函数，系数大的为正，开口向上，有最小值;

系数大的为负，开口向下，有最大值.

考点聚焦突破分类讲练以例求法

考点一绝对值三角不等式

[例1]（2021•乙卷）已知函数/（x）=|x-a|+|x+3|.

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学习教学便悟数学应用数学第十三章极坐标系伴身边，不等关系尽其欢

(1)当°=1时，求不等式/(x)》6的解集：

(2)若/(x)>-a,求a的取值范围.

【)1噂](2021•河南一模)已知函数/(x)=|x+a|+|x-2\.

(1)当a=l时，求不等式/(x)27的解集：

(2)若/(x)0x-4|+|x+2a|的解集包含[0，2],求a的取值范围.

考直二绝对值不等式的解法

(1)绝对值不等式麻-4"，|ar+612c类型.

(2)绝对值不等式|x_a|+|x_q2c与卜_4+卜_目4,类型

[例I](2021•河南二模)设/(x)=|x-2|+|x+3].

(1)解不等式f(x)>7：

(2)若关于实数x的不等式无解，求实数a的取值范围.

【例】(2020•全国H卷)已知函数OWxr/|Wx-加1|.

(I)当〃=2时，求不等式/(x)24的解集：

(2)若/(x)N4,求a的取值范围.

【训练】(2022•南充模拟)己知函数/(x)=|x+a|+|x+3|.

(1)当。=-1时，求不等式/(x)2x+9的解集；

(2)若/(x)4x-4|的解集中包含[0,1],求。的取值范围.

(3)绝对值不等式|x-a|->c^\x-a\-\x-t^<c类型

【例】(2022•达州模拟)已知/(x)=|x-l|-a|x+l|.

<1)若。=1，解不等式/(x)41；

(2)若不等式/(x)41无解，求实数a的取值范围.

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卜彳学习数学领悟数学应用数学

第十三章极坐标系伴身边，不等关系尽其欢

【训练二】(2021・4月模拟)已知/(x)-x+2HxT|・

(I)解不等式〃x)Mx：

(2)设〃x)的最大值为,,如果正实数加，〃满足m+2〃=/,求2+1的最小值.

mn

(4)绝对值不等式/(幻=所卜一。|+〃卜一6|类型

【例1】(2022•甘肃模拟)已知函数八x)=|x-2|Mx+l|,xeR.

(I)求函数〃x)的图象与直线y=6围成区域的面积；

<2)若对于，">0,«>0.且用+〃=4时，不等式/(x)2加〃恒成立，求实数x的取值范围.

【训练：】(2022•新槌模拟)已知函数/(x)=|x-l|.

(I)求不等式/(x)+/(2x)44的解集M：

(2)记集合M中的最大元素为"?，若不等式/("*)+/(ox)4m在[1,+oo)上有解.求实数a的取值范围.

(5)绝对值不等式/(外=加卜-。卜小类型

【例「，】(2021•黄山二模)已知函数/(X)=|2XFHX+I|・

(1)当〃=2时，求不等式/(x)v2的解集：

(2)若a>0，不等式/(x)+3>0恒成立，求实数。的取值范围.

【训练I](2021•银川二模)己知函数/(x)=|x+a|-2|x

-61(a>0»b>0).

(I)当a=b=l时，解不等式/(x)>0：

I4

(2)若函数g(x)=/(x)+|戈-b|的最大值为2,求一+—的最小值.

ab

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第3节柯西结缘

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【知识梳理】

1.柯西不等式

柯西不等式二元式：设°,b,c,dwR*,有(a+b)(c+d)Z(J£+〃7)2当且仅当g=g•时等号成

ca

立.

运用柯西不等式，需要注意的是，问题是求什么，求最大值还是最小值，根据问题问法进行合适的配

凑.

柯西不等式简单的来说就是“方和积2积和方(平方的和的积2积的和的平方)"，如果翘目问的是求某

某的最小值，那它本身应该是在2的左边，也就是方和积的形式，或者是方和积的一部分，然后去凑积和

方即可；反之亦然.

模型一：(a+b)(—+彳)>(Vw+Vw)2其中a,beR*,例如(a+/>)(—+—)2(Ja—•+^6—)'=4；

模型