2022-2023学年天津市新四区四校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年天津市新四区四校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.i为虚数单位，若1+z=2+3A.1 B.3 C.i D.32.已知向量a=(1,2)，b=(−A.1 B.−1 C.52 3.正四面体ABCD中，E、F分别为AB，CD的中点，则异面直线ADA.30° B.45° C.60°4.抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，观察朝上一面的点数，设事件A=“点数为奇数”，B=“点数为4”，则A与B的关系为(

)A.互斥 B.相等 C.互为对立 D.相互独立5.从某中学高三年级抽取10名同学，他们的高考物理成绩如下：75，76，80，83，88，88，90，92，95，98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第75百分位数分别为(

)A.92，88 B.88，92 C.95，88 D.88，956.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近点C的三等分点，连接BN并延长交DC于点A.16AB+13AD 7.已知α，β，γ是空间三个不同的平面，a，b是空间两条不同直线，则下列命题正确的是(

)A.若α⊥β，a//β，则a⊥α B.若α⊥β，a⊥β，则a//α

C.8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且−2OB=BA+A.34AC B.34A9.下列结论正确的个数为(

)

①在△ABC中，若a>b，则cosA<cosB

②在锐角△ABC中，不等式b2+c2−a2>0恒成立

③在△A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知向量a，b的夹角为30°，|a|=2，|b|11.正三角形ABC的边长为4cm，则△ABC的直观图12.甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为45，乙的命中率为56，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______．13.一位涂料工用一把长度为20cm，横截面直径为15cm的圆柱形涂料滚给一面长为3m的正方形墙壁刷涂料，已知圆柱形涂料滚以每秒2周的速度在墙壁上匀速滚动前进，则涂料工完成任务所需的时间为14.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若BF

15.已知正三棱柱的所有顶点都在同一个半径为25的球面上，则该三棱柱侧面积的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题15.0分)

已知复数z=m−i(m∈R)，且z−⋅(1+3i)为纯虚数(z−是z的共轭复数)．

(17.(本小题14.0分)

已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=3．

18.(本小题15.0分)

书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)求a；

(2)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x−(单位：分钟)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)

(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[6019.(本小题15.0分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a−c)cosB=bcosC．

(1)求角B的大小；

(2)若BD=2DC，且CD=1，A20.(本小题16.0分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AA1的中点．

(1)证明：A1M//平面NCD1；

(2

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：1+z=2+3i，

则z=1+3i，其虚部为32.【答案】C

【解析】解：∵向量a=(1,2)，b=(−1,1)，

∴ka+b=(k−1,23.【答案】B

【解析】解：取AC中点G，连接EG，FG，AF，BF，

设AB=2，则EG//BC，FG//AD，EG=12BC=1，FG=12AD=1，

BF=AF=22−12=3，EF⊥AB，EF=(3)2−12=2，

∴4.【答案】A

【解析】【分析】事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，由此得到事件A与B是互斥事件．

本题考查两个事件的关系的判断，考查对立事件、互斥事件、相互独立事件等基础知识，是基础题．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，

观察朝上一面的点数，设事件A=“点数为奇数”，B=“点数为4”，

则事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，

故A与B是互斥事件．

故选：

5.【答案】B

【解析】解：由题意可知，众数为88，

75%×10=7.5，即高组数据的第8个数92．

故选：B．6.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点N为对角线AC上靠近点C的三等分点，

∴△ANB∽△CNM，

∴MNBN=MCBA=CNAN7.【答案】D

【解析】解：若α⊥β，a//β，则a⊂α或a//α或a与α相交，故A错误；

若α⊥β，a⊥β，则a⊂α或a//α，故B错误；

若α⊥γ，β⊥γ，则β//α8.【答案】C

【解析】解：∵△ABC的外接圆圆心为O，且−2OB=BA+BC，

∴BO=12(BA+BC)，

∴O为AC的中点，即AC为外接圆的直径，

∴∠ABC=90°，

又∵|BO|=|BA|，

∴△BOA为等边三角形，9.【答案】D

【解析】解：对于A，在△ABC中，若a>b，

则A>B，

又A，B∈(0,π)，函数y=cosx在(0,π)上为减函数，

所以cosA<cosB，故A正确；

对于B，在锐角△ABC中，0<A<π2，

所以cosA>0，

故cosA=b2+c2−a22bc>0，

则b2+c2−a2>0恒成立，故B正确；

对于C，因为C=π4，a2−c2=bc①，

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22a10.【答案】2

【解析】解：向量a，b的夹角为30°，|a|=2，|b|=3，

所以(a−2b11.【答案】6【解析】解：∵正三角形ABC的边长为4cm，

∴正三角形ABC的面积为43cm2，

∴△AB12.【答案】2930【解析】解：根据题意，甲、乙两人打靶，甲的命中率为45，乙的命中率为56，

甲、乙分别向同一靶子射击一次，靶子被击中的对立事件为甲乙两人都没有击中，

则该靶子被击中的概率为：P=1−(1−4513.【答案】47.7

【解析】解：圆柱形刷子的侧面积为15π×20=300π(cm2)，

则圆柱形刷子1秒油漆的面积为2×300π=600π(cm2)，

又木板的面积S14.【答案】85【解析】解：因为在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，

若BF=xBA+yBC=xBA+4yBE，

因为A，F，E三点共线，

所以x+4y=1①，

15.【答案】60【解析】解：如图，取三棱柱上底面和下底面的外心分别为O″，O′，连接O″O′，取其中点为O，连接OA，

如图所示：

可知O即为该三棱柱外接球的球心，设AA1=h，AB=a，

在△ABC中，由正弦定理得AO′=a2sin60∘=33a，

则该棱柱外接球半径R16.【答案】解：(1)因为复数z=m−i，z−⋅(1+3i)=(m+i)(1+3i)=m−3+(3m+【解析】(1)先结合四则运算进行化简，然后结合纯虚数的概念即可求解；

(2)先结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数模长公式即可求解；

(17.【答案】(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，

∵BB1//DD1，且BB1=DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，可得BD//B1D1，

同理可得AB1//DC1，

∵B1D1⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，∴B1D1//平面BC1D，

∵AB1⊄平面BC1D，DC1⊂平面BC1D，∴AB1//平面BC1D，

又AB1∩B1D1=B1，∴平面AB1D1//平面【解析】(1)由已知证明B1D1//平面BC1D，DC1//平面BC1D，再由平面与平面平行的判定可得平面AB1D1//平面18.【答案】解：(1)根据频率分布直方图得：(0.005+0.01+2a+0.045)×10=1，

解得a=0.020，

(2)根据频率分布直方图得：

平均数x−=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74，

(3)由于[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1：2：2，

故抽取的5人中[50,60)，[60,70)和[80【解析】(1)由所有小长方形面积之和=1，列方程求解a；

(2)根据频率分布直方图中平均数计算公式进行运算；

19.【答案】解：∵(2a−c)cosB=bcosC，

∴由正弦定理得：(2sinA−sinC)cosB=sinbcosC，

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA，

∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，

∴cosB=12，

∵B∈(0,π)，∴B=π3；

(【解析】(1)由条件结合正弦定理化简即可求得；

(2)由余弦定理及三角形的面积公式计算即可；

(3)以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直于20.【答案】证明：(1)取CD1的中点G，连接MG，NG，

M，N分别为C1D1，AA1的中点，

所以MG//CC1且MG=12CC1，

A1N//CC1且A1N=12CC1，

所以A1N//MG且A1N=MG，

四边形A1NGM是平行四边形，

所以A1M//NG，