定积分的概念

1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念高二数学选修2-2

第一章导数及其应用求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi

[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x一、定积分的定义如果当n

∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.定积分的定义：定积分的相关名称：

———叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx—叫做被积表达式，

x———叫做积分变量，

a———叫做积分下限，

b———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。

按定积分的定义，有

(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)

0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为定积分的定义：1xyOf(x)=x2Ovt12

说明：

(1)定积分是一个数值,

它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即òbaf(x)dx

=òbaf(x)dx

-(3)(2)定积分的几何意义：Oxyaby

f(x)x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。

当f(x)

0时，由y

f(x)、x

a、x

b

与x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方，xyO=-．aby

f(x)y

-f(x)=-S上述曲边梯形面积的负值。

定积分的几何意义：=-S当函数f(x)在x

[a,b]有正有负时,定积分几何意义就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)OXS2S1yS3定积分的几何意义：

例1求下列定积分:

(1)例题分析:

(2)求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决。用定积分表示下列阴影部分面积S=______;S=______;S=______;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5XOyy=cosxaby

f(x)Oxy探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?aby

f(x)Oxy三:定积分的基本性质性质1.性质2.三:定积分的基本性质

定积分关于积分区间具有可加性性质3.Oxyaby

f(x)Ｃ例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积

例3：利用定积分的定义,计算的值.