水平考试复习

必修一水平考试复习课件一、集合的有关概念1.元素与集合①

.②.③.（2）集合中元素与集合的关系文字描述为

和

.符号表示为

和

.（1）集合中元素的三个特性确定性互异性无序性属于不属于∈§1.1集合的概念及其基本运算要点梳理

.

.

.2.集合间的基本关系(1)集合间基本关系①相等关系:AB且BA

;②子集:A是B的子集,符号表示为

或BA;③真子集:A是B的真子集,符号表示为

或

.(2)不含任何元素的集合叫做

,记为

，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的

.(3)集合的表示法列举法描述法图示法A=BABABBA空集真子集二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=

.2.交集一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=

.3.补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA=.{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且xA}4.集合的运算性质(1)交集①A∩B=

;②A∩A=

;③A∩=

;④A∩B

A,A∩B

B;⑤A∩B=A

.(2)并集①A∪B=

;②A∪A=

;③A∪=

;④A∪B

A,A∪B

B;⑤A∪B=B

.(3)交集、并集、补集的关系①A∩(CUA)=

;A∪(CUA)=

.②CU(A∩B)=

;CU(A∪B)=

.B∩AAABB∪AAAU1.在进行集合的运算时要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的补集；④对于含参数（或待定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍.2.在集合运算过程中应力求做到“三化”：

(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的解集.(2)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.(3)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简单形式.基础自测1.（2008·四川理）设集合U={1，2，3，4，5},

A={1，2，3}，B={2，3，4},则U(A∩B)等于（）

A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5}

解析∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}.

又U={1，2，3，4，5}，∴U(A∩B)={1，4，5}.B2.已知三个集合U,A，B及元素间的关系如图所示，则(UA)∩B等于（）

A.{5，6}B.{3，5，6}C.{3}D.{0，4，5，6，7，8}

解析由Venn图知(UA)∩B={5,6}.A3.(2009·浙江，1)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},

则A∩（UB）等于（）

A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}

解析

∵B={x|x>1},∴UB={x|x≤1}.

又A={x|x>0},∴A∩（UB）={x|0<x≤1}.B4.设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}.若A

B，则a的取值范围是()A.a<1B.a≤1C.a<2D.a≤2

解析由图象得a≤1,故选B.B

题型一集合的基本概念【例1】(2009·山东,1)集合A={0,2,a},B={1,a2},

若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）

A.0B.1C.2D.4

思维启迪

根据集合元素特性，列出关于a的方程组，求出a并检验.题型分类深度剖析解析∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴

∴a=4.答案

D

掌握集合元素的特征是解决本题的关键.解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想.探究提高题型二集合与集合的基本关系【例2】(12分)已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B=（1）若A

B，求实数a的取值范围；（2）若B

A，求实数a的取值范围；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.

在确定集合A时，需对x的系数a进行讨论.利用数轴分析，使问题得到解决.思维启迪解

A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a=0，则A=R；②若a<0，则③若a>0,则2分(1)当a=0时，若A

B，此种情况不存在.当a<0时，若A

B，如图,当a>0时，若A

B，如图,综上知，当AB时，a<-8或a≥2.6分（2）当a=0时，显然B

A；当a<0时，若B

A，如图,当a>0时，若B

A，如图,综上知，当B

A时，10分（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.12分§1.2函数及其表示要点梳理1.函数的基本概念（1）函数定义设A，B是非空的

，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的

一个数x,在集合B中数集任意基础知识自主学习都有

的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的

；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的

.显然，值域是集合B的子集.(3)函数的三要素：

、

和

.(4)相等函数：如果两个函数的

和

完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

唯一确定定义域值域定义域值域对应关系定义域对应关系2.函数的表示法 表示函数的常用方法有：

、

、

.3.映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中

确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.4.由映射的定义可以看出，映射是

概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A,

B必须是

.

解析法图象法列表法都有唯一函数非空数集基础自测1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有() A.①②③④B.①②③

C.②③

D.②

解析由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.C2.给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f（x）=

是函数；③函数y=2x（x∈N）的图象 是一条直线；④f（x）=

与g(x)=x是同一个函数.

其中正确的有 （ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析由函数的定义知①正确.

∵满足f（x）=

的x不存在，∴②不正确.

又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确.

又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.

A3.下列各组函数是同一函数的是()【分析】判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果有一个不同,它们便不是同一函数.解析

排除A；

排除B；当即x≥1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.故选D.答案

D

4.函数的定义域为

.

解析若使该函数有意义，则有 ∴x≥-1且x≠2,∴其定义域为{x|x≥-1且x≠2}.

{x|x≥-1且x≠2}探究提高

（1）求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次方根中，被开方数非负；③对于y=x0，要求x≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.（2）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

求函数解析式根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式:(1)(2)f(x-2)=x2+3x+1;(3)f(x)+2=3x;(4)已知二次函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).【分析】(1)可用配凑法.(2)可将x-2看作一个整体,根据函数的定义,寻找x2+3x+1与x-2的对应关系.(3)因考虑到x与的倒数关系,可通过解方程组来求解析式.(4)可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法.【解析】(1)因又≤-2或≥2,

则f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)令x-2=t,则x=t+2,代入已知得f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,所以f(x)=x2+7x+11,x∈R.(3)由已知f(x)+2f=3x.①以代替①中的x,得f+2f(x)=.②由①②解得f(x)=-x(x≠0).(4)解法一：换元法.令3x+1=t,则x=.∴f(t)=9·-6+5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8.∴f(x)=x2-4x+8.

解法二:配凑法.∵f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8,∴f(x)=x2-4x+8.

解法三:待定系数法.

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则

f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.∵f(3x+1)=9x2-6x+5,∴9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.9a=9a=16a+3b=-6b=-4a+b+c=5c=8,∴f(x)=x2-4x+8.

比较两端系数,得【评析】（1）求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式.(2)换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持一致.例如:已知f(cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但此处应有|x|≤1.(3)求解析式的几种常见方法:①代入法即已知f(x),g(x),求f(g(x))用代入法,只需将g(x)替换f(x)中的x即得;②换元法已知f(g(x)),g(x),求f(x)用换元法:g(x)=t,解得x=g-1(t),然后代入f(g(x))中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x))的表达式较简单时,可用“配凑法”(其实质是换元素);

③待定系数法当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.如:已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).

解析:因为已知f(x)是一次函数,故可设f(x)=ax+b,从而根据题意列出恒等式,确定a,b的值.

解:设f(x)=ax+b,

则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax=ax+b+5a=2x+17,

所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;

④方程组法方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法.

在解关于f(x)的方程时,可作恰当的变量代换,列出f(x)的方程组,求得f(x).

如:已知f(x)满足f(x)+2f(-x)=x,求f(x)的解析式.

解:∵f(x)+2f(-x)=x,①

用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-x.②

联立①②消去f(-x),即得f(x)=-x.分段函数x2,x>01,x=0-,x<0.(1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.【分析】考虑特殊函数的图象在某区间内的形状,特别要注意区间的端点处.

已知函数f(x)=【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段,从而选相应的关系式.对于分段函数,注意处理好各段的端点.【解析】(1)分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的图象,如图所示,作法略.(2)f(1)=12=1,f(-1)=-=1,f［f(-1)］=f(1)=1.知能迁移3

设则f[g(3)]=____,

=_____.

解析∵g(3)=2,∴f[g(3)]=f(2)=3×2+1=7，7§1.3函数的单调性与最大(小)值要点梳理1.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

基础知识自主学习定义当x1<x2时,都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1<x2时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述自左向右看图象是___________自左向右看图象是__________f（x1）<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，

________叫做f（x）的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M基础自测1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是

()A.y=-x+1B.y=

C.y=x2-4x+5D.

解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数，从它们的图象上可以看出在（0，2）上都是减函数.B2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根（）

A.有且只有一个B.有2个

C.至多有一个D.以上均不对

解析∵f（x）在R上是增函数，∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),

反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.

若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.C3.已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.（-∞,-1)∪(1,+∞)

解析由已知条件：不等式等价于解得-1<x<1,且x≠0.C4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则

()A.B.C.D.

解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数,

则2k+1<0，即

D5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.

解析依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y=f（x）为增函数.①③题型一函数单调性的判断【例1】已知函数

证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

（1）用函数单调性的定义.

（2）用导数法.

证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),

不妨设x1<x2,则x2-x1>0,思维启迪题型分类深度剖析又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二

求导数得∵a>1,∴当x>-1时，axlna>0,f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.

对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.探究提高要点梳理1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数.

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.§1.4函数的奇偶性f（-x）=f（x）f（-x）=-f（x）基础知识自主学习2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:（1）考查定义域是否关于______对称；（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.原点-f（x）f（x）-f（x）f（x）3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,

偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是_________；③一个奇函数，一个偶函数的积是_________.奇函数偶函数奇函数相同相反基础自测1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是（）

A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx

解析

A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.

设y=f(x)=ln5x=xln5,∴f（-x）=-xln5=-f（x）.C2.（2008·全国Ⅱ理）函数的图象关于（）

A.y轴对称B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称D.直线y=x对称

解析∵∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.C3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的函数是()A.f(x)=sinxB.f(x)=-|x-1|C.

D.

解析∵函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇非偶函数，C中是偶函数），

∵［-1，1］

∴f（x）=sinx在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.D4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数,

那么a+b的值是（）

A.B.C.D.

解析依题意得B函数奇偶性的判断【例1】

判断下列函数的奇偶性：

(1)

(2)

判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等或相反.思维启迪题型分类深度剖析解

(1)定义域关于原点对称.故原函数是奇函数.(2)≥0且1-x≠0-1≤x<1,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.

判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:

一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的;

二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.探究提高知能迁移1

判断函数f(x)=的奇偶性.

解

∵∴-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域关于原点对称.∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.4-x2≥0|x+3|≠3,要点梳理1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做

___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,

这里n叫做_________，a叫做___________.§2.1指数与指数函数a的n次方根根式根指数被开方数基础知识自主学习（2）根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的

n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____

表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示,

负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）.③=______.a④当n为奇数时，=____;当n为偶数时，=_______________.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：

（n∈N*）；②零指数幂：a0=____（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；a1④正分数指数幂：=_______（a>0，m、n∈N*，且n>1）；⑤负分数指数幂：==(a>0,m、n

∈N*,且n>1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂

_____________.（2）有理数指数幂的性质①aras=

______(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=

______(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=

_______(a>0,b>0,r∈Q).ar+sarsarbr0没有意义3.指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1图象定义域___值域___________性质(1)过定点_________(2)当x>0时,_____;x<0时,_______(2)当x>0时,_______;x<0时,_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y>1y>10<y<10<y<1减函数增函数基础自测1.已知a<则化简的结果是（）

A.B.C.D.

解析C2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）

A.y=x3B.y=-x2+1C.y=|x|+1D.y=2-|x|

解析因为y=x3是奇函数，从而可排除A，因为函数

y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+∞）上单调递减，所以排除B、D.C3.右图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx

的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是()A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c

解析

方法一当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内,底数越小，图象越靠近x轴.故可知b<a<1<d<c,选B.方法二令x=1,由图象知c1>d1>a1>b1,∴b<a<1<d<c，故选B.答案

B

4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于（）

A.5B.7C.9D.11

解析∵f（x）=2x+2-x，f（a）=3，∴2a+2-a=3，

f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a=（2a+2-a）2-2=9-2=7.

B5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则有（）

A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a>0且a≠1

解析∴a=2.C指数函数的性质【例2】(12分)设函数f(x)=为奇函数.

求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.

由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;

第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.思维启迪解(1)方法一依题意，函数f（x）的定义域为R，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即∴a=1.6分（2）由(1)知，设x1<x2且x1,x2∈R，8分10分∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数.12分

(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数,则有f(0)=0,即可求得a=1.（2）由x1<x2推得实质上应用了函数

f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.探究提高指数函数的图象及应用【例3】已知函数

(1)作出图象；

(2)由图象指出其单调区间；

(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.

思维启迪

化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值解（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x(x<0)y=3x+1(x<-1).向左平移1个单位向左平移1个单位图象如图：(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.

在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.探究提高要点梳理1.对数的概念（1）对数的定义如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作_________,其中____叫做对数的底数,____

叫做真数.aN§2.2对数与对数函数x=logaN基础知识自主学习（2）几种常见对数2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质①=_____;②logaaN=_____(a>0且a≠1).

对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)_______常用对数底数为__________自然对数底数为__________elnNlgNlogaN10NN（2）对数的重要公式①换底公式:(a,b均大于零且不等于1)；②推广logab·logbc·logcd=______.(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=______________;②=______________;logadlogaM+logaNlogaM-logaN③logaMn=

___________(n∈R);④3.对数函数的图象与性质nlogaM

a>10<a<1图象性质(1)定义域:__________(2)值域:_____(3)过点_______,即x=___时,y=___(4)当x>1时,_____当0<x<1时,_______(4)当x>1时,_______当0<x<1时,_____(5)是(0，+∞)上的___________(5)是(0，+∞)上的____________R(0,+∞)(1,0)y>0y>0y<0y<010增函数减函数4.反函数指数函数y=ax与对数函数_________互为反函数，它们的图象关于直线_________对称.y=logaxy=x基础自测1.（2009·湖南理）若log2a<0,则（）

A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0

解析∵log2a<0=log21,∴0<a<1.∵∴b<0.D2.已知log7[log3(log2x)]=0，那么等于（）

A.B.C.D.

解析由条件知log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=8,∴C3.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

解析

a=0.32∈(0,1),b=log20.3<0,

c=20.3∈(1,+∞),∴b<a<c.D4.设a>1，函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为则a等于（）

A.B.2C.D.4

解析根据已知条件loga(2a)-logaa=

整理得：loga2=则即a=4.D5.函数的定义域是_______.

解析要使有意义需使∴0<3x-2≤1,即<x≤1,∴的定义域为对数的化简与求值【例1】(1)化简:(2)化简:(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.

(1)、（2）为化简题目，可由原式联想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻找解题思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式来求

a2m+n的值.思维启迪题型分类深度剖析解

(1)原式=(2)(3)方法一∵loga2=m,∴am=2.∵loga3=n,∴an=3.故a2m+n=(am)2·an=4×3=12.方法二∵loga2=m,loga3=n,

（1）在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.探究提高(2)已知3a=5b=A,且则A的值是（）

A.15B.C.D.225

解析∵3a=5b=A,∴a=log3A,b=log5A,∴=logA3+logA5=logA15=2,∴A2=15,∴A=或A=（舍）.B比较大小【例2】(2009·全国Ⅱ理,7)设a=log2π,

则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

(1)引入中间量如“1”或“

”比较.(2)利用对数函数的图象及单调性.

解析∵a=log2π>1,∴a>b,a>c.∴b>c,∴a>b>c.思维启迪A探究提高比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,①当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较.要点梳理1.一次函数、二次函数的图象及性质

(1)一次函数y=kx+b，当k>0时，在实数集R上是增函数,当k<0时在实数集R上是减函数.b叫纵截距,当b=0

时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b≠0时函数为非奇非偶函数.§2.3一次函数、二次函数与幂函数基础知识自主学习(2)二次函数的解析式①二次函数的一般式为____________________.②二次函数的顶点式为__________________,其中顶点为_______.③二次函数的两根式为____________________,其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是函数的零点)根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求解析式.y=ax2+bx+c

（a≠0）y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(h,k)(3)二次函数图象和性质①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为

;对称轴方程为.熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图.②在对称轴的两侧单调性相反.③当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c的图象(a>0)方程ax2+bx+c=0的解__________________________无解ax2+bx+c>0的解集________________________________________________ax2+bx+c<0的解集__________________x1,x2(x1<x2)x0{x|x>x2或x<x1}{x|x∈R且x≠x0}R{x|x1<x<x2}3.幂函数

(1)幂函数的定义形如________(∈R)的函数称为幂函数,其中x是

_______,为______.(2)幂函数的图象自变量常数(3)幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域_______________________________值域__________________________________奇偶性________________________函数特征性质RRR[0,+∞){x|x∈R且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇奇奇偶非奇非偶单调性_________________________________________________________________________________定点________,________________(1，1)(0，0)x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减(1，1)基础自测1.直线的图象可能是（）

解析

∵a≠0，∴C不可能.

当a>0时，排除A.

当a<0时，，排除D，故选B.B2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）

解析选项A中，一次函数的斜率a>0，而二次函数开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,

y=ax2+bx+c的对称轴为当a>0,b>0时，∴排除B.

当a<0,b<0时，故选C.C3.设则使函数的定义域为

R且为奇函数的所有值为（）

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.1,3，

解析当=1，3时，的定义域为R且为奇函数，当=-1时，的定义域为{x|x≠0,x∈R},

淘汰B、C,当时,的定义域为[0,+∞),

排除D.故选A.A4.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3C.a≤-3或a≥-2D.-3≤a≤-2

解析本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)

内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2或a≥3.A二次函数的解析式的求法【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且

f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.

确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用.思维启迪题型分类深度剖析解方法一设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意有∴所求二次函数为y=-4x2+4x+7.方法二设f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为∴m=又根据题意函数有最大值为n=8，∴y=f（x）=∵f（2）=-1，解之，得a=-4.方法三依题意知：f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即解之，得a=-4或a=0(舍去）.∴函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.

二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)具体用哪种形式，可根据具体情况而定.探究提高

二次函数的图象与性质【例2】

已知函数在区间[0,1]

上的最大值是2，求实数a的值.

研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系.

解

对称轴为思维启迪(1)当0≤≤1，即0≤a≤2时，得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求；(2)当<0，即a<0时，y在[0，1]上单调递减，有ymax=f(0)，f(0)=2(3)当>1，即a>2时，y在[0，1]上单调递增，有ymax=f(1),f(1)=2综上，得a=-6或a=探究提高

(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响.(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x=m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动.要点梳理1.函数的零点（1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.§3.1函数与方程f(x)=0基础知识自主学习（2）几个等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与_____有交点函数y=f(x)有_______.(3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________________,那么函数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),

使得_________，这个____也就是f(x)=0的根.f（a）·f（b）<0(a，b)f(c)=0cx轴零点2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点__________________________无交点零点个数______________(x1,0),(x2,0)(x1,0)无一个两个3.二分法（1）二分法的定义对于在区间［a，b］上连续不断且_____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间［a，b］，验证______________,

给定精确度；第二步，求区间（a，b）的中点x1；f(a)·f(b)<0一分为二零点f(a)·f(b)<0第三步，计算_______：①若_______，则x1就是函数的零点；②若_____________，则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));③若______________，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));第四步，判断是否达到精确度：即若|a-b|<,则得到零点近似值a（或b）;否则重复第二、三、四步.f(x1)f(a)·f(x1)<0f(x1)·f(b)<0f(x1)=0基础自测1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的零点是（）

A.0，2B.0，

C.0，D.2,

解析由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).

令g(x)=0，得x=0,x=∴g（x）的零点为0，C2.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，则a的取值范围是（）

A.B.a≤1C.D.

解析

f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则f(-1)·f(1)≤0,即D3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（）

解析图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函数f（a）·f（b）<0.B