平稳过程重修班

平稳过程重修班第1页，课件共71页，创作于2023年2月11.1平稳过程的概念

11.1.1严平稳随机过程及其数字特征

11.1.2宽平稳随机过程第2页，课件共71页，创作于2023年2月11.1平稳过程的概念

在实际中,有相当多的随机过程,不仅它现在的状态,而且它过去的状态,都对未来状态的发生有着很强的影响.如果过程的统计特性不随时间的推移而变化,则称之为平稳随机过程.用数学语言描述即为：11.1.1严平稳过程及其数字特征第3页，课件共71页，创作于2023年2月11.1.1严平稳过程的概念及数字特征第4页，课件共71页，创作于2023年2月严平稳的含义：过程的统计特性与所选取的时间起点无关。换句话说，整个过程的统计特征不随时间的推移而变化。平稳过程的参数集T,一般为:第5页，课件共71页，创作于2023年2月下面来考虑严平稳过程的数字特征即均值函数，均方值函数和方差函数为常数。

第6页，课件共71页，创作于2023年2月于是下面考虑平稳过程的自相关函数和自协方差函数第7页，课件共71页，创作于2023年2月

严平稳过程的自相关函数及协方差函数只依赖于参数间距

而与起点无关。协方差函数可以表示为第8页，课件共71页，创作于2023年2月

平稳过程数字特征的特点:(即不随时间的推移而变化)。(3)协方差函数可以表示为第9页，课件共71页，创作于2023年2月仅依赖

，而与t无关；11.1.2宽平稳随机过程第10页，课件共71页，创作于2023年2月例11.1设{Xn,n=0,±1,±2,…}是实的互不相关的随机变量序列，且E(Xn)=0,D(Xn)=

2.讨论随机序列的平稳性。解由于E(Xn)=0,D(Xn)=

2，而相关函数其中为整数，随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳过程。第11页，课件共71页，创作于2023年2月证明

由于其密度函数为：（常数）第12页，课件共71页，创作于2023年2月第13页，课件共71页，创作于2023年2月例11.3解X(t)的均值函数为第14页，课件共71页，创作于2023年2月而自相关函数第15页，课件共71页，创作于2023年2月因为RX(

)仅与

有关，所以随机相位周期过程是平稳的。特别,随机相位正弦波是平稳的。第16页，课件共71页，创作于2023年2月假设X(t)和Y(t)是平稳相关过程,RX(

),RY(

)和RXY(

)分别是它们的自相关函数和互相关函数。

即平稳过程的均方值可以由自相关函数，令

0得到，后面我们将指出RX(0)代表了平稳过程的“平均功率”。自相关函数的性质11.2平稳过程相关函数的性质第17页，课件共71页，创作于2023年2月这是因为相关函数具有对称性。

依据这个性质，在实际问题中只需计算或测量RX(

),RY(

)，RXY(

)和RYX(

)在

0的值。。注意互相关函数既不是奇函数,也不是偶函数,但满足第18页，课件共71页，创作于2023年2月性质3关于自相关函数和自协方差函数有不等式

对于平稳过程X(t)，有代入上述不等式得：第19页，课件共71页，创作于2023年2月类似的,可推得以下有关互相关函数和互协方差函数的不等式或对协方差函数，不难得到相同的结论：第20页，课件共71页，创作于2023年2月性质4

设平稳过程X(t)，若当|

|时，过程的状态X(t)与X(t

)相互独立，则有：

这是因为：从物理意义上说，当

增大时X(t)与X(t+

)之间相关性会减弱，在|

|的极限情况下，两者相互独立。第21页，课件共71页，创作于2023年2月

这一性质很有趣，对于平稳过程的相关函数RX(

)

，只要知道在

0处连续，就可以得出对任意

处都连续，这对于一般连续函数是不具备这样的性质的。第22页，课件共71页，创作于2023年2月解

由性质6得：例11.4

已知平稳过程X(t)，当

的绝对值充分大时，过程的状态X(t)与X(t+

)相互独立，其相关函数为：求X(t)的均值。第23页，课件共71页，创作于2023年2月证明利用契比雪夫不等式有例11.5对于平稳过程X(t)，有第24页，课件共71页，创作于2023年2月11.3各态历经性

11.3.1时间平均的概念11.3.2平稳过程各态历经的定义11.3.3平稳过程各态历经性的条件第25页，课件共71页，创作于2023年2月11.3.1时间平均的概念1、积分

说明对于随机过程的所有样本函数来说,[a,b]上的积分未必全都存在。第26页，课件共71页，创作于2023年2月在某些情形下，对于随机过程的所有样本函数来说，在[a,b]上的积分未必全都存在，此时可引入所谓均方意义下的积分，即考虑[a,b]内的一组分点：我们就称

Y为[a,b]上的均方积分。2、均方积分第27页，课件共71页，创作于2023年2月自相关函数的二重积分第28页，课件共71页，创作于2023年2月3、时间均值和时间相关函数第29页，课件共71页，创作于2023年2月例11.6

解第30页，课件共71页，创作于2023年2月第31页，课件共71页，创作于2023年2月结论对于随机相位正弦波,用时间平均和集平均（均值函数）分别算得的均值和自相关函数是相等的。这一特性并不是随机相位正弦波所独有的。第32页，课件共71页，创作于2023年2月11.3.2各态历经性的概念

第33页，课件共71页，创作于2023年2月例11.7设平稳过程X(t)=Y，其中Y是随机变量，D(Y)0研究它的各态历经性。解

E(X(t))=E(Y)=常数于是不是常数所以均值不具有各态历经性。第34页，课件共71页，创作于2023年2月证明（常数）第35页，课件共71页，创作于2023年2月第36页，课件共71页，创作于2023年2月第37页，课件共71页，创作于2023年2月11.3.3各态历经性的条件定理11.3(均值各态历经定理)第38页，课件共71页，创作于2023年2月推论第39页，课件共71页，创作于2023年2月定理11.2(自相关函数各态历经定理)说明第40页，课件共71页，创作于2023年2月定理11.3以概率1成立的充要条件是定理11.4以概率1成立的充要条件是第41页，课件共71页，创作于2023年2月各态历经定理的重要价值从理论上给出了如下保证:一个平稳过程X(t),只要它满足定理11.3和定理11.4,便可以根据“以概率1成立”的含义,从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数,即和说明1第42页，课件共71页，创作于2023年2月说明2如果试验记录x(t)只在时间区间[0,T]给出,则有下以无偏估计式在实际中一般不可能给出x(t)表达式,因而通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式的值。第43页，课件共71页，创作于2023年2月11.4平稳随机过程的功率谱密度11.4.1平稳过程的功率谱密度概念

11.4.2功率谱密度的性质11.4.3白噪声过程第44页，课件共71页，创作于2023年2月11.4功率谱密度的概念11.4.1确定性信号函数的功率谱密度同时有傅立叶逆变换第45页，课件共71页，创作于2023年2月一般是复数量,其共轭函数x(t)的傅立叶变换等式:称为x(t)的能量谱密度帕塞伐等式又可理解为总能量的谱表示式。第46页，课件共71页，创作于2023年2月11.4.2随机信号过程的功率谱密度第47页，课件共71页，创作于2023年2月

11.4.3平稳随机过程X(t)的平均功率与功率谱密度第48页，课件共71页，创作于2023年2月它是从频率这个角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征。第49页，课件共71页，创作于2023年2月交换积分与均值的运算次序，注意到平稳过程的均方值函数是常数，于是称为平稳过程X(t)的平均功率的谱表示式。第50页，课件共71页，创作于2023年2月4、平稳随机过程X(t)功率谱密度的性质(2)SX(

)和自相关函数RX(

)是一傅立叶变换对。维纳—辛钦公式第51页，课件共71页，创作于2023年2月1234567自相关函数与谱密度对应表第52页，课件共71页，创作于2023年2月解

00第53页，课件共71页，创作于2023年2月解

由前面例可知，此随机过程是平稳过程，且相关函数为：于是得X(t)的平均功率为：第54页，课件共71页，创作于2023年2月例11.11解

由公式知自相关函数利用留数定理,可算得第55页，课件共71页，创作于2023年2月均方值为第56页，课件共71页，创作于2023年2月11.4.3白噪声定义11.4均

X(t)值为零,而谱密度SX()为正常数,即的平稳过程X(t)称为白噪声过程,简称白噪声。其名出于白光具有均匀光谱的缘故。下面讨论

白噪声的自相关函数，为此需要定义-函数第57页，课件共71页，创作于2023年2月具有下列性质的函数称为

函数

函数有一个非常重要的运算性质，即对任何连续函数f(x),有：——筛选性所以

函数的傅立叶变换为：第58页，课件共71页，创作于2023年2月

由傅立叶反变换，可得

函数的傅立叶积分表达式为：或这说明

(

)函数与1构成一傅立叶变换对。0110第59页，课件共71页，创作于2023年2月说明1与2

(

)构成一傅立叶变换对。即100同理可得：或相应地有：第60页，课件共71页，创作于2023年2月解

由于1与2

(

)构成一傅立叶变换对。第61页，课件共71页，创作于2023年2月00第62页，课件共71页，创作于2023年2月解

第63页，课件共71页，创作于2023年2月