广工管理运筹学第八章 图与网络分析

广工管理运筹学第八章图与网络分析第1页，课件共74页，创作于2023年2月引例哥尼斯堡七桥问题ABCDBDAC第2页，课件共74页，创作于2023年2月环球旅行问题：第3页，课件共74页，创作于2023年2月环球旅行问题的解另一个著名的问题:中国邮路问题第4页，课件共74页，创作于2023年2月第1节图与网络的基本知识图可以用来做什么：管理当中，事物及事物间的联系可以用图来描述五只球队的比赛情况甲乙丙丁戊甲乙丙丁戊ABCD工作分配问题图已经应用于物质结构、交通、信息传递等的描述第5页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（1）图：这里讨论的图由点以及点与点间的连线构成，与平面几何的图不同，这里只关心图中有多少个点，点与点间有无连线，至于点与点间的连线是直线还是曲线，点的相对位置，则是无关紧要的。第6页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（2）定义1

一个图是由点集V={vi}和V中的元素的无序对的一个集合E={ek}所构成的二元组，记为G=(V,E)，V中的元素vi叫做顶点，E中的元素ek叫做边v2v1v5v3v4e2e1e3e4e5e6V={v1,v2,v3,v4,v5}E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}e1=(v1,v1),e2=(v1,v2)…例第7页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（3）相邻：图中的两点间存在连线（边），则称这两点相邻，并称它们是这条边的端点；若两条边有公共的端点，则称这两条边相邻，并称它们是其公共端点的关联边。v2v1v5v3v4e2e1e3e4e5e6相邻相邻边数：m(G)=|E|顶点数：n(G)=|V|第8页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（4）无向边与无向图：若图中任一条边的端点无序，即(vi,vj)与(vj,vi)是同一条边，则称它为无向边，此时图称为无向图。有向图：若图中边(vi,vj)的端点是有序的，则称它是有向边（或弧），vi与vj分别称为这条有向边的始点和终点，相应的图称为有向图。第9页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（5）v2v1v5v3v4e2e1e3e4e5e6环(自回路)多重边定义2

不含环和多重边的图称为简单图。含多重边的图称为多重图。简单图第10页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（6）定义3

每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为无向完全图；有向完全图是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单图。完全图顶点数n与边数m间成立如下关系:m=n(n-1)/2第11页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（7）定义4

图G=(V,E)的点集V可以分为两个非空子集X，Y，即X

Y=V，X

Y=Ø，使得E中的每条边的两个端点中必有一个属于X，另一个属于Y，则称G为二部图（偶图），有时记为G=(X,Y,E)二部图非二部图第12页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（8）定义5

以v为端点的边数，叫做点v的次(degree)，记作deg(v),或简记为d(v)。v2v1v5v3v4e2e1e3e4e5e6d(v1)=4d(v2)=3悬挂点孤立点悬挂边偶点奇点第13页，课件共74页，创作于2023年2月图中顶点次的性质定理1

任何图中顶点次数的总和等于边数的2倍。定理2

任何图中次为奇数的顶点必有偶数个。定义6

在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。第14页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（9）定义7

图G=(V,E),若E'是E的子集，若V'是V的子集，且E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G'

=(V',E')为图G的一个子图，特别地，若V'

=V,则称G'为G的一个生成子图（支撑子图）。子图生成子图第15页，课件共74页，创作于2023年2月图与网络的基本概念（10）有时需要用图来表示事物及事物之间的定量的联系，这时图中除了顶点与边外，还有与点或边有关的某些数量指标，常称它们为“权”，权在图中可以表示距离、费用、通过能力等。这种点或边带权的图称为网络（或赋权图）313112785342516第16页，课件共74页，创作于2023年2月连通图（1）定义8

无向图中一个点、边交错的序列，序列中的第一个和最后一个元素都是点，若其中每条边以序列中位于它之前和之后的点为端点，则称这个点边序列为图中连接其第一个点与最后一个点的链。链中所含的边数称为链长。链，但只是简单链而非初等链简单链：没有重复边；初等链：既无重复边也无重复点。对有向图可类似定义链，如果各边的方向一致，则称为道路。第17页，课件共74页，创作于2023年2月连通图（2）定义9

若在无向图中，一条链的第一个点与最后一个点重合，则称这条链为圈。只有重复点而无重复边的圈为简单圈，既无重复点又无重复边的圈为初等圈。初等圈非简单的圈第18页，课件共74页，创作于2023年2月连通图（3）有向图无向图道路链（或道路）回路圈（或回路）道路(边的方向一致)不是道路第19页，课件共74页，创作于2023年2月连通图（4）定义10

一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每一个称为原图的一个分图（连通分支）。连通图非连通图第20页，课件共74页，创作于2023年2月图的矩阵表示—邻接矩阵对于图G=(V,E),|V|=n,构造一个矩阵A=(aij)nn,其中：v1v2v3v4v5v6第21页，课件共74页，创作于2023年2月图的矩阵表示—权矩阵对于网络（赋权图）G=(V,E),|V|=n,其中边(vi,vj)上有权wij，构造一个矩阵A=(aij)nn,其中：342516v1v2v3v4第22页，课件共74页，创作于2023年2月欧拉回路（1）定义13

连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且仅一次，则称这条道路为欧拉道路。若存在一条回路经过每边一次也仅一次，则称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图（E图）。定理3

无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中无奇点第23页，课件共74页，创作于2023年2月欧拉回路（2）推论1

无向连通图G为欧拉图，当且仅当G的边集可以划分为若干个初等回路。推论2

无向连通图G中有欧拉道路，当且仅当G中恰好有两个奇点。ABCD哥尼斯堡七桥问题无解一笔画问题第24页，课件共74页，创作于2023年2月欧拉回路（3）定理4

连通有向图G是欧拉图，当且仅当它的每个顶点的出次等于入次。连通有向图G有欧拉道路，当且仅当这个图中除了两个顶点外，其余每个顶点的出次等于入次，且这两个顶点中，一个顶点的入次比出次多1，另一个的入次比出次少1。v1v2v3v4v5v6第25页，课件共74页，创作于2023年2月中国邮路问题一个邮递员，负责某一地区的信件投递，他每天要走邮局出发，走遍该地区所有街道，再返回邮局，问应如何安排送信的路线可以使所走的总路程最短？用图论的语言描述就是：给定一个连通图G，每边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至少一次，且满足总权最小。第26页，课件共74页，创作于2023年2月中国邮路问题解法（1）若G是欧拉图，则按欧拉回路走，就是满足要求的经过每边至少一次且总权最小的走法。abcdef若G中有奇点，则G不是欧拉图，因此要连续地走过每边至少一次，则必然有某些边不止一次走过。这相当于在G中添加一些重复的边，使得到的新图G*没有奇点且满足总路程最短。第27页，课件共74页，创作于2023年2月中国邮路问题解法（2）abcdefabcdef对增加了重复边后得到的新图G*，很明显其总权的大小取决于增加的重复边权的大小。因此中国邮路问题转化为如下问题：在连通图G=(V,E)中，求一个边的集合E1E，将E1中所有边都变成重复边得到新图G*，使得G*中无奇点，且最小第28页，课件共74页，创作于2023年2月中国邮路问题解法（3）上述问题的解决依赖于以下结果：定理5

已知图G*=G+E1无奇点，则最小的充分必要条件为：（1）每条边最多重复一次；（2）对图G中的每个初等圈来说，重复边的长度不超过圈长的一半。第29页，课件共74页，创作于2023年2月中国邮路问题解法（4）下面直观地说明，若定理5的条件不成立，则可以得到总权比E1的更小的重复边集。122254122254重复两次或以上的去掉其中两条将原来的重复边变成非重复边，原来的非重复边变成重复边第30页，课件共74页，创作于2023年2月中国邮路问题解法（5）解法第一步：确定初始可行方案。若图中没有奇点，则它已经是欧拉图，按欧拉回路走即可。否则，若有奇点，奇点必有偶数个，将奇点两两配对，然后找出每对奇点间的一条道路，将此道路中的每条边都变成重复边。524363459444第31页，课件共74页，创作于2023年2月中国邮路问题解法（6）524363459444第二步：调整可行方案。使重复边最多重复一次524363459444第32页，课件共74页，创作于2023年2月中国邮路问题解法（7）524363459444第三步：检查图中每个初等圈是否满足定理条件（2），若不满足则进行调整。524363459444524363459444第33页，课件共74页，创作于2023年2月第三步要求检查每个初等圈，这一步可能是相当繁琐的。例如上例中的图就包括下图所示的初等圈。第34页，课件共74页，创作于2023年2月树—树的概念定义14

连通且不含圈的无向图称为树。树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。ABCDEFGHIJKLMN厂长人事科财务科总工程师生产副厂长新产品开发科技术科生产科设备科供应科动力科经营副厂长销售科检验科第35页，课件共74页，创作于2023年2月树—树的性质定理6T=(V,E),|V|=n,|E|=m,则下列关于树的说法是等价的。（1）T是一个树（即T是不含圈的连通图）第36页，课件共74页，创作于2023年2月树—树的性质（2）T无圈，且m=n-1第37页，课件共74页，创作于2023年2月树—树的性质（3）T连通，且m=n-1第38页，课件共74页，创作于2023年2月树—树的性质（4）T无圈，但每加一新边就得到唯一的一个圈T是边数最多的无圈图第39页，课件共74页，创作于2023年2月树—树的性质（5）T连通，但任舍去一边就不连通T是边数最少的连通图第40页，课件共74页，创作于2023年2月树—树的性质（6）T中任意两点有唯一一条链相连第41页，课件共74页，创作于2023年2月生成树—概念定义15

若图G的生成子图是一棵树，则称该树为图G的生成树（支撑树），或简称为图G的树。定理7

图G有生成树的充分必要条件是图G是连通的第42页，课件共74页，创作于2023年2月生成树—解法（1）避圈法这种方法是每步从连通图中选出一条边，使得它与已经选出的边不构成圈，直到选够n-1条边为止。一个图的生成树不是唯一的。第43页，课件共74页，创作于2023年2月避圈法的另一种表述先去掉图G中所有边，只留下点，每次任意放回一条边，使之与已经放回的边不构成圈，反复进行，直到有（n-1）条边为止。5个顶点，4条边第44页，课件共74页，创作于2023年2月生成树—解法（2）破圈法这种方法是每步从连通图中选一个圈，并去掉该圈的一条边，直到图中不含圈为止。第45页，课件共74页，创作于2023年2月另一种解法第46页，课件共74页，创作于2023年2月最小生成树—概念定义16

连通图G=(V,E),每条边上有非负权L(e)，一棵生成树上各边的权之和，称为这棵生成树的权，具有最小权的生成树，称为最小生成树（最小支撑树），简称最小树。例如如何用造价最省的电话线网将各有关单位连起来的问题，就归结为求最小生成树的问题。354367124非最小树第47页，课件共74页，创作于2023年2月最小生成树—解法1（Kruskal算法）避圈法：这种方法每步从图中挑选一条边，满足：（1）它与已经选出的边不构成圈；（2）它是满足条件（1）的权最小的边，直到选够n-1条边为止。141213144553245214121314455324529个顶点，8条边第48页，课件共74页，创作于2023年2月避圈法另一种表述先去掉图G的所有边，只留下顶点，每次放回一条权最小的边，使之与已经放回的边不构成圈，反复进行，直到有（n-1）条边为止。9482333791423316个顶点，5条边第49页，课件共74页，创作于2023年2月最小生成树—解法（2）破圈法：这种方法每步从图中任选一个圈，然后去掉该圈中权最大的边，直到图中没有圈为止。14121314455324529个顶点，8条边第50页，课件共74页，创作于2023年2月破圈法举例948233379194823337916个顶点，5条边第51页，课件共74页，创作于2023年2月破圈法举例v4v2v3v16215846最小生成树的权=9//v4v2v3v1621546v4v2v3v162154////v4v2v3v16214//v4v2v3v1621第52页，课件共74页，创作于2023年2月根树定义17

若一个有向图在不考虑边的方向时是一颗树，则称这个图是有向树。定义18

若有向树T恰有一个顶点的入次为0，其余顶点的入次为1，则称T为根树有向树根树叶根分枝点第53页，课件共74页，创作于2023年2月根树的应用根树常用来表示指挥系统上下级的隶属关系，系统的分类、溯源与继承等关系。如管理系统的组织结构，家族谱系，计算机文件目录结构，数据结构等等。第54页，课件共74页，创作于2023年2月二叉树定义19

在根树中，若每个顶点的出次小于或等于m，称这棵树为m叉树。若每个顶点的出次恰好等于m或0，则称它为完全m叉树。当上述的m=2时，该树分别称为二叉树、完全二叉树。三叉树完全二叉树第55页，课件共74页，创作于2023年2月最优二叉树（霍夫曼树）实际问题中常需用到叶子上带权的二叉树，如信息处理中的最优检索、数据结构等问题。令有s个叶子的二叉树T各个叶子的权分别为pi，根到各叶子的距离（层次，即根到叶子的边数）为li(i=1,2,…,s)，则二叉树的总权数为满足总权最小的二叉树称为最优二叉树，也称为霍夫曼树。第56页，课件共74页，创作于2023年2月霍夫曼算法步骤：（1）将s个叶子按权由小到大排列，不失一般性，设p1

p2

…ps（2）将二个具有最小权的叶子合并成一个分枝点。然后令ss-1,若s=1停止，否则转（1）。第57页，课件共74页，创作于2023年2月1223343122334351223343596122334359615例s=6，权分别为4,3,3,2,2,1.构造最小二叉树。按霍夫曼算法构造最优二叉树如下：总权为：14+24+23+42+32+32=38第58页，课件共74页，创作于2023年2月例最优检索（p270）510152050CDEBA153050100A?B?E?D?ABEDCYYYYNNNN最优二叉树最优检索流程m（T*）=5×4+10×4+15×3+20×2+50×1=195第59页，课件共74页，创作于2023年2月最短路问题最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一，许多优化问题，如设备更新、管道铺设、线路安排等都可以化为最短路问题求解。最短路问题的提法：设G=(V,E)为连通图，图中的各边(vi,vj)有非负权lij(lij=

表示vi,vj间无边),vs,vt是图中任意两点，求一条道路μ，使它是从vs到vt的所有道路中总权最小的道路。第60页，课件共74页，创作于2023年2月Dijkstra算法原理：若(vs,v1,…,vn-1,vn)是vs到vn的最短路，则(vs,v1,…,vn-1)是vs到vn-1的最短路。思路：采用标号法。使用两种标号，T标号和P标号，一个点的P标号是永久性标号，表示起点到该点最短路的权，它一旦给出就不再改变；而点的T标号是临时性的标号，表示对起点到该点最短路的权的估计值，当得到更精确的估计值时要修改原来的T标号，此外算法的每一步要把某一个点的T标号改成P标号，当得到终点vt的P标号时算法结束。第61页，课件共74页，创作于2023年2月Dijkstra算法步骤第一步：给vs点P标号P(vs)=0,其余点T标号T(vi)=+

第二步：若vi为刚获得P标号的点，则修改以vi为起点的各边终点的T标号为下两个数中的较小者：一个是vi的P标号与该边权之和，另一个是该终点原来的T标号。第三步：取所有具有T标号的点中T标号值最小的点，将其T标号改为P标号。若本次得到P标号的点为终点，算法终止，否则返回上一步。第62页，课件共74页，创作于2023年2月例（p251）46544779655410

465447796554104

6

给起点P标号0，其余点T标号（在下面的求解过程中，粉色的数字为P标号）修改以刚获得P标号的点为起点的边的终点的T标号；然后将最小的T标号改成P标号第63页，课件共74页，创作于2023年2月465447796554104968

465447796554104968

第64页，课件共74页，创作于2023年2月4654477965541049681314

465447796554104968131417第65页，课件共74页，创作于2023年2月465447796554104968131415465447796554104968131415最短路线见图第66页，课件共74页，创作于2023年2月v1v2v3v4v6v5v7v838422433123340

T(v2)=min(,0+4)=4,T(v3)=min(,0+8)=8黄色数字表示P标号最短路问题举例第67页，课件共74页，创作于2023年2月v1v2v3v4v6v5v7v8384224331233404

8比较所有的T标号，4最小。所以P（v2）=44从v2出发，到