上海2023年高二数学 同步复习 乘法原理与加法原理

高中数学同步复习：乘法原理与加法原理

(-)乘法原理

1.乘法原理(或分步计数原理)

做一件事情，需要依次完成n个步骤，其中完成第一步有％种不同的方法，完成第二步有牝种不同的

方法......完成第n步有明种不同的方法.那么完成这件事共有N=444种不同的方法.

注意：必须依次完成每一个步骤，才能进入下一个步骤，从而最后完成一件事情.

2.乘法原理的特点：

①完成一件事需要经过“个步骤，缺一不可；

②完成每一步有若干种方法；

③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.

3.图示分步乘法计数原理：

由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到Co

从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。

用乘法原理解题，按着这个模式施行就可以了，可简单地理解为：A-B,有加种方法；B-C,有几种方法；A-C,

有t?m种方法。

倒lUf借

【例1】(1)为了进一步做好社区疫情防控工作，从医疗小组的2名医生、4名护士中任意选出2人分别担任组长

和副组长，则有种不同的选法.

(2)甲有5件不同颜色的上衣，6条不同样式的裤子和4双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看

作一种搭配方法，那么甲着装时，共有多少种不同的搭配方法？

【例2】2021年12月02日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“20211202,所遇皆为对，所做皆称心”形

如“20211202”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则8位的回文数共有()

A.90B.900C.9000D.9(XXX)

I

【例3】整数630的正约数共有个.

【例4】有四种不同款式的服装，请三个服装加工场各选一款加工，共有多少种不同选法？

【例5】如图，用四种不同的颜色分别给A,B,C,。四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜

色多次使用，则不同的涂色方法的种数为（用数字作答）

AB

CD

式也利伍

1、把5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？

2、（at+a2++an）（/>,+b2++hm）（ct+c2+-+的展开式中共有项.

3、在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标取自集合r={1,2,3},点的纵坐标取自集合Q={1,4,5,6},这

样的点共有多少个？

4、某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（）

A.64种B.46种C.24种D.360种

5、已知一个三位数从0,1,2,3,4中任意选取.如果三位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？

如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？

6、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）

A.105种B.5"种C.50种D.以上都不对

7,如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水

路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（）

2

8、用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，共有种涂色方式.

（二）加法原理

1.加法原理（或分类计数原理）

做一件事，完成它有"类办法，其中第一类办法有外种不同方法，第二类办法有W种不同的方法，……，

第〃类办法有a„种不同方法,那么完成这件事共有N=a,+4++an种不同的方法.

注意：每一类办法中的每一种方法都可以单独完成这件事情，这是“加法原理''与"乘法原理''的区别.

2.加法原理的特点是：

①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；

②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；

③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.

3.图示分类加法计数原理：

由A到B算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的

方法数。

从图中可以看出，完成由A到B这件事，共有方法加+〃利K

4.分类计数原理和分步计数原理的区别：

两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.

完成一件事的方法种数若需"分类”思考，则这〃类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独

完成这件事，则用加法原理；

若完成某件事需分〃个步骤，这〃个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这〃个步骤依次都完成后，这件事才算

完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算.

5.应用两个原理时分别要注意：

若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和

得到总数；

若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立.分

步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数.

3

俐n卷神

【例6】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

从书架上任取1本书，有（）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（）种不同

取法？

A.9,20B.20,9C.9,24D.24,9

【例7】在最强大脑第七季比赛中，选手通过激烈角逐，分别坐上S、A、B、C等4个圈层.各个圈层分别有4人,

12人，16人，24人.小明从中选择一人作为他的私人教练有种选法.

【例8】（1）在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

22

⑵方程上+二=1表示焦点在y轴上的椭圆，其中me{1,2,3,4,5},〃e{1,2,3,4,5,6,7}有个.

mn

【例9】现有并排的10块单位试验田，请选择其中2块分别种植4,3两种作物，每块种植一种作物.要求A,B两

种作物的间隔不小于6块，选择的方法共有多少种？

【例10】已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为

4

必见中利伟

1、用0,1,2,3,…，9十个数字可组成多少个不同的

(1)三位数？

(2)无重复数字的三位数？

(3)小于500且没有重复数字的自然数？

2、在读书活动中，一个学生从2本不同的科技书，3本不同的政治书，8本不同的文艺书中任选2本不同学科的书,

共有多少种不同的选法？

3、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？

4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送

方法共有().

A.4种B.10种C.18种D.20种

5、如果一个三位正整数如'"出引‘满足4＜的且电＞为，则称这个三位数为“凸数”(如120,343,275等)，那么

所有三位数中“凸数”的个数为.

5

（三）乘法原理与加法原理综合

的41《得

【例11】立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果.王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种水果.李老师的果

篮里有苹果，樱桃，香蕉，骄猴桃4种水果.小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果.小华拿到两种不同的

水果的情况有（）.

A.7种B.6种C.12种D.11种

【例12】有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1

个，则不同取法的种数是（）.

A.14B.23C.48D.120

【例13］某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品

种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）

C.420种D.460种

【例14】某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能

是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

6

葩*(0*1ft

1、在中国地图上，西部五省(甘肃、四川、青海、新疆、西藏)如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一色,

相邻省不同色，则不同的涂色方法有()种.

D.120

2、若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游，每人彼此独立地选

景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有()

A.16种B.18种C.37种D.40种

3、用0,1,2,3,4,5这六个数字，

(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？

(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？

(3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？

(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？

(5)可以组成多少个数字不重复的大于3000,小于5421的四位数?

4、已知直线以+勿+c=0的斜率大于零，其系数〃、氏c是取自集合中的3个不同元素，那么这样的

不重合直线的条数是()

A.11B.12C.13D.14

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