三角函数和解三角形高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)

第四章三角函数和解三角形（2022年文科数学高考备考版）

第一节三角函数

一、高考考点梳理

（一）、角的概念的推广

1.定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置

所成的图形.

2.分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角

和轴线角.

3,终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

S=W=a+^-360°,k^Z].

（二）、弧度制的定义和公式

1,定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

2.公式

|a|=J弧长用/表示）

角a的弧度数公式

7T［80、

角度与弧度的换算①1°一］80也出②1rad-［兀

弧长公式弧长/=|«|r

扇形面积公式S=%=；|a,2

（三）、任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,田，那么

定义y叫做a的正弦，记x叫做a的余弦，记:叫做a的正切，

作sina作cosa记作tana

—■+++

各象限二+—一

符号三——+

四—+—

VJAfl.O)

kX

三角函数线

有向线段MP为正弦有向线段。河为余弦有向线段AT为

线线正切线

（四）、同角三角函数的基本关系

1.平方关系：sin2a+cos2a=1.

2.商数关系：|^=tana.

（五）、三角函数的诱导公式

-X-

公式一二三四五八

n

角2kn+a(k^Z)升a

7t+a-a兀-a2~a

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana

函数名次变，符号

口诀函数名不变，符号看象限

看象限

二、历年高考真题题型分类突破

题型一同角三角函数关系的应用

【例全国甲卷）若呵。,和皿2。=$，贝"=（）

AfB-TTD.半

解析：•.•tan2a=/二

2-sina

csin2a2sinacosacosa

tan2a=--------=----------------=-----------,

cos2a1-2sin2a2-sina

(八兀、八2sina1.1

•/ae0,-,/.cosa0,/.=,解得sina=一,

V2)l-2sin2a2-sina4

sinaJ15"、出

cosa=-sin2a/.tana=------=------故选：A.A

cosa15

4

【例2】（2017全国UI卷）已知sina-cosa,则sin2a=（）

3

ci

解析：,«1(sina-cosa)2=1-2sinacosa=l-sin2a=一，：.sin2a=-_

99

故选A.

题型二诱导公式的应用

【例3】(2021全国乙卷)cos2±-cos2'=()

1212

A.LB.3C.把D.立

2322

Artij-or十一兀5兀冗，兀兀)7t.兀

解析：由题意，COS2—-COS2——=COS2_-COS2---=COS2_-Sin2一

121212(2\2)1212

7€J3钻4门

=cos—=——・故选：D.

62

【例4】(2019全国I卷)tan255°=()

A.-2-V3B.-2+V3C.2-V5D.2+V3

解析：tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)

1V3.?

tan45。+tan30°3_3+Vj_(3+F)’12+66nr

=l-tan45stan30e2〔JV13疗6=-6-土m•

ITX手

故选：D.

题型三三角函数的概念

【例5】(2018全国I卷)已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴

2

重合，终边上有两点A(l,a),B(2,b),且cos2a',贝ij|a-b|=()

o

r2y5

V*•liJ•L

5

22511

解析：Vcos2a、2cos2Q-1.COS2a=".\sin2a=-tan2a="

00665

又Itana|=|a-bIa-bi言-.故选B.

第二节三角函数的图像与性质

一、高考考点梳理

（一）、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

1.正弦函数尸sinx,xe[O,2汨的图象中，五个关键点是：（0,0）,住1）,

（71,0）,（学，-1）,（271,0）.

2.余弦函数产cosx,x6[0,2用的图象中，五个关键点是：（0,1）,修，0）,

（兀，—1）,（苧，0）,（271.1）.

（-）,正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中％6Z）

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象

且rN

定义域RR

E+3,

值域[—1,1][T，1]R

周期性27r271兀

奇偶性奇函数偶函数奇函数

二，n.it

递增区间2kn—y2/01+2[2而一兀，2kit\,一5E+?

",.n,.37f

递减区间2E+D，2E+"y[2e,2左兀+m]无

（E+今0）

对称中心(kn,0)侍。）

71

对称轴方程xATU1x=kn无

二、历年高考真题题型分类突破

题型一三角函数的奇偶性

【例1】（2019全国I卷）函数f（x）sinx+x2在［_口,n］的图象大致为（）

COSX+X

解析：：f（X）=*•n**',XG[-TT,n],

cosx+X

/、-sinx-xsinx+x,、

・'xf（.x）=——~%=-----------2-=-fr（x）.

cosbxj+xcosx+X

••.f（X）为[-n,n]上的奇函数，因此排除A;

_sin冗+冗冗

又f（兀）=---------7=----------2>0,因此排除B,C;

cos兀+冗—1+冗

故选：D.

题型二三角函数的单调性、周期性

［例2］（2021全国甲卷）已知函数/G）=2cos（（ox+（p）的部分图像如图所示,

则/图=.

._ICh»r/口3_13K7T3兀_2兀.

解析：由题思可得：-^=-y^--y=—==—=2,

w13K_,C13K…,13(,

当x=——R时L，cox+(p=2x---+(p=2kn.:.(p=2kli一一兀UGZJ,

12126

7T

令A=l可得：＜p=-—,

6

据此有：/(x)=2cos(2x-看卜［?)=2cos2xg-*)=2cos暮=-6

故答案为：

【例3】（2021全国乙卷）函数/（x）=sing+cosg的最小正周期和最大值分别是

（）

A.37t和y/2B.3兀和2C.6冗和戊D.6兀和2

解析：由题意得，/（x）=asing+J所以/G）的最小正周期为=6]

最大值为。.故选：C.

[例4]（2020全国I卷）设函数/（x）=cos（3X+：）在卜兀汨的图像大致如下图,

O

则/（X）的最小正周期为（

10n7兀

A.-----B.——

96

解析：依图一舞是（-兀⑼的一个零点。萼8+：=-?=>3=[,故选C.

99622

【例5】(2019全国n卷)若x『g,X2=r是函数/(x)=sin<ox(3>0)两个相邻的极值点,

1424

则s=()

3

A.2B.—

2

1

C.1D.-

2

解析：—=—--=—T=n所以3=2故选A.

由题意可知2442即

【例6】(2018全国I卷)已知函数f(x)=2cos2X-simx+2,则()

A.f(x)的最小正周期为n,最大值为3

B.f(x)的最小正周期为九，最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2n,最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2n,最大值为4

35

解析：因为f(x)=KCOS2X+K，故选B.

【例7】(2018全国H卷)若f(x)=cosx-sinx在［0,a］是减函数，则a的最大值

是()

解析：f(x)=*cos(x+了)，依据f(x)=cosx与f(x)=淄COS(xq)的图象关系

知a的最大值为号.故选C.

第三节函数『=Zsin(®x+/)的图像及应用

一、高考考点梳理

(―),“五点法"作函数y=Zsin(cox+9)(/l>0,co>0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点,

作图时的一般步骤为：

1.定点：如下表所示.

713兀

上兀-92TI—(P

X2~V~2~0

CDcoco

coCD

71371

a）x+（p0712K

2T

y=/sin(口x+勿)0A0-A0

2.作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到

y=Zsin（a）x+夕）在一个周期内的图象.

3.扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y=Zsin（3+9）在R上的图象.

（二）、函数7=/5由（《0工+夕）中各量的物理意义

当函数丁=/$吊位次+夕）（/>0,tu>0）,%G[0,+°°）表示一个振动量时，几个相

关的概念如下表：

简谐振动振幅周期频率相位初相

y=As\n(cox+(p)[A>0,①>0),27r1

AT=—cox+(p

cof=T中

xe[0,+00)

（三）、函数y=sinx的图象经变换得到y=4sin（ft;x+9）的图象的两种途径

国,____

I画出尸in人的图像卜»d1出产*inx的图像

**的工信

向AU*力平个•住•怪g蜜为

得到>nm（x+0）的图像卜用到"mnax的图像

Iff*的%

・堂林♦力由左（&）举得111

|得到y~sin（的图像bT得到〉卜间UM+（P：泊&|像

—立为]屎京的Affl

锻牛为支为JK*的A倍

|留到尸Afcin（W9）的图像一

二、历年高考真题题型分类突破

题型一函数y=/sin（@x+e）的图像及变换

函数#x）=sin（2x+W）的最小正周期为（

【例1】（2017全国n卷）)

71

A.4兀B.2兀C.JiD.2

解析：最小正周期7=皇=兀.故选C.

【例2】（2016全国I卷）若将函数y=2sin（2x+；）的图像向右平移!个周期后，所得图

64

像对应的函数为（）

TCTCTC7C

A.y=2sin（2x+-）B.^=2sin（2x+—）C.^=2sin（2r--）D.y=2sin（2x--）

irTJJ«L1兀兀

解析：对应的函数为片2sin[2（x-：xjt）+—],即片2sin（2x-•­）,故选D

71

【例3】(2013全国n卷)函数y=cos(2x+(p)(—兀兀)的图象向右平移爹个单位

71

后，与函数y=sin(2x+w)的图象重合，则(p=。

解析：函数y=cos(2x+§),向右平移彳个单位，得至ijy=sin(2x+?,即

717171

y=sin(2x+y)向左平移亍个单位得到函数y=cos(2x+(p),y=sin(2x+^)向左平移

—个单位,得yusinm+iO+qJ=sin(2.r+冗+

小5兀、5兀

=cos(2x+——),即<p=——.

66

第四节三角恒等变换

一、高考考点梳理

(一)、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(a±/?)=sinacos^icosasin/J.cos(a+B)=cosacos^±sinasin/?.

,小tanaitan[3

tan(a±夕)a京『

(二)、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sinacosa.

..2tana

cos2Q=COS2。一sin2a=2cos2。一1=1-2sin2atan2a=-：—------

1-tan2a

(三，有关公式的逆用、变形等

1.tanaitan/?=tan(a±/?)(l+tanatanP).

1+cos2a1-cos2a

2.cos2a=-----2-----，sin2a=--------------

3.1+sin2a=(sina+cosQ)2,1—sin2a=(sina-cosa)2,

sinaicosa=yj2sir^a^^.

(四)、辅助角公式

函数/(a)=asina+bcosa(a,b为常数)，可以化为

其中tan(p=

二、历年高考真题题型分类突破

题型一三角函数的求值问题

-2

【例1】(2020全国n卷)若sinx=—-,则cos2x=.

3-------------

2Q1

解析：cos2x=1-2sin2x=1—2(——)2=1.

【例2】(2019全国n卷)已知(0,—)，2sin2a=cos2a+l,则sina=()

2

A1B小

A•to.-------

55

C.D.浊

35

71

aG(0,—),2sin2a=cos2a+1=>4sinacosa=2cos2a,

解析：2

则2sina=cosa=>tana=_,

所以sina=-cos2a=故选D.

5n1

【例3】（2018全国H卷）已知tan（a--7-）-，则tana=

45

3

解析：由两角差的正切公式展开可得tana比

【例4】（2018全国HI卷）若sina、o，则cos2a=（）

8778

A-R—r-----D-----

9999

18

解析：cos2a=l-2sin2a故选B.

题型二三角变换的应用

【例5】（2020全国m卷）已知8ta"8%（，+W）T,则加（%）=

1Vs2避

A.2B.-3-C.3D.-2-

解析「血瓶（呜）曰:.sinfl+JsinB+坐coe『l

即Min(呜)=1,得加储)=停故选儿

【例61(2019全国I卷)函数f(x)=sin(2x+^-)-3cosx的最小值为

解析:vf(x)=sin(2x4--^^-)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x_3cosx+l,

令t=cosx,则-1这tWl,

3

vf(t)=-2t2-3t+l的开口向上，对称轴在[-1,1]上先增后减，

故当t=l即cosx=l时，函数有最小值-4.

[例7](2017全国I卷)已知aw(0$Jana=2,贝iJcos(a-?)=。

解析：Vae(0,tana=2,Asina=2cosa,

2

Vsin2a+cos2a=l»解得sina工场，cosa=^^,

55

・/兀、兀­.TVV5vV2x2V5V23/10

..cos(a--)=cosacos—+sinasin—=^~义~^+丫〉v义人--1人丫,

444525210

故答案为：2叵

10.

【例8】(2017全国H卷)函数/(x)=2cosx+sinx的最大值为.

解析：/(x)=2cosx+sinx^yj22-}-12=^5,；.f(x)的最大值.为十.

【例9】(2016全国I卷)已知。是第四象限角，且5^(!?+：)==,则tan件?)=______.

454

541L，一.兀兀4兀兀

解析：依题t?+—是第一象限角，cos(i?+—)=—,tan(i?--)=-tan(—i?)

44544

兀兀nnnititn4

="tan[—-(i5+-r)]=-sin[—-(i?+—)]/cos[—-(!?+—)]=-cos(i?+—)/sin(t?+—)=——

242424443

故答案为：-士

3

【例10]（2013全国I卷）设当x=e时，函数〃x）=sinx-2cosx取得最大值,

则COS0=.

解析：\'f(x)=sinx—2cos^5sin(x—9)，其中sin中=―,cos<p=___.

当x—甲=2kn+U(k€Z)时，f(x)取最大值.

2

即0-cp=2k7t+E(k€Z),0=2k7t+^+(p(k€Z).

22

-''cos6=cos[g+q>)=-sin,=_2f.

第五节解三角形

一、高考考点梳理

(一)、正、余弦定理

在△Z8C中，若角4B,。所对的边分别是a,b,c,R为△力8C外接圆半径,

则

定理正弦定理余弦定理

=方2+c2—2/?CCOSJ；

q=_A_=，=2A

公式b2=c2+。2—2c〃cos8;

sinAsinBsinC

c2=+b2—2abcosC

(l)a=2/?sinA96=2Hsin8,c=2/?sinC；

A+c2—a2

⑵sin/=4，sin8=4，sin。=4；cosA~2bc；

常见c2+a2—62

(3)a:b:c=sinJ:sinfi:sinC；cosBlac'

变形

(4)asinB=bs\nA,bsinC=csinB,asinC=。2+力2—c2

cosClab

csinA

(二)、乃加由/=手心山8=-^-=和+6+(?)丁(厂是三角形内

切圆的半径)，并可由此计算凡匚

二、历年高考真题题型分类突破

题型一利用正弦、余弦定理解三角形

【例1】(2021全国甲卷)在AABC中，已知8=120。，AC=M，AB=2,则

BC=()

A.1B.C.J5D.3

解析:设AB=c,AC=6,8C=a,

结合余弦定理：4=〃2+C2-2accos5可得：19=424-4—2x«xcos120,

即：〃2+2。-15=0,解得：〃=3(。=一5舍去)，故8C=3,故选：D.

【例2】(2020全国U卷)A48C的内角A,B,C的对边分别为人b,c,已

7T5

知COS2(―+A)+cosA=—.

24

(1)求A;

(2)b—c=®a,证明：MB。是直角三角形.

3

解析：(1)由cos2(±+A)+cosA=?可得：sin2A+cosA=—,

244

4cos2A-4cosA+1=0n(2cosA-1)2=0=>cosA=—,VAe.(0,n),/.A=—.

23

(2)解法一：由力-c=^a可得。=J7(〃-c),又cosAJu”」,即

32bc2

b2+c2-a2=hc，从+c2-3(b-c"=bc,=>(b-2c)(2b-c)=0,.../?=2c或

c=2b(舍)，：.a=4,即a2+c2=/n,故MBC为直角三角形.

解法二：因为〃-c=^^a，由正弦定理得sin8-sinC=^^sinA=L由于

332

A+B+C=n,于是5皿(。+；)-5111。=:，又因为

sin(C+—)-sinC=—sinC+—cosC-sinC=^^cosC-'sinC=sin(--C),又

322223

因为兀兀兀，于是?一C=B，C=j,所以8=兀一(A+C)=g,故AA8C

--C€3662

333

为直角三角形.

2

【例3】(2020全国HI卷)在△43°中，88c=5,AC=i,BC=3,

则tanB=()

A.75B.275C.4y/5D.S\/5

解析：.・•皿°=aAC=4,3c=3,,MJ盛-T,

/,AB=y/AC2^rBC2-2AC-BC-cosC=y42+32-2x4x3xg=3

可得4=C,二EF-2C,

—2tanC

tanB=tan(?r-2C)=-tan2C=

则故选c.

【例4】(2019全国I卷)ZkABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

1b

已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=,则［=()

A.6B.5C.4D.3

解析：•.・△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

asinA-bsinB=4csinC,cosA=--y,

f2入2一力2

a-b-4c

解得3c2=亍be,・••旦=6.故选A.

2C

【例5】(2019全国II卷)△ABC的内角A,8,C的对边分别为o,b,c.已知bsin4+acosB=0,

则B=.

解析：根据正弦定理可得sin8sinA+sinAcos8=0,即sinA(sin6+cos8)=(),显然

sinAwO,所以sin8+cos8=0,故8=三3兀.

4

C\/5

【例6】(2018全国H卷)在AABC中，cos；=个，BC=1,AC=5,则AB=()

A.4小B.y/30C.^29D.2s

C3

解析：COSC=2COSK-1=-7AB?=AC2+BCL2AB•BC•cosC=32AB=4-J2.故选A.

ZO¥

【例7】(2017全国I卷)ZVIBC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c。已知

sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=^2»则C=()

解析：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

VsinB+sinA(sinC-cosC)=0,.'.sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

JcosAsinC+sinAsinC=0,

VsinC^O,cosA=-sinA,AtanA=-1,

・・7U—A—•J7T

•——<A<n,..AA———,

24

由正弦定理可得.c=a,.・.sinC=csinA,

sinCsinAa

••r-.nA］

Va=2,c=>/2，sinC=csin^.=---------将-

a22

,.*a>c,/.C=^-,故选B.

6

【例8】(2017全国H卷)M8C的内角A8,C的对边分别为a,b,c,

若2Z?cosB=acosC+ccosA,贝！］B=.

解析：由正弦定理得2sinBcos8=sinAcosC+sinCeosA=sin(Xi+C)=sinB,

1cl兀

..cos8=2'则B=y

【例9】（2017全国m卷）A48c内角A.8,C的对边分别为,已知

C=6()(),h=Jb,c=3,则A=

解析：根据正弦定理得,3

sin600sinB

J2,

sinB=—又c>b：.B=45o/.A=75o

2

题型二与三角形面积有关的问题

【例10】（2021全国乙卷）记AABC的内角4B,C的对边分别为。，b,c,

面积为6,8=60。，42+C2=3QC，贝ljb=

解析：由题意，S=LacsinB

MBC24

所以QC=4,Q2+C2=12,

所以枕=a2+c2-2accos6=12-2x4x：=8,解得。=2「（负值舍去）.

故答案为：2—.

【例11】（2020全国I卷）A48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,

已知8=150。.

(1)若a=8c,b=2F,求ZVIBC的面积;

(2)若sinA+万sinC=£,求C

解析：（1）由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2x0??xcosl50°,

解得c=-2（舍去），c=2,从而a=2".

的面积为?2小x2xsinl500=G

(2)在ZMBC中，z4=180°-f