山西省朔州市怀仁市第一中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题

2022-2023学年山西省朔州市怀仁一中高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合{α|k•180°≤α≤k•180°+60°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A． B． C． D．2．（5分）已知向量||＝，||＝2，则|+|＝（）A．10 B． C． D．133．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC外接圆的面积为（）A．4π B．12π C．16π D．48π4．（5分）函数f（x）＝4sin2x﹣1的最小正周期是（）A．π B． C． D．2π5．（5分）某圆锥的侧面积为8，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为（）A． B． C． D．6．（5分）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（）A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球7．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面（）A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β D．若α∥β，β∥γ，m⊂α，n⊂γ，则m∥n8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c2+2bccosA＝4c2，则角B的正切值的最大值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知z为复数，下列说法正确的是（）A．若，则z∈R B．若z2∈R，则z∈R C．若z﹣1+3i＞0，则z＞1﹣3i D．（多选）10．（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A．若＝，＝，则＝ B．若∥，∥，则∥ C．（•）＝（•） D．若非零向量，满足x+y＝（x，y∈R），且，不共线，则x＝y＝0（多选）11．（5分）将函数y＝sin（3x+）﹣sin（3x+）的图象向右平移φ（φ＞0），所得到的函数为偶函数，则φ的可能取值为（）A． B． C． D．（多选）12．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝4，AB＝AC＝BC＝2，则下列说法正确的是（）A．三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为20π B．三棱锥P﹣ABC的体积为 C．直线PB与平面ABC所成角的正弦值为 D．若点M是平面ABC内的一点，且，则点M的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某学校有高中学生800人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为260，240，现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为．14．（5分）已知圆锥的母线长为1，底面半径为r，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，则＝．15．（5分）小张、小陈、小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为．16．（5分）已知函数在[0，π]上有且仅有5个零点．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）小胡、小陈两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如表：小胡8580797594889584小陈9395817280829285（1）试估计两位学生预赛成绩的平均数和方差；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18．（12分）已知函数f（x）＝2sin（﹣3x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x＝﹣．（1）求f（x）的单调减区间；（2）求f（x）的最小值，并求出此时x的取值集合．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一点．（1）若E为棱PC的中点，平面PAD∩平面BDE＝l，求证：PA∥l；（2）若PA＝AB，∠BAD＝60°，BE⊥PC20．（12分）共享单车企业通过在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，也是一种新型绿色环保共享经济．某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查（百分制）分成5组：[50，60），70），[70，[80，90），100]（满意度评分值均在[50，100]内），制成如图所示的频率分直方图．（1）求a的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法在满意度评分值在[80，90），[90，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在[8021．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且bcosC+ccosB＝1，求△ABC的面积的取值范围．22．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，直线BE与平面ADE所成角的正切值为．（1）求证：平面ACE⊥平面ACF；（2）求二面角E﹣AF﹣C的大小．

2022-2023学年山西省朔州市怀仁一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合{α|k•180°≤α≤k•180°+60°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A． B． C． D．【分析】n分奇偶讨论，结合图象可得答案．【解答】解：当k＝2n，n∈Z时，k∈Z}，当k＝2n+2，n∈Z时，k∈Z}，所以选项C满足题意．故选：C．【点评】本题考查了角的范围的表示，涉及了终边相同的角的理解以及象限角的理解，解题的关键是对k进行赋值判断，属于基础题．2．（5分）已知向量||＝，||＝2，则|+|＝（）A．10 B． C． D．13【分析】根据向量数量积的性质及概念，计算即可得解．【解答】解：根据题意可得|+|＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查向量数量积的性质及概念，属基础题．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC外接圆的面积为（）A．4π B．12π C．16π D．48π【分析】根据正弦定理可得△ABC外接圆的半径，即可得其面积．【解答】解：根据正弦定理有2R＝＝＝4，则R＝6，则△ABC外接圆的面积为π•（2）2＝12π．故选：B．【点评】本题考查正弦定理，属于基础题．4．（5分）函数f（x）＝4sin2x﹣1的最小正周期是（）A．π B． C． D．2π【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数的周期公式计算作答．【解答】解：依题意，f（x）＝4sin2x﹣4＝﹣2cos2x+6，所以f（x）的最小正周期为．故选：A．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）某圆锥的侧面积为8，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为（）A． B． C． D．【分析】利用圆锥的侧面积公式，将圆台的侧面积转化为两个圆锥侧面积的差即可．【解答】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为3r，则圆锥的底面半径为3r，圆锥的母线为4l，圆锥的侧面积，所以．截去的小圆锥的侧面积，故圆台的侧面积为．故选：D．【点评】本题考查圆台的侧面积的求解，属中档题．6．（5分）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（）A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案．【解答】解：恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；至少3个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件；至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件；恰有7个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．7．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面（）A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β D．若α∥β，β∥γ，m⊂α，n⊂γ，则m∥n【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断可得答案．【解答】解：对于A，缺少m⊂α这个条件；对于B，由α⊥β，在α内存在直线l∥n，因为m⊥α，所以m⊥l，故B正确；对于C，若α⊥γ，则α与β可能平行或相交；对于D，因为α∥β，所以α∥γ，若m⊂α，n⊂γ，n平行或异面．故选：B．【点评】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c2+2bccosA＝4c2，则角B的正切值的最大值为（）A． B． C． D．【分析】先利用余弦定理化简已知等式可得，然后利用余弦定理结合基本不等式可求出cosB，从而可求出角B的正切值的最大值．【解答】解：由3b2+8bccosA＝4c2，得，得，所以，当且仅当时取等号，，又B∈（4，π），所以．所以角B的正切值的最大值为，故选：A．【点评】本题考查解三角形问题，化归转化思想，属中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知z为复数，下列说法正确的是（）A．若，则z∈R B．若z2∈R，则z∈R C．若z﹣1+3i＞0，则z＞1﹣3i D．【分析】根据复数的乘除法运算以及复数的类型，即可判断AB，由复数的模长即可判断D，根据复数的特性判断C．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，得b＝5，故A正确；若z＝i，则z2＝﹣1∈R，故B错误；不全是实数的两个复数不能比较大小，故C错误；设z＝a+bi（a，b∈R），则．故选：AD．【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．（多选）10．（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A．若＝，＝，则＝ B．若∥，∥，则∥ C．（•）＝（•） D．若非零向量，满足x+y＝（x，y∈R），且，不共线，则x＝y＝0【分析】根据相等向量的概念，向量共线的概念，向量数乘与数量积的概念，平面向量基本定理，即可分别求解．【解答】解：对A选项，根据向量相等的概念；对B选项，当时，且，但与不一定共线；对C选项，∵表示与，表示与，∴（•）＝（•）不一定成立；对D选项，根据平面向量基本定理．故选：AD．【点评】本题考查相等向量的概念，向量共线的概念，向量数乘与数量积的概念，平面向量基本定理，属基础题．（多选）11．（5分）将函数y＝sin（3x+）﹣sin（3x+）的图象向右平移φ（φ＞0），所得到的函数为偶函数，则φ的可能取值为（）A． B． C． D．【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，再由三角函数的平移法则，以及三角函数的奇偶性，列出方程解得φ，结合选项得出答案．【解答】解：函数y＝sin（3x+）﹣sin（3x+）﹣cos（3x+sin（6x﹣），函数图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝﹣3φ），因为所得到的函数为偶函数，所以﹣+kπ（k∈Z），解得φ＝﹣kπ﹣，当k＝﹣6时，φ＝；当k＝﹣2时，φ＝；故选：AC．【点评】本题考查三角函数的性质，考查三角函数的化简公式，考查学生计算能力，属于中档题．（多选）12．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝4，AB＝AC＝BC＝2，则下列说法正确的是（）A．三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为20π B．三棱锥P﹣ABC的体积为 C．直线PB与平面ABC所成角的正弦值为 D．若点M是平面ABC内的一点，且，则点M的轨迹长度为【分析】由线面角的求法，结合了空间几何体的体积及球的表面积公式逐一判断即可得解．【解答】解：对于选项A，因为PA＝4，PA⊥AB，所以，又PC＝5，BC＝2，所以PC2+BC8＝PB2，所以PC⊥BC，所以PB是三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，所以三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积S＝4πR5＝20π，即选项A正确；对于选项B，取AC的中点D，因为PA＝PC＝4，AB＝AC＝BC＝2，所以，又PD∩BD＝D，PD，所以AC⊥平面PBD，在△PDC中，由余弦定理得，所以，所以，所以，即选项B错误；对于选项C，过P作BD的垂线，如图所示，因为AC⊥平面PBD，PG⊂平面PBD，所以PG⊥AC，又PG⊥BD，AC∩BD＝D，BD⊂平面ABC，所以PG⊥平面ABC，所以∠PBG为直线PB与平面ABC所成的角，由，得，即选项C正确；对于选项D，因为PM2＝PG8+MG2，所以，则M的轨迹为以G为圆心，为半径的圆，所以点M的轨迹长度为，即选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了线面角的求法，重点考查了空间几何体的体积及球的表面积公式，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某学校有高中学生800人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为260，240，现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为65．【分析】利用抽样比可求出结果．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，则高一年级抽取的人数是．故答案为：65．【点评】本题考查分层抽样的应用，属于基础题．14．（5分）已知圆锥的母线长为1，底面半径为r，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，则＝3．【分析】根据圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，得到扇形的圆心角为，然后列等式求解．【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，可知扇形的圆心角为，由弧长公式可得，即，则．故答案为：3．【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，考查弧长公式的应用，是基础题．15．（5分）小张、小陈、小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为．【分析】根据独立事件与对立事件的概率公式可求出结果．【解答】解：记“这道题被做出来”为事件A，则．故答案为：．【点评】本题考查了相互独立事件，考查对立事件的概率公式，是基础题．16．（5分）已知函数在[0，π]上有且仅有5个零点．【分析】化简f（x），利用正弦函数图象的性质列式可求出结果．【解答】解：，当0≤x≤π时，因为ω＞0，因为f（x）在[8，π]上有且仅有5个零点，所以，解得，即实数ω的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）小胡、小陈两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如表：小胡8580797594889584小陈9395817280829285（1）试估计两位学生预赛成绩的平均数和方差；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．【分析】（1）根据平均数和方差公式计算可得结果；（2）比较均值和方差的大小可得结论．【解答】解：（1）小胡的平均数，小胡的方差+（88﹣85）2+（95﹣85）2+（84﹣85）4]＝44，小陈的平均数，小陈的方差+（82﹣85）2+（92﹣85）2+（85﹣85）7]＝54；（2）因为，所以小胡的成绩较稳定，派小胡参赛比较合适．【点评】本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝2sin（﹣3x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x＝﹣．（1）求f（x）的单调减区间；（2）求f（x）的最小值，并求出此时x的取值集合．【分析】（1）由题意，利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的解析式，从而求得它的单调减区间．（2）由题意，利用正弦函数的最值，求出f（x）的最小值，并求出此时x的取值集合．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2sin（﹣3x+φ）＝﹣2sin（3x﹣φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x＝﹣，∴3×（﹣）﹣φ＝kπ+，令k＝﹣2，可得φ＝）．令5kπ﹣≤3x﹣，k∈Z+≤x≤+，可得函数的减区间为[+，+]，k∈Z．（2）f（x）的最小值为﹣2，此时＝2kπ+，即x＝+，k∈Z+，k∈Z}．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一点．（1）若E为棱PC的中点，平面PAD∩平面BDE＝l，求证：PA∥l；（2）若PA＝AB，∠BAD＝60°，BE⊥PC【分析】（1）根据线线平行可由线面平行的判断证明线面平行，进而由线面平行的性质即可求证线线平行；（2）根据线面角的几何法找到线面角，即可利用三角形的边角关系求解．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE．因为四边形ABCD为菱形，且O为AC中点，所以PA∥OE，又PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，又平面PAD∩平面BDE＝l，PA⊂平面PAD；（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，AC，所以AC⊥PA，又AC⋂PA＝A，AC，所以BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC，又BE⊥PC，BD∩BE＝B，BE⊂平面BDE．不妨设PA＝1，因为四边形ABCD为菱形，PA＝AB，又AC⊥PA，所以，设直线PA与平面BDE所成的角为θ，则，即直线PA与平面BDE所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定和性质，以及线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（12分）共享单车企业通过在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，也是一种新型绿色环保共享经济．某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查（百分制）分成5组：[50，60），70），[70，[80，90），100]（满意度评分值均在[50，100]内），制成如图所示的频率分直方图．（1）求a的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法在满意度评分值在[80，90），[90，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在[80【分析】（1）根据频率和为1求a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5，运算求解．（2）利用分层抽样可得在区间[80，90）应抽取4人，在区间[90，100]应抽取2人，再利用古典概型求解即可．【解答】解：（1）由题意知（0.005+0.025+4.040+a+00.010）×10＝1，解得a＝0.020．满意度评分值的平均数；设满意度评分值的中位数为x，所以，即满意度评分值的中位数为75．（2）满意度评分值在[80，90）内的有200×0.2＝40（人），100]内的有200×4.1＝20（人），抽取的6人中满意度评分值在[80，90）内的有，记为a，b，c，d，满意度评分值在[90，100]内的有，记为A，B．从这6人中随机抽取2人有（a，b），c），d），A），B），c），d），A），B），d），A），B），A），B），B），其中抽到的2人满意度评分值均在[80，90）内的有（a，（a，（a，（b，（b，（c，共6种基本事件，所以抽到的2人满意度评分值均在[80，90）内的概率．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且bcosC+ccosB＝1，求△ABC的面积的取值范围．【分析】（1）将