泰勒展开定理汇总课件

泰勒中值定理泰勒中值定理B.Taylor1685-1731英国泰勒中值定理泰勒中值定理B.Taylor1685-1731142246420246观察sinx与一个多项式函数f(x)42246420246观察sinx与一个多项式函数f242246420246422464202463问题的提出（如下图）以平直代曲以切直代曲问题的提出（如下图）以平直代曲以切直代曲4泰勒展开定理汇总课件5不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.6分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好17泰勒展开定理汇总课件8泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理9证明:证明:10泰勒展开定理汇总课件11泰勒展开定理汇总课件12拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项用于极限计算拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项用于极限计13麦克劳林(Maclaurin)公式Maclaurin公式是Taylor中值定理的特殊形式，但却是独立于Taylor中值定理并且迟于它被提出来的。Maclaurin1698-1746英国麦克劳林(Maclaurin)公式Maclau14注意:3.凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问题，大部分都可以用Taylor定理来解决。掌握了Taylor定理以后，回过头来看前面的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中了，你或许会有一种“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉！从这个意义上来讲，说“Taylor定理是一元微分学的顶峰”并非妄言。注意:3.凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问题，大15Taylor公式Maclaurin公式Taylor公式Maclaurin公式16简单的应用解代入公式,得简单的应用解代入公式,得17由公式可知估计误差其误差由公式可知估计误差其误差18泰勒展开定理汇总课件19对于我们初学者来说，在给出函数的Taylor展开式或者Maclaurin展开式时，我们要知道有一个余项存在，也就是说一个一般的函数不与一个n

次多项式函数完全相等，两者有些差别，差别用余项来体现。但是余项具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。比如，给出函数的Maclaurin展开式对于我们初学者来说，在给出函数的比如，给出函数20常用简单函数的麦克劳林公式常用简单函数的麦克劳林公式21可以注意到，正弦函数是一个奇函数，所以的Maclaurin展开的表达式中只有x的奇数次方项，并且所以我们可以通过这种方式来很快捷地掌握的Maclaurin展开式可以注意到，正弦函数是一个奇函数，所以的22所以，我们可以得到用n次多项式来近似表示正弦、余弦函数的近似计算结果，而且可以看到，随着n的增大，近似效果就越来越好，x的取值范围就可以随之而扩大。所以，我们可以得到用n次多项式来近似表示正弦、余弦函数的近似23播放播放24泰勒展开定理汇总课件25泰勒展开定理汇总课件26泰勒展开定理汇总课件27泰勒展开定理汇总课件28泰勒展开定理汇总课件29所以，有一个公式就可以想象并得到其它的几个公式。所以，有一个公式就可以想象并得到其它30例2

解这就是所谓的“间接展开”。例2解这就是所谓的“间接展开”。31泰勒展开定理汇总课件32泰勒展开定理汇总课件33泰勒展开定理汇总课件34泰勒展开定理汇总课件35泰勒展开定理汇总课件36解例3

解例337麦克劳林(Maclaurin)公式麦克劳林(Maclaurin)公式38Taylor公式Maclaurin公式Taylor公式Maclaurin公式39对于我们初学者来说，在给出函数的Taylor展开式或者Maclaurin展开式时，我们要知道有一个余项存在，也就是说一个一般的函数不与一个n

次多项式函数完全相等，两者有些差别，差别