《1含30°的直角三角形的性质》教学

15.3.3含30°的直角三角形的性质义务教育教科书（沪科）八年级数学上册新课引入问题1如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接斜边AB是30°角所对直角边BC的2倍.CAB新知探究问题2

将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？等边三角形变成一个含30°角的直角三角形新知探究含30°角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你还能用其他方法证明吗？新知探究证法1证明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD

是等边三角形．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

证明方法：倍长法∴

BC=AB．

EABC证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

证明方法：截半法证法2新知探究新知探究知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

新知探究判断对错(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．

(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.

(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.

(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√

新知探究例1

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.新知探究

例2

如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.EC方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．新知探究例3

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，新知探究在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.新知探究例4

一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.（1）画出礁石C的位置；（2）求出B处到礁石C的距离.BC30°60°AD解：（1）如图,以B为顶点，向北偏西60°作角，这角一边与AM交于点C,

则点C为礁石所在地；M新知探究（2）∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，∠BAC=30°，∠DBC=60°，∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB，∴BC=AB

，(等角对等边)即BC=AB=10×2=20(海里）.答：从B处到礁石C的距离为20海里.BC30°60°ADM新知探究例5

已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB课堂小测4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC

=

.55.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______.ACB83.如图，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=

.A

B

C

D

1第3题图第5题图课堂小测6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠B=∠EAB=15°，∴∠AEC=30°，∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．课堂小测7.在△ABC中,

AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明:∵AB=AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中点,∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°,∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED==90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.课堂小测ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.8.如图是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁AB的中点，立柱BC，DE

垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多长.课堂小测9.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=A