2022-2023学年山东省临沂市蒙阴重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年山东省临沂市蒙阴重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设i是虚数单位，若复数z=3+2aA.5 B.−5 C.3 D.2.下列说法中，正确的是(

)A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥

B.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

D.以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥3.已知向量a、b不共线，若AB=a+2b，BC=A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形4.圆台的体积为7π，圆台的上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(

)A.3 B.4 C.5 D.65.在如图所示的△ABC中，点D，E分别在BC，AD上，且BD=DCA.13AB+13AC 6.如图正方体ABCD−A′BA.30°

B.45°

C.60°

7.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2,c=A.1 B.5 C.13 8.一个侧棱长为23的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形O′A′B′A.43

B.83

C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知复数z=3+iA.z对应的点位于第二象限 B.z−的虚部为2

C.|z|10.下列说法中不正确的是(

)A.向量e1=(2,−3),e2=(−12,34)能作为平面内所有向量的一组基底

B.已知|a|=6,e为单位向量，若11.如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VA.MN⊥BC

B.MN与BC所成的角为45°

C.BC12.如图，已知棱长为1的正方体ABCD−AA.正方体外接球的直径为3

B.点P在线段AB上运动，则四面体P−A1B1C1的体积不变

C.与所有12条棱都相切的球的体积为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(2,4)，b14.若i是虚数单位，复数z满足z(1+i)=2i15.直三棱柱ABC−A′B′C′的各个顶点都在球O的球面上，且AB=16.在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，PA⊥平面ABCD，四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复平面内复数z1，z2，z3所对应的点分别为A(−1,1)，B(1,2)，C(18.(本小题12.0分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA19.(本小题12.0分)

已知向量a=(1,2),b=(3,−2)．

(120.(本小题12.0分)

如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE=DA=2．

(21.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，平面PA22.(本小题12.0分)

如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN//平面PAD；

(2)若PB中点为Q，求证：平面MNQ/

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵复数z=3+2a+(2−3a)i的实部与虚部互为相反数，

2.【答案】B

【解析】解：对于A，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥正确；故A错误；

对于B，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面正确，故B正确；

对于C，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误；

对于D，正四棱锥的顶点在底面的投影为正方形的中心，正方体的顶点中没有这样的点，故D错误．

故选：B．

根据圆锥、球体、正方体以及正四棱锥的结构特征逐一判断各选项．

本题主要考查旋转体，属于基础题．

3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查向量的线性运算，向量共线，属于基础题．

由向量的加减运算可得AD=AB+BC+CD=−8a−【解答】解：根据题意，向量a、b不共线，

若AB=a+2b，BC=−4a−b，CD=−5a−3b，

则向量AD=AB+B

4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查圆台的体积公式，属于基础题．

根据圆台体积公式进行求解即可．【解答】解：由题意，圆台的体积为7π，圆台的上、下底面的半径分别为1和2，

设圆台的高为h，

则13πh·(1

5.【答案】B

【解析】解：∵BD=DC；

∴BD=−CD；

∵AD=AB+BD，AD6.【答案】B

【解析】解：因为D′D⊥底面ABCD，D′A⊥AB，所以∠D′AD即为二面角D′−AB−D的平面角，因为7.【答案】A

【解析】解：因为b=2，c=5，面积s=52cosA，

所以sinA=12cosA．8.【答案】A

【解析】解：该直棱柱的底面OA=1，OC=2，OC⊥OA，OC//AB，OA//BC，

则该直棱柱的底面为长2宽9.【答案】CD【解析】解：z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i2=10.【答案】AB【解析】解：选项A：e1=(2,−3)=−4(−12,34)=−4e2，

则e1//e2，

则向量e1,e2不能作为平面内所有向量的一组基底．判断错误；

选项B：已知|a|=6,e为单位向量，若〈a,e〉=3π4，

则a在e上的投影向量为e⋅a|e|2⋅e=1×6×(−22)12⋅e11.【答案】AC【解析】解：选项A：AB是⊙O的直径，则

CA⊥CB，又M，N分别为VA，VC的中点，

则MN//AC，则MN⊥CB，故A正确；

选项B：由MN⊥CB可得MN与BC所成的角为90°，故B错误；

选项C：VA垂直于⊙O所在的平面，则VA⊥平面ABC，

又BC⊂平面ABC，则VA⊥BC，又CA⊥CB，VA⋂CA=A，

VA，CA⊂平面VAC，则CB⊥平面VA12.【答案】AB【解析】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，

∴正方体外接球的半径为1212+12+12=32，

∴外接球的直径为3，故A正确；

点P在线段AB上运动时，P到底面A1B1C1的距离不变，等于正方体的棱长，

则四面体P−A1B1C1的体积不变，故B正确；

与所有12条棱都相切的球的直径等于面对角线B1C=2，半径为13.【答案】2

【解析】【分析】本题考查了向量坐标的定义，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．

进行数量积的坐标运算即可．【解答】解：∵a=(2,4),

14.【答案】2【解析】【分析】本题考查了复数的运算性质以及模的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．

先由已知求出z，由此即可求解．【解答】解：因为z(1+i)=2i，

所以z=

15.【答案】12【解析】解：根据题意，直三棱柱ABC−A′B′C′的各个顶点都在球O的球面上，设球O半径为r，

△ABC中，AB=AC=1，BC=2.则A=90°，

三棱柱ABC−A′B′C′的各个顶点都在球O的球面上，则球O的球心矩形BCC1B1的中心，

若球O的表面积为3π16.【答案】π6

4【解析】解：四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，

则∠PCA是PC与平面ABCD所成的角，

又矩形ABCD中，AB=1,BC=2，则AC=3，

又PA=1，PA⊥AC，则tan∠PCA=33，PC=2，

又∠PCA∈17.【答案】解：(1)复平面内复数z1，z2，z3所对应的点分别为A(−1,1)，B(1,2)，C(−2,−1)，

可得z1=−1【解析】(1)利用已知条件列出方程组求解即可．

(2)18.【答案】解：(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c．

所以2cosC(sinAcosB+s【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．

(2)19.【答案】解：(1)因为a=(1,2),b=(3,−2)，

所以a−2b=(−5,6)，

则|a−2b|=(−5)2+62=61；

(2)因为(2a+【解析】(1)由题意，结合向量的坐标表示，再利用坐标进行计算向量的模；

(2)20.【答案】解：(1)证明：根据题意，由于四边形ABCD是正方形，则有AC⊥BD．

又由DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则AC⊥DE，

而BD，DE⊂平面BED，BD∩DE=D，

故AC⊥平面BDE．

(2)根据题意，设AC∩BD=O，连接EO，如图所示．

【解析】(1)根据题意，由正方形的性质可得AC⊥BD，由直线与平面垂直的性质可得AC⊥DE，结合直线与平面垂直的判定定理可得证明；

(2)根据题意，设A21.【答案】证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D．

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC=PB．

∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，

∴【解析】在平面PAB内，作AD⊥PB于D，则AD⊥平面PBC，从而AD⊥BC，再由P22.【答案】(1)证明：取PD的中点E，连接AE，NE，因为N是PC的中点，所以NE//DC,E