（新教材）【人教A版】必修一2.2.1（数学）

2.2基本不等式第1课时基本不等式1.重要不等式与基本不等式【思考】(1)基本不等式中的a,b只能是具体的某个数吗?提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式.(2)基本不等式成立的条件“a,b>0”能省略吗?请举例说明.提示:不能,如是不成立的.(3)若a≠b,基本不等式会怎样?提示:若a≠b,(a,b>0)中的等号不成立.2.基本不等式与最值已知x,y都正数,则(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值

.(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值

.【思考】通过以上结论可以得出,利用基本不等式求最值要注意哪几方面?提示:求最值时,要注意三个条件,即“一正”,“二定”,“三相等”.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的. (

)(2)当a>0,b>0时,a+b≥2.(

)(3)当a>0,b>0时,ab≤.(

)(4)函数y=x+的最小值是2. (

)提示:(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;不等式成立的条件是a>0,b>0.(2)√.基本不等式的变形公式.(3)√.基本不等式的变形公式.(4)×.当x<0时,x+是负数.2.下列不等式正确的是 (

)【解析】选C.因为a2>0,所以a2+≥2成立.3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.

【解析】当a2+1=2a,即(a-1)2=0时“=”成立,此时a=1.答案:a=1类型一对基本不等式的理解【典例】1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (

)A.a2+b2>2ab

B.a+b≥2C. D.2.不等式a+1≥2(a>0)中等号成立的条件是 (

)世纪金榜导学号A.a=0 B.a=C.a=1 D.a=2【思维·引】利用基本不等式时需注意使用条件.【解析】1.选D.对于A项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A项错;对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D项,因为ab>0,所以所以.2.选C.因为a>0,根据基本不等式,当且仅当a=b时等号成立,故a+1≥2中当且仅当a=1时等号成立.【内化·悟】1.使用基本不等式的前提条件是什么?提示:a>0,b>0.2.基本不等式中,等号成立的条件是什么?提示:a=b.【类题·通】在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.一正,a,b均为正数;二定,不等式一边为定值;三相等,不等式中的等号能取到,即a=b有解.【习练·破】设0<a<b,则下列不等式中正确的是 (

)【解析】选B.因为0<a<b,所以0<<,所以a<,同样由0<a<b得,所以<b,由基本不等式可得,,综上,.【加练·固】已知正数0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2,其中最大的一个是 (

)A.a2+b2

B.2

C.2ab

D.a+b【解析】选D.因为a,b∈(0,1),a≠b,所以a+b>2,a2+b2>2ab,所以,最大的只能是a2+b2与a+b之一.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,所以a-1<0,b-1<0,因此a2+b2<a+b,所以a+b最大.类型二直接利用基本不等式求最值【典例】1.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为

(

)A.80

B.77

C.81

D.822.当x>1时,的最小值为________. 世纪金榜导学号

【思维·引】根据已知条件,直接利用基本不等式求最值.【解析】1.选C.因为x>0,y>0,所以,即xy≤ =81,当且仅当x=y=9时,(xy)max=81.2.令 ,因为x-1>0,所以t≥+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时,t取最小值为8.答案:8【内化·悟】能利用基本不等式求最值的题目的原型是什么样的?提示:一般条件中有“和为定值”或“积为定值”,要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”.【类题·通】当a>0,b>0时,1.若a+b=p(和为定值),则当a=b时,积ab有最大值,可以用基本不等式求得.2.若ab=S(积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值,可以用基本不等式a+b≥2求得.3.不论哪种情况都要注意等号取得的条件.【习练·破】已知m,n>0,且m+n=16.求mn的最大值.【解析】因为m,n>0且m+n=16,所以由基本不等式可得mn≤=64,当且仅当m=n=8时,mn取到最大值64.所以mn的最大值为32.【加练·固】已知a>0,b>0,则+2的最小值是(

)

A.2 B.2 C.4 D.5【解析】选C.因为a>0,b>0,所以 ,当且仅当 即a=b=1时,等号成立.类型三间接利用基本不等式求最值角度1“不正”问题【典例】已知x<0,则3x+的最大值为________. 世纪金榜导学号

【思维·引】变形为各项均大于0后利用基本不等式求最值.【解析】因为x<0,所以-x>0.则 ,当且仅当

=-3x,即x=-2时,3x+取得最大值为-12.答案:-12【内化·悟】使用基本不等式的前提条件必须是所给的式子均大于0吗?提示:当所给式子均小于0,也可以利用基本不等式求最值,但是要注意不等号方向的变化.角度2“不定”问题【典例】1.已知x>2,求x+的最小值. 世纪金榜导学号2.已知0<x<,求x(1-2x)的最大值.【思维·引】先对式子变形,凑定值后再利用基本不等式求最值.【解析】1.因为x>2,所以x-2>0,所以=x-2+≥+2=4,所以当且仅当x-2=(x>2),即x=3时,x+的最小值为4.2.因为0<x<,所以1-2x>0,所以x(1-2x) ,当且仅当2x=1-2x,即x=时,x(1-2x)的最大值为.【素养·探】本例考查利用基本不等式求最值,突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.若把本例1改为:已知x<,试求4x-2+的最大值.【解析】因为x<,所以4x-5<0,5-4x>0.所以4x-5+3+=≤ =1.当且仅当5-4x=时等号成立,又5-4x>0,所以5-4x=1,x=1.所以当x=1时,4x-2+的最大值是1.【类题·通】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用