“三会”在教学过程中的案例分析-以“完全平方公式与平方差公式”教学为例 论文

“三会”在教学过程中的案例分析——以“完全平方公式与平方差公式”教学为例摘要：“三会”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的三大核心素养，既表现出教师对数学教学的过程，也表现了学生对数学学习的生成过程。完全平方公式与平方差公式的学习与教学过程主要体现了“观察--思考---表达”的过程。关键词：核心素养三会完全平方公式平方差公式1.引言2022年5月，《义务教育数学课程标准（2022年版）》发布，数学新课标在目标设定中，明确了学科核心素养的导向，提出了数学学科的三大核心素养，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）[1]。“三会”就是学生面对现实情景的问题，从数学的角度去分析与思考，最后推出一个比较满意的问题解决的过程[3]。通过对数学新课标的学习与理解，笔者将“三会”核心素养与课堂教学进行联系，发现“三会”对学生的数学学习有较深较清晰的学习效果，本文笔者以沪科版七年级下册第八章8.3“完全平方公式与平方差公式”的教学为例，对“三会”进行教学分析。2.教学展示案例1完全平方公式观察探索一个边长为a的正方形菜地的边长扩大b,求变化后正方形菜地的面积。（1）观察图经历探索能在图中分割得到图（2）经历观察，给出图中正方形面积的不同表示：（a+b）2和a2+2ab+b2教师：它们相等吗？计算并归纳（1）计算(a+b)2（2）计算(a-b)2（3）在计算(a+b)2中将b换成-b结果如何？学生活动：利用多项式乘法的法则计算(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2这两个公式就叫做完全平方公式，用语言描述是：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍[2]。图形验证请设计一个图形，通过面积割补的方法验证完全平方公式,以和的平方为例可以看成边长为a的正方形分成了4小块，其中S4是边长为b的正方形的面积,S1+S4是长为a,宽为b的长方形的面积，S3+S4也是长为a,宽为b的长方形的面积，S2是边长为（a-b）的正方形的面积。可知S1+S2+S3+S4=a2S4=b2S1+S4=abS3+S4=abS2=(a-b)2S2=(S1+S2+S3+S4)-(S1+S4)-(S3+S4)+S4=a2-ab-ab+b2则(a-b)2=a2-2ab+b2。以上的教学片段主要是基于几何图形直观得出关于图形面积的结论，然后要求学生针对这个结论思考两个问题。问题1:能否将几何结论运用于代数运算中，即能否将图形的面积用整式来替换。问题2:能否为“结论性知识”寻找到“过程性算理”，最后将上述思考的结果用数学语言表示出来。这可分为顺次递推的三个环节。首先，要求学生会用数学的眼光来观察这两个特殊的多项式的乘法算式和几何图形的结构特点。要求学生从两个角度观察扩大后的菜地。一是整体观察即边长为(a+b)的正方形，它的面积为(a+b)2。二是局部观察扩大后看成4小块，其中有2块是正方形面积分别为a2和b2，剩余2块是形状相同的长方形，面积是ab。虽然观察角度不同，但都表示同一个正方形的面积，因此得到(a+b)2=a2+2ab+b2[4]。其次,要求学生思考:几何中基于图形直观得到的关于面积的结论(a+b)2=a2+2ab+b2，是否可作为代数中多项式与多项式的乘法法则?这里学生必须思考清楚两个问题:①将几何中表示长度的几何量a,b引申为代数中的单项式;②(a+b)2=a2+2ab+b2的运算过程及其算理，其中算理就是教材上所叙述的。最后,要求学生将上述两个问题思考清楚之后把结果准确表达出来。教材提供三种表示形式,教学中应要求学生掌握。符号语言:(a±b)2的结果可以看作由(a±b)的每一项乘(a±b)的每一项,再把所得的积相加而得（过程性语言或算法化语言），即(a±b)2=a2±2ab+b2（结论性语言）。文字语言:两数和（或差）的平方等于这两数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍[2]。几何语言：学生通过画图割补拼接的方式直观感受完全平方差公式的正确性。由此可见，“完全平方公式”的教学与学习过程充分体现了“三会”的特征。案例2平方差公式关于平方差公式，教材内容片段如下：思考：1.由多项式乘法计算：（1）（3m+1）（3m-1）（2）（x²+y）（x²-y）2.你能得到(a+b)(a-b)的计算公式吗？这个公式称为平方差公式，用语言如何表述？3.你能设计一个图形来说明上面公式吗？以上教材片段主要从三个角度探究平方差公式的生成过程，即：（1）用数学的眼光观察思考问题1多项式相乘的特点；（2）用数学的思维思考符合相同结构的多项式乘法，从特殊到一般是否成立；（3）用数学的语言归纳平方差公式。基于以上三点笔者分析如下：1.要求学生用数学眼光观察等式，通过直观想象到数学抽象。由多项式乘法计算：（1）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd（2）（a+2）（a+2）=a2+4a+4（3）（x+1）（x-1）=x2-1（4）（3m+1）（3m-1）=9m2-1（5）（x2+y）（x2-y）=x4–y2具体来说，可以从两个角度进行观察:（1）既要观察其中的每个等式，还要从整体上观察5个等式，教学中应引导学生从逐个观察到整体观察;（2）既要观察同类的也要观察不同类的（3）教学中引导学生观察两个二项式相乘，积可以是两项、三项或四项，观察怎样的两个二项式相乘，积是两项。（4）教学中应要求学生积极思考观察到的结果，观察上述后三个等式发现:等式左边是两个数的和与这两个数的差积，右边是这两个数的平方差，并且是相同项的平方减去相反项的平方。2.用数学的思维思考符合相同结构的多项式乘法，从特殊到一般是否成立；猜想：（a+b）（a-b）=a2-b2如何来推导这个等式呢？（1）代数推导：利用多项式乘法的法则计算（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2归纳：把（a+b）（a-b）=a2-b2称为平方差公式。（2）几何验证：引导学生构造出面积是（a+b）（a-b）和a2-b2的几何图形，然后，发现这两块图形面积相等，从而验证等式成立。其实，学生刚开始只会构造面积是a2-b2的图形，却构造不出面积是（a+b）（a-b）的图形；或只构造出面积是（a+b）（a-b）的图形，却构造不出面积是a2-b2的图形。后来老师先示范一种方法如下：则（a+b）（a-b）=a2-b2得到验证。经过分组探究合作，学生得到如下几种方法：方法1：沿对角线分割，拼接成如下3种情况。矩形面积：(a+b)(a-b)都可以验证(a+b)(a-b)=a2-b2这个结论。空白部分的面积，从整体看是a2-b2，从部分来看是4个完全相同梯形的面积之所以(a+b)(a-b)=a2-b2得到验证.空白部分的面积，从整体看是a2-b2，从部分来看是2个直角梯形和1个等腰梯形所以(a+b)(a-b)=a2-b2方法4：空白部分的面积是a2-b2，割补得到的，其面积可表示所以(a+b)(a-b)=a2-b2得到验证。学生在几何验证的过程中，分组合作，通过画图、拼图验证公式成立，建立代数与几何图形之间的关联，培养了学生的数形结合的思想，从而更直观地理解平方差公式的多元表征，使学生在学习新知识的过程中知其然而知其所以然，何以知其所以然。动手操作开发了学生的动手动脑的能力，激发了学生的学习兴趣，在获得知识的过程中，感受到成功的喜悦与成就感。（3）要求学生用数学语言表达结果。在教师引导下学生将思考的结果用数学符号或文字语言来表示。数学符号:（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2文字语言:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。通过上述分析可以看出,要求学生通过观察5个等式，以归纳的思维方式发现后三个等式的共同规律，并将其用数学符号、文字语言、几何验证表示出来，是典型的“三会”过程。这个过程，既是学生解决问题的过程，更是学生建构新知的过程。因此，在教学中，教师应该按照“观察-思考-表达”这一进展过程来设计与实施。3．结语：从完全完全平方公式和平方差公式的教学过程可以看出，教材编写遵循“三会”的过程。学生学习新知识的过程就是“三会”的过程，这个过程既是体现学生数学核心素养的过程，更是发展学生数学核心素养的过程。因此，教师在教学设计时，应依据“观察—思考—表达”的基本流程和主要环节为学生设计教学活动，还