物理竞赛微积分初步(求导积分)-课件

微积分初步函数的导数与微分函数的不定积分与定积分微积分初步函数的导数与微分§1函数、导数与微分一、变量、常量与函数变量：在某一过程中取值会不断变化的量。常量：在某一过程中取值始终不变的量。函数：变量y

按某种确定的关系随变量x

的变化而变化，则称y

是x

的函数，x

叫自变量，y

叫因变量，写作：y=f(x)

例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x复合函数：若y是z的函数y=f(z)，而z又是

x的函数z=g(x)，则称y是x

的复合函数，记作：

y=

(x)=f[g(x)]例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3)§1函数、导数与微分一、变量、常量与函数二、函数的导数△x△yxyy=f(x)xx+△x

设函数

y=f(x)在x处有一增量△x，相应地函数有增量△y，则比值叫函数y=f(x)在x到x+△x之间的平均变化率。函数y=f(x)在x

处的导数定义为：二、函数的导数△x△yxyy=f(x)xx+△x例：求函数y=x2

在x=1和x=3时的导数值。解：由有所以当x=1

时，y’=2，当x=3

时，y’=6例：求函数y=x2在x=1和x=3时的△x△yxyy=f(x)xx+△xPQ导数的几何意义：从图中知道，

△y/△x是过P、Q两点的割线的斜率，而当△x

0时，割线成为过P点的切线，因而导数y’=f’(x)表示曲线在x处切线的斜率。函数y=f(x)在某处的导数值，就表示了该处切线的斜率，也就是在该点处函数y=f(x)随x的变化率。△x△yxyy=f(x)xx+△xPQ导数的几何意义：基本函数导数公式基本函数导数公式导数的基本运算法则：（设u=u(x),v=v(x)）导数的基本运算法则：（设u=u(x),v=v(例1：求y=x3lnx

的导数解例2求y=sinx/x的导数解例1：求y=x3lnx的导数解例2求y=二阶导数与高阶导数前述函数的导数是y对x的一阶导数，若将一阶导数y’再次对x

求导，则为二阶导数：同理，将二阶导再对x

求导则为三阶导，三阶导的导数则为四阶导等。例求y=x3+3x2

的二阶导数二阶导数与高阶导数前述函数的导数是y对x的一阶导三、函数的极值x1x2x3xy若函数y=f(x)在某一点

x1

的函数值f(x1)比邻近各点的函数值都大或都小，则称x1

为一个极值点，f(x1)为函数的一个极值。图中x1

和x3为极大值点，x2为极小值点，f(x1)和f(x3)为极大值，f(x2)为极小值。极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：f’(x)=0极大值点的条件是：f’(x)=0，f’’(x)＜0极小值点的条件是：f’(x)=0，f’’(x)＞0三、函数的极值x1x2x3xy若函数y=f(x)例求函数y=4x3-3x2+5

的极值点和极值解：因y’=12x2-6x

令y’=0得x1=0,x2=1/2

此为其两个极值点。又y’’=24x-6，有y’’(x1)=-6＜0，y’’(x2)=6＞0因而x1=0

是极大值点，对应的极大值为y1=5x2=1/2是极小值点，对应的极小值为y2=19/4例求函数y=4x3-3x2+5的极值点和极值解：四、函数的微分例求函数y=5x+sinx的微分函数y对自变量

x的导数可将

dx看成是自变量x的一个趋于零的微小增量，称为自变量的微分；而相应的将

dy看成是函数y的微小增量，称为函数的微分。有：四、函数的微分例求函数y=5x+sinx的微§2不定积分一、原函数

前一节学了求函数y=f(x)的导数f’(x)，现若已知一函数

F(x)的导数为f(x)

，要求原函数F(x)

例因(x3)’=3x2，所以x3为3x2

的原函数（sinx)’=cosx，

sinx是cosx的原函数∵

F’(x)=[F(x)+c]’，c为任意常数，∴函数f(x)的原函数有任意多个：F(x)+c

§2不定积分一、原函数二、不定积分定义：函数f(x)的所有原函数F(x)+c

叫f(x)的不定积分，记为：不定积分的性质：这说明不定积分是求导数的逆运算。二、不定积分定义：函数f(x)的所有原函数F(x)+不定积分公式：不定积分公式：不定积分运算法则：3.若能找到函数u=u(x)，使且积分较易求出，则：不定积分运算法则：3.若能找到函数u=u(x)，使且例1求解：令u=1+x,微分得：du=dx，有：例1求解：令u=1+x,微分得：du=dx，例2求解：令u=ax+b,微分得：du=adx，有：例2求解：令u=ax+b,微分得：du=adx例3求解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：例3求解：令u=x2+1,微分得：du=2xd例4求解：令u=e3x,微分得：du=3e3xdx，有：例4求解：令u=e3x,微分得：du=3e3x§3定积分

设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，将区间[a,b]作n等分，各小区间的宽度为△x，又在各小区间内选取一点xi得出函数在这些点处的值f(xi)(i=1,2,3,…,n)abxyxiy=f(x)f(xi)△x定义：为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。f(x)为被积函数，a,b分别为积分下限和上限。§3定积分设函数y=f(x)在闭区间[a,定积分的几何意义：abxyy=f(x)f(xi)△x由图可知f(xi)△x为图中一个小区间的面积，因而定积分：表示了区间[a,b]上，曲线y=f(x)下方的面积。注意：定积分的值有正也有负，因而这并非通常意义下的面积。定积分的几何意义：abxyy=f(x)f(xi)△x定积分的主要性质：定积分的主要性质：定积分的计算（牛顿－莱布尼茨公式）若不定积分则定积分由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其不定积分（原函数F(x)），再求F(b)-F(a)定积分的计算（牛顿－莱布尼茨公式）若不定积分则定积分由此例1求解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：例1求解：令u=x2+1,微分得：du=2xd例2求解：令u=cosx,微分得：du=-sin