一元二次方程的几何问题(含详细答案解析)

一元二次方程的几何问题(含详细答案解析)一元二次方程的几何动态问题1.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动。求：(1)当P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm；(2)当P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm。2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。求：(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm？(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于8cm？请说明理由。3.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。求：(1)△PCQ的面积S关于t的函数关系式；(2)当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？(3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？请证明你的结论。4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm。点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。求：(1)当P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm；(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由；(3)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm？5.在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动。若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动。求：(1)经过6秒后，BP=6cm，BQ=12cm；(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？(3)经过几秒△BPQ的面积等于18cm²？6.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。(1)如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2秒钟后，△PBQ的面积等于8cm²；(2)如果点P、Q分别从A、B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过4秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm²。7.如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动的时间为t，问：(1)当t=1秒时，四边形BCQP面积是4.5cm²；(2)当t=4秒时，点P和点Q距离是3cm；(3)当t=2秒时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形。2.题目描述：在平面直角坐标系中，已知点A(0,0)、B(5,0)、C(5,7)，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。根据此情况，解决以下问题：(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm？(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于8cm？说明理由。2.解题过程：(1)设P，Q分别从A，B出发x秒后，△PBQ的面积为6，则BP=5-x，BQ=2x。根据△PBQ的面积公式，得到(5-x)×2x/2=6，化简后得到x^2-5x+6=0，解得x=2或x=3。因此，2或3秒后，△PBQ的面积等于6cm。(2)设P，Q分别从A，B出发t秒后，PQ的长度为5cm。由勾股定理可知，BP^2+PQ^2=BQ^2，即(5-t)^2+25=4t^2。化简后得到4t^2-10t=0，解得t=0或t=2.5。显然，t=0不符合题意，因此2.5秒后，PQ的长度等于5cm。(3)设P，Q分别从A，B出发t秒后，△PQB的面积为8，则BP=5-t，BQ=2t。根据△PQB的面积公式，得到(5-t)×2t/2=8，化简后得到2t^2-5t+8=0。由于判别式Δ=5^2-4×2×8=-31<0，因此△PQB的面积不可能等于8cm。3.点评：(1)在解决问题时，需要根据题意列出方程，并通过解方程来得到答案。(2)在解决问题时，需要运用勾股定理、面积公式等基本几何知识。(3)在解决问题时，需要注意排除无解的情况，如判别式小于0。3.等腰三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q从A、C同时出发，以相同速度1cm/秒作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S。(1)求S关于t的函数关系式。(2)当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？(3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。分析：P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，速度都为1cm/s，S=QC×PB，因此求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系。另外，P点的运动轨迹不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，因此一些问题可能会有两种可能出现的情况，需要分条回答。解答：(1)当t<10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t。因此，当t>10秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t-10。因此，(2)因为S△PCQ=S△ABC，所以当t<10秒时，S△PCQ=1/2×(10-t)×t=5t-1/2t^2当t>10秒时，S△PCQ=1/2×(t-10)×(20-t)=-(1/2)t^2+15t-100因此，当点P运动5秒时，S△PCQ=S△ABC。(3)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M。易证△APE≌△QCM，因此AE=PE=CM=QM=t。又因为EM=AC=10，所以DE=5。因此，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。同理，当点P在点B右侧时，DE=5。综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解。在这篇文章中，我们需要解决三个问题。首先，我们需要求出在点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动的情况下，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm。其次，我们需要确定线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，如果可以，需要求出运动时间；如果不行，需要说明理由。最后，我们需要在点P沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动的情况下，求出几秒后，△PBQ的面积为1cm²或2cm²。对于第一个问题，我们可以设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm，然后根据等量关系列出方程求解即可。对于第二个问题，我们可以设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，然后根据面积之间的等量关系和判别式求解即可。最后，对于第三个问题，我们可以分三种情况进行讨论，具体来说是：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）。根据题意，我们可以设经过m秒或n秒，然后依题意列出方程求解即可。解答部分：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm，列出方程求解即可得到x=2或x=4，经检验，x=2或x=4均符合题意，因此经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm。（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式，我们可以列出方程，得到y=5或y=1/2，但是由于y=1/2不符合题意，因此线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分。（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）。对于第一种情况，设经过m秒，根据题意列出方程求解得到m=5+√7或m=5-√7，但是由于m=5-√7不符合题意，因此m=5+√7。对于第二种情况，设经过n秒，根据题意列出方程求解得到n=5。对于第三种情况，由于△PBQ的面积为1cm²或2cm²，因此可以直接根据△PBQ的面积公式求解得到答案。在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动。若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP=6cm，BQ=12cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm²？解答：（1）根据路程=速度×时间，可得AP=6cm，BQ=12cm。由等边三角形的性质，得AB=BC=12cm，因此BP=12-6=6cm。故答案为：6、12。（2）由等边三角形的性质，得AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°。当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，因此BP=2BQ。设BP=x，则BQ=x/2。根据勾股定理，得x²+(12-x)²=(x/2)²，解得x=8。又因为BP=x=8，因此经过8秒后，△BPQ是直角三角形。（3）作QD⊥AB于D，则∠QDB=90°，∠DQB=30°，DB=BQ=x。在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=x√3/2。因此，△BPQ的面积为1/2×BP×DQ=1/2×8×(2√3)=8√3cm²。故经过约4.62秒，△BPQ的面积等于8√3cm²。在△PBM中，BM=8-2y，PM=y，BP=6-y，根据勾股定理得到PM的长度为√(6-y)^2+y^2，因此有S△PCQ=1/2*8*(6-y)+1/2*(√(6-y)^2+y^2)*(2y-8)=12.6，解得y=5.5；③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如图（3）过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，根据等边三角形的性质，BD=BC=8，因此QD=√(14-y)^2+8^2，CQ=2y-8，根据三角形的面积公式得到S△PCQ=1/2*CQ*QD=12.6，解得y=7.5；综上所述，经过5.5秒或7.5秒后，△PCQ的面积等于12.6cm。所以CE=QB=2cm，BE=QC=4cm，由勾股定理可得PE=√(PB^2-BE^2)=√(4^2-4^2)=0，EQ=√(QB^2-PB^2)=√(2^2-4^2)=-2，所以PQ=PE+EQ=0-2=-2cm，距离为2cm，不符合题意；如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°，∵∠A=∠D=90°，∴四边形APDE是矩形，所以AE=PD=2cm，DE=AP=2cm，由勾股定理可得QE=√(AQ^2-AE^2)=√(6^2-2^2)=√32，EQ=√(PQ^2-PE^2)=√(3^2-2^2)=√5，所以PQ=PE+EQ=2+√5，距离为3cm，符合题意；（3）如图3，分情况讨论：当PQ=DQ时，如图4，由等腰三角形的性质可知PC=CQ=1cm，所以PM=PC-CM=1-√(2^2-1^2)=1-√3，代入公式CQ×PM=12.6，解得t=5-√3秒；当PD=PQ时，如图5，由等腰三角形的性质可知PC=CQ=1cm，所以PM=PC-CM=1-√(3^2-1^2)=1-√8，代入公式CQ×PM=12.6，解得t=5-√8秒；当PD=QD时，如图6，由等腰三角形的性质可知PC=CQ=1cm，所以PM=PC-CM=1-1/√2，代入公式CQ×PM=12.6，解得t=5-2/√2秒．答：当t=5-√3秒或5-√8秒或5-2/√2秒时，点P和点Q距离是3cm．已修改，如下：已知矩形BCQE中，BC=2cm，BE=CQ=t。又AP=2t，则PE=6-3t。在直角三角形PQE中，由勾股定理可得：(6-3t)+4=9，解得t=2/3。如图2，作PE⊥CD于E，则∠PEQ=90°。因为∠B=∠C=90°，所以四边形BCQE是矩形，因此PE=BC=2cm，BP=CE=6-2t。又因为CQ=t，所以QE=t-(6-2t)=3t-6。在直角三角形PEQ中，由勾股定理可得：(3t-6)+4=9，解得t=2/3。如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，则∠PEQ=90°。因为∠B=∠C=90°，所以四边形BCQE是矩形，因此QE=BC=2cm，BE=CQ=t。又因为AP=2