2022高中数学21空间中两直线的位置关系同步练习新人教A版

2022高中数学2-1-2-1空间中两直线的位置关系同步练习新人教A版必修2一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案]D2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交[答案]D[解析]如图，a、b为异面直线，c、d分别与a、b都相交．图(1)中c、d异面，图(2)中c、d相交．3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为AA1、CC1的中点，则四边形D1PBQA．正方形 B．菱形C．矩形 D．梯形[答案]B[解析]同例2证法可知，四边形D1PBQ是平行四边形，又在正方体中，P，Q为棱的中点，BQ2＝BC2＋CQ2＝AB2＋AP2＝BP2，∴BQ＝BP，∴四边形D1PBQ为菱形．4．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，给出以下四个命题，其中正确命题的序号是()①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直A．①②③ B．②④C．③④ D．②③④[答案]C[解析]把平面展开图折叠成正方体如图所示，由图可知：①BM与ED异面，故①错．②CN与BE平行，故②错．故选C.5．在同一平面α内，若a∥b，a与c相交，则b与c()A．平行 B．相交C．异面 D．不确定[答案]B[解析]∵在同一平面α内，两直线a与c要么相交，要么平行．假设b∥c，则∵a∥b，∴a∥c，这和a与c相交的条件矛盾，∴b与c相交．6．一个与球心距离为1的平面截球所得圆面积为π，则此球表面积为()A．8eq\r(2)π B．8πC．4eq\r(2)π D．4π[答案]B[解析]由题意球小圆半径r＝1，∴R＝eq\r(2)，S＝4πR2＝8π.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CDA．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条[答案]D[解析]显然在正方体中，A1E∥CF，∴A1C与EF∴A1C是与A1D1、EF、BC都相交的一条直线．在A1D1上任取一点P，CD与DP确定一个平面与正方体相交得▱PQCD，Q在B1C1上，EF与此平面交点为R，连PR与CD必相交，设交点为H，则直线PRH，即与A1D1、EF、CD[点评](1)一般地，异面问题讨论时，总是设法化异为共，如果讨论多条异面直线问题，总是通过平行直线或相交直线或一线一点(点在另一异面直线上)定面，再加讨论．(2)过直线A1D1可作无数个平面与直线EF、CD相交，则其交点的连线必与直线A1D1相交，故可有无数条直线与三条直线同时相交．8．给出以下判断：①正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1与CC1是相交直线；②三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为侧棱AA1、BB1的中点，G是侧棱CC1的靠近点C的三等分点，则平面EFG与平面ABC必相交；③圆台OO1的轴截面为ABCD，EF为圆台的一条母线，则EF与四边形ABCD的某一条边可能平行；④三棱锥S－ABC中，E、F分别为SC、AB中点，则EF与其中正确的为()A．①② B．③④C．①④ D．②③[答案]A[解析]正四棱台是由正四棱锥截得的，故侧棱AA1与CC1必相交，∴①正确，排除B、D；如图，在三棱柱中，由条件知FG与BC不平行，又FG与BC在同一平面内，故FG与BC必相交，由此可判定平面EFG与平面ABC必相交，故②正确，排除C，∴选A.二、填空题9．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，则四边形EFGH形状为________．[答案]梯形10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在棱AA1、CC1上，当E、F满足什么条件时，点D1、E、F、B共面？________(填上一个条件[答案]AE＝C1FA1E＝CF[分析]四点D1、E、B、F共面，显然直线D1E与BF无公共点，故D1E∥BF，同理可知D1F∥BE，故只须使四边形D1EBF[解析]当AE＝C1F时，四点D1、E、B、F在B1B上取点G，使B1G＝A1E∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E∥B1∴四边形A1B1GE为平行四边形，∴EG綊A1B1.又∵A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E綊C1G又∵C1F綊BG，∴C1G綊BF，∴D1E綊BF，∴四边形BFD1E为平行四边形，故D1、E、B、11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为eq\r(3)，则其外接球的表面积是________．[答案]9π[解析]∵以三棱锥三条两两垂直的侧棱为棱可以补成一个正方体，此正方体的体对角线长即为球的直径，∴2R＝eq\r((\r(3))2＋(\r(3))2＋(\r(3))2)＝3，∴R＝eq\f(3,2)，∴外接球的表面积是S＝4πR2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝9π.三、解答题12．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面CDEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：EFGH为平行四边形．[证明]梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC、AD的中点，∴EF∥AB且EF＝eq\f(1,2)(AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.∵G、H分别为AD′、BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝eq\f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq\f(1,2)(AB＋CD)∴GH綊EF，∴EFGH为平行四边形．13．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，且BD＝6.(1)求MN的长．(2)若点A的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？[分析]重心是三角形三条中线的交点，连AM、AN并延长交BC、CD于E、F.由eq\f(AM,AE)＝eq\f(AN,AF)＝eq\f(2,3)可得MN∥EF，又EF綊eq\f(1,2)BD，从而可求MN的长．[解析](1)连结AM并延长交BC于E；连结AN并延长交CD于F；连结EF.由M、N分别是△ABC和△ACD的重心，知E、F分别是BC、CD的中点，故EF∥BD.由重心性质可得eq\f(AM,AE)＝eq\f(AN,AF)＝eq\f(2,3)，故MN∥EF.从而MN＝eq\f(2,3)EF＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)BD＝2.(2)由(1)知MN的长与点A的位置没有关系，是定值，但若点A位置发生变化，线段MN的位置也会改变．14．求证：过直线外一点有且仅有一条直线和这条直线平行．[解析]已知：直线a，点P，P∉a，求证：过P与直线a平行的直线b有且仅有一条．证明：∵P∉a，∴由点P和直线a可以确定一个平面α，在平面α内过点P可以作直线b∥a，假设还有一条直线c经过点P与a平行，则由b∥a，c∥a，∴b∥c，这与b，c共点于P矛盾，故假设不成立，∴直线b惟一．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为棱AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点，求证：EF、GH、[证明]连结D1B1，KF，则HG∥D1B1，KF∥D1B1.∴HG∥KF.∴HG、KF确定平面α.同理可证GF∥HE.∴GF、HE确定平面β.又H、G、F不共线且为α、β的公共点，∴α、β重合．∴F∈α.同理可证L∈α.∴E、F、G、H、K、L∈α.