第九章-常微分方程

第九章常微分方程一、选择题下列函数中，可作为某二阶微分方程通解的是（）（A),(B),(C),(D).[答案]选(D)解：（A)中有三个任意常数，(B)，(C)中只有一个任意常数。方程的特解形式（）(A),(B),(C),(D).[答案]选(A)解：特征方程，不是特征方程的特征根，故可设。设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是（）(A),(B),(C),(D).[答案]选(C)解：因为都是二阶非齐次线性方程的解，则是对应齐次线性方程的解，且线性无关，故原方程通解为，故选(C)。具有特解的三阶常系数齐次线性方程是（）。(A),(B),(C),(D).[答案]选(B)解：由题设知为所求常系数齐次线性微分方程对应的特征方程的3个特征根，从而特征方程为，即，故选(B)。二．填空题1.过点且满足关系式的曲线方程为 。[答案]填解：方程为一阶线性微分方程，通解由条件，得，故得曲线方程。2.已知函数在任意点处的增量，且当时，是的高级无穷小，，则[答案]填解：由条件两边同除并取极限得，即为可分离变量微分方程，通解，由条件知所以，。3.若连续函数满足关系，则 。[答案]填解：方程两边对求导得，且满足通解为，由条件知，所以。4.微分方程的通解 。[答案]填解:原方程化为即以为自变量的一阶线性微分方程，则其通解。微分方程（）满足初始条件的特解为 。[答案]填解：原方程的特征方程为，特征根，通解为，由条件，得，解得，所以特解为。6.设函数具有二阶连续导数且，并且已知是一个全微分方程，则[答案]填解：由全微分方程得充要条件知即解得由条件，求得，故。三．计算题和应用题1.求微分方程满足初始条件的特解。解：，令，有，，分离变量得，两边积分得，，即由，得，即得所求特解为，即。设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件得特解。解：以代入原方程，得，解得代入原方程得，即，方程的通解为，由，得，即，故所求特解为。求微分方程的通解，其中为实数。解：特征方程，特征根为，对应的齐次方程通解为，当时，设非齐次方程特解为，代入原方程，得，，当时，设非齐次方程特解为，代入原方程，得，，故通解为设函数在上连续，且满足方程，求函数。解：由于，所以，方程两边对求导，得，这是关于的一阶线性微分方程，其通解为，又由题设得，代入上式得，因此。设函数满足微分方程，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数。解：特征方程特征根为，对应的齐次方程通解为设原方程特解为，代入原方程解得，故原方程通解是，又已知有公切线，得，即解得，所以。设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解。解：由题设特解知原方程的特征根为和，所以特征方程为，即，于是。为确定，只需将代入方程，得，，从而原方程的通解为设是的解，求函数。解：设，，，，，，代入原方程，得，解方程，便得，所以，其中为任意常数。设一凸的光滑曲线连接了，，而为曲线上任意一点，已知曲线与线段所围区域的面积为，求该曲线方程。解：设该曲线方程为，则依题意知，方程两边对求导，得，整理为，为一阶非齐次线性微分方程，通解为又，得，故。设（1）函数（）满足条件和；（2）平行于轴的直线与曲线和分别交于点和点；（3）曲线，直线与轴所围图形的面积恒等于线段的长度，求的表达式。解：由题设可得示意图如图，由图可知，两端求导，得，即，由一阶线性方程求解公式，得，又，得，因此，所求函数为。从船上向海中沉放某种探测器，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉的过程中还受到阻力和浮力的作用，设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为（）,试求仪器下沉的深度与下沉速度的函数关系式.解：取沉放点为原点，轴正向铅直向下，则有牛顿第二定律得