初中数学+特殊平行四边形的证明及详细答案

初中数学+特殊平行四边形的证明及详细答案初中数学特殊平行四边形的证明1.（泰安模拟）在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．证明四边形ACEF是平行四边形。当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？2.（福建模拟）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF。证明四边形BCFE是菱形。3.（深圳一模）四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E。证明四边形AECD是菱形。若点E是AB的中点，判断△ABC的形状，并说明理由。4.（济南模拟）四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点。证明EB=EC。5.（临淄区校级模拟）在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=1/3，AB=4，则AC的长为多少？6.（宿城区校级月考）四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E。证明BD=BE。7.（雅安）在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E。证明△ABC≌△DCE。若AC=BC，证明四边形ACED为菱形。8.（贵阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC。证明四边形ADCF是菱形。若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长。9.（遂宁）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE。过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF。证明△ODE≌△FCE。证明四边形ODFC是菱形。10.（宁德）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB。证明四边形AECD是矩形。11.（钦州）在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF。证明CE=DF。12.（贵港）在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE。(2)当四边形ACEF是菱形时，AE=CE，且AF=CE，即AE=AF，因为△ACE和△EFA都是等腰三角形，所以∠A和∠EFA相等，又因为AC∥FE，所以∠A和∠FCE相等，即∠FCE=∠EFA，从而得到四边形ACEF的对角线互相平分，即四边形ACEF是菱形。2.（南昌市二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，且∠AFB=90°，连接AE、BF、CF、DE．（1）求证：四边形ABFE是菱形；（2）若AB=6，BC=4，求△ABF的面积．考点：平行四边形的性质；垂线的性质；菱形的性质．分析：（1）因为AB∥CF，AE是平行四边形ABCD的一条对角线，所以AE∥CF，又因为∠AFB=90°，所以AF垂直于BF，所以AF∥BE，因为E是BC的中点，所以BE=EC，从而得到AF=EC，又因为AB=CD，所以AC=BD，所以△ABE和△CDE全等，从而得到AE=CE，又因为AE∥CF，所以四边形ABFE是菱形；（2）因为AB=6，BC=4，所以平行四边形ABCD的面积为24，又因为四边形ABFE是菱形，所以△ABF的面积为24/2=12。3.（南宁模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，连接AE、BF、DF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB=2，求△ABF的面积．考点：平行四边形的性质；垂线的性质．分析：（1）因为EF是AC的中点，所以EF∥AC，又因为AE∥BF，所以AEF和BFE是平行四边形，所以∠AED=∠BFE，又因为EF∥AC，所以∠AED=∠DEC，从而得到∠DEC=∠BFE，又因为BF∥DE，所以四边形ADEF是平行四边形；（2）因为AB=2，所以平行四边形ABCD的面积为4，又因为四边形ABFE是平行四边形，所以△ABF的面积为4/2=2。4.（南京市一模）如图，ABCD是平行四边形，E是CD上一点，F是AB上一点，连接AF、BE，交于点G．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若AB=4，BC=6，EG=2，求△ABG的面积．考点：平行四边形的性质；垂线的性质．分析：（1）因为AB∥CD，所以∠ABF=∠CDE，又因为∠ABF+∠AFB=180°，所以∠CDE+∠AFB=180°，从而得到AB∥CG，同理可得BC∥AG，因此四边形ABCG是平行四边形；（2）因为AB=4，BC=6，所以平行四边形ABCD的面积为24，又因为四边形ABCG是平行四边形，所以△ABG的面积为24/2-2=10。5.（南通市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，连接AF、BE，交于点G．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若AB=3，BC=4，EG=2，求△ABG的面积．考点：平行四边形的性质；垂线的性质．分析：（1）同4；（2）同4，△ABG的面积为6。6.（武汉市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，连接AF、BE，交于点G，连接CG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若AB=6，BC=8，CG=5，求△ABG的面积．考点：平行四边形的性质；垂线的性质．分析：（1）同4；（2）因为AB=6，BC=8，所以平行四边形ABCD的面积为48，又因为四边形ABCG是平行四边形，所以△ABG的面积为48/2-15=9。7.（南昌市一模）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，连接AF、BE，交于点G，连接CG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若AB=2，BC=4，CG=3，求△ABG的面积．考点：平行四边形的性质；垂线的性质．分析：（1）同4；（2）因为AB=2，BC=4，所以平行四边形ABCD的面积为8，又因为四边形ABCG是平行四边形，所以△ABG的面积为8/2-3=1。由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，因此AC=EC。又因为平行四边形ACEF是菱形，所以AE=CF。又因为AF=CE，所以△ACE和△EFA都是等腰三角形。根据∠1=∠5和∠2=∠F，可以得出△EFA≌△ACE（AAS），因此∠AEC=∠EAF。由此可以推出AF∥CE，进而得出四边形ACEF是平行四边形。当∠B=30°时，根据∠AEC=60°和AC=EC，可以得出平行四边形ACEF是菱形。因此，四边形BCFE是菱形。在四边形ABCD中，根据AB∥CD和AC平分∠BAD，可以得出△ABC≌△ADC（AAS），因此∠ACB=∠DCB。又因为CE∥AD，所以∠AEC=∠CED。当点E是AB的中点时，可以得出AE=EB，因此△AEC是等腰三角形，进而得出∠AEC=∠ACE。因此，∠ACB=∠ACE，所以△ABC是等角三角形。解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠D=90°，∵BE∥AC，∴∠BAC=∠BCE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE∽△DCE，∴AB/DC=BE/CE，∴BE=AB×CE/DC=AB×AC/BD，又∵ABCD是矩形，∴AC=BD，∴BE=AB×AC/AC=AB，∴BD=BE．点评：此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的性质，需要运用到比例关系和代数运算。∴AE=CE，DE=EF，又∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，AE=EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形．（2）解：∵BC=8，AC=6，∴AB=√(AC²-BC²)=√(6²-8²)=√(-28)不存在，∴四边形ABCF不存在，答案：无．点评：本题考查了旋转的性质、菱形的判定与性质等知识，需要考生掌握旋转的基本概念和方法，同时要熟练掌握菱形的判定定理和性质，注意计算时要避免出现无解的情况。又∵AC=AB，E是BC的中点，∴AE是△ABC的中位线，∴AE∥BC，∵DE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，又∠AEC=90°，∴四边形AECD是矩形．点评：本题考查了矩形的判定方法，需要注意判断出四边形为平行四边形后，再利用直角的性质判断其为矩形，需要掌握矩形的各种性质及其判定方法。则EH=AH=1，∴BH=√2﹣1，又∵△AEH是等腰直角三角形，∴EH=AE/√2=1/√2，∴BE=1+1/√2，∴BE2=(1+1/√2)2=3+2√2．点评：本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，解题关键是灵活运用各个定理，注意计算细节．∴∠B=∠D=45°，∠BAE=30°，∠EAF=105°，又∵AC是菱形ABCD的对角线，∴AC平分∠BAD，∴∠BAC=67.5°，在△BAE中，∠BAE=30°，∠ABE=60°，∴BE=2AE=200cm，在△BEM中，∠BEM=45°，∠EBM=45°，∴EM=BM=x，∴AB=AE+EB=100+200=300cm．答：菱形ABCD的边长为300cm．点评：此题考查了菱形的性质，需要熟练掌握菱形的各种性质，同时要善于利用垂足、平分线等辅助线构造，化繁为简，解题思路清晰明了。分析：根据菱形的性质可知EC=AD=FC，然后根据全等三角形的性质证明△AEC≌△AFC，再根据已知条件求解△AEF的周长。解答：（1）证明：由菱形的性质可知EC=AD=FC，即EC=FC。（2）解：如图，连接EF，因为AE=AF，∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=2，周长为6cm。答：△AEF的周长为6cm。点评：本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分和全等三角形的判定条件是解题的关键。18.在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为△ABC三边的中点。需要证明四边形ADEF是菱形。证明：由于D、E、F分别为△ABC三边的中点，因此有DE∥AC，EF∥AB。又因为AB=AC，所以DE=EF。因此，四边形ADEF是平行四边形。又因为平行四边形的对角线相等，因此四边形ADEF是菱形。19.在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且DE=DF。需要证明四边形ABCD是菱形。证明：由于DE⊥AB，DF⊥BC，因此有∠AED=∠CFD=90°。又因为DE=DF，所以△ADE≌△CDF（AAS）。因此，AD=DC。又因为AB∥DC，因此四边形ABCD是平行四边形。由于平行四边形的邻边相等，因此四边形ABCD是菱形。解答：证明：∵ABCD是正方形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴AC为正方形的对角线，∴∠BAC=45°，∵E为AC上一点，∴∠BEC=∠BAC-∠BCE=45°-∠BCE，∵E为AC上一点，∴∠DEC=∠DAC-∠CAE=45°-∠CAE，∴∠BEC=45°-∠BCE=45°-∠CAE=∠DEC．故得证：∠BEC=∠DEC．点评：本题考查了正方形的性质，以及角的计算方法，需要注意角度的转化和对应关系。方形需要满足所有角都为直角且对边相等，而不是只满足对边相等。根据题意，BD是角ABC的平分线，同时DE垂直于AB，DF垂直于BC。因此，DE