初中数学湘教版九上4.1 第3课时 余弦 课件

4.1

正弦和余弦

第4章锐角三角函数第3课时余弦问题引入ABC

如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.

此时，其他边之间的比是否也确定了呢？余弦合作探究

如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则

成立吗？为什么？ABCDEF我们来试着证明前面的问题：∵∠A=∠D，∠C

=∠F

=90°，∴∠B

=∠E．从而sinB=sinE，因此ABCDEF

在有一个锐角等于

α

的所有直角三角形中，角

α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角

α

的邻边与斜边的比叫作角

α

的余弦，记作

cos

α，即归纳：ABC斜边邻边角

α

的邻边斜边cosα

=α

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角

α，有cosα=sin(90°－α)．从而有sinα=cos(90°－α)．2.

求cos

30°，cos

45°，cos

60°

的值．解：cos30°

=sin(90°－30°)=sin60°=；cos60°

=sin(90°－60°)=sin30°

=cos45°

=sin(90°－45°)=sin45°=例1在Rt△ABC中，∠C

=

90°，如图，已知

AC=3，AB=6，求sinA和cosB.┌BCA36想一想:我们发现sinA=cosB，其中有没有什么内有的关系?解：在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=3，

求：AB，sinB.10┐ABC变式：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，思考：我们再次发现sinA=cosB，其中的内在联系你可否掌握?从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角

α，有

cosα=sin(90°－α)从而有

sinα=cos(90°－α)如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，归纳总结sinA=cosB例2

计算：cos

30°－

cos

60°

+cos245°解:原式

典例精析解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．过点

P

作

PH⊥x

轴，垂足为点

H，如图.在

Rt△OPH

中，∵

PH＝b，OH＝a，例3如图，已知点

P

的坐标是

(a，b)，则

cos

α

等于(

)C

也可以过点

P

作

PM⊥y

轴于点

M，注意点

P

(a，b)到

x

轴的距离是

|

b

|，到

y

轴的距离是

|

a

|，若点

P

不在第一象限，则要注意字母的符号．方法总结如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，知识拓展1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角

对于一般锐角

α（30°，45°，60°除外）的余弦值，我们可用计算器来求.例如求

50°角的余弦值，可在计算器上依次按键，显示结果为

0.6427…如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知

cos

α

=0.8661，依次按键，显示结果为29.9914…，表示角

α

约等于30°.1.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A

=

35°，则直角边BC的长是

()A.B.C.D.AABC2.随着锐角α的增大，cosα的值()A.增大B.减小

C.不变

D.不确定B当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)3.如图，在Rt△ABC中，锐角

A

的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（

）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变

D.不能确定4.已知∠A，∠B为锐角(1)若∠A=∠B，则sinA

sinB；(2)若sinA=sinB，则∠A

∠B.ABC┌C==5.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点

A的坐标为(10，0)，点

B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝(1)求点

B的坐标；

(2)求cos∠BAO的值．ABH解：(1)如图所示，作

BH⊥OA，垂足为

H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，∴BH＝3，OH＝4，∴点

B的坐标为(4，3)．5.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点

A的坐标为(10，0)，点

B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝

(2)求cos∠BAO的值．

(2)∵