2021年新高考数学压轴讲次04：第22题考前预测题（教师版）

专题04：新高考数学第22题考前预测题(解析版)

高考数学压轴题分析方法之压轴题的特点

1、综合性强，突出数学思想方法的运用。

2、高观点性，与高等数学知识接轨。

3、交汇性，强调各个数学分支的交汇。

4、结论或条件比较新颖

近10年全国I卷，10道文科压轴题中7道考查函数与导数。3道考察圆锥曲线。

“函数与导数”以其极强的综合性强，灵活多变的解法，屡屡承载压轴使命.也因此

成为了高考数学是否可以达到140+的关键因素。而圆锥曲线由于计算量较大也成

为了文科高考的首选。

压轴题为什么难？难在题设条件多而杂，你能在第一遍审题的过程中就找到全部的

条件？又能不能在看到条件的那一刻就反映出可能的做法？下面我们来对各个题型

进行分析：

导数

(1)函数的极值点问题

(2)函数的极值点问题

1.已知函数〃x)=eX-依一cosx(aeR),g(x)=/(x)+ln(x+l).

(1)证明：若“<-1.则函数在R上是增函数；

(2)证明：若。=2,-^<x<则函数g(x)在x=0处取得极小值.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)直接利用导数判断增函数;

(2)利用导数证明g(x)在(%,0)上单减，在(0仁)上单增，从而得到函数g(x)在

x=0处取得极小值.

【详解】

(1)/(x)=e，-ax-cosx的定义域为R,尸(x)=e"-a+sinx

v67<-1,—a<l9-6z+sinx>0,・・・/'(x)=e*—a+sinx>0

即函数/(x)在R上是增函数；

(2)g(x)=/'(x)+ln(x+l)=e"-2x-cosx+ln(x+l),

则g'(x)=e“-2+sinx+——,

x+1

令〃(x)=g<x)=e，-2+sinx+」~j,有/z(0)=e°-2+sin0+^-^=0,

而"(%)="—；—^+cosx

(x+1)

当0<x<］时，〃'(力>0；.〃(力在(0,口上单增，

〃(x)>M。)=0，g(%)在(o,上单增.

当-KO时,"(0)=l>0,

XA，［-i^)=e^-100+cosf-io)<0,

故存在/{-',())，使得"伍)=0,

二当不£(知0),即单增,

・・.h{x)<A(0)=0,即g(x)在(飞,0)上单减.

.•.g(x)在小,0)上单减，在(0,口上单增，

.•・函数g(x)在x=0处取得极小值.

即证.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

(4)考查数形结合思想的应用.

2.设函数/(x)=[ax2—(4a+l)x+4a+3]ex.

(1)若曲线在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a；

(2)若/(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

【答案1(1)1;(2)(—,+℃).

【分析】

(1)利用导数的几何意义可得尸(1)=。，即可得答案;

(2)利用极值的定义对。分。>；、。两种情况进行讨论.

【详解】

(1)因为/[x)=[ax2—(4a+l)x+4a+3]ex,

所以/'(x)=[——(2a+l)x+2p,广⑴=(1一a)e,

由题设知/'(1)=0,即(l—a)e=0,解得a=l,

此时/(I)=3ew0.所以a的值为1；

(2)/'(%)=[依2-(2a+l)x+2^|er=(ar-l)(%-2)eA

若a>g,则当xe(1,2)时，r(%)<0；当xw(2,+a))时，/'(x)>0

所以/(x)在x=2处取得极小值；

^a<—,则当XG(0,2)时，，x-2<0,ax—1<0,

22

所以广(x)>0,所以2不是/[X)的极小值点，

综上可知，a的取值范围是(!，”).

2

【点睛】

口)可导函数y=/(x)在点X。处取得极值的充要条件是/(xo)=O,且在xo左侧与右侧

/(X)的符号不同.

(2)若/[X)在(a,6)内有极值，那么/[X)在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上

单调增或减的函数没有极值.

(3)函数的零点问题：

3.已知函数/(x)=lnx-x+a.

(1)若〃x)，0,求“的取值范围；

(2)若f(x)有两个零点〃？，〃，且，〃<〃，证明：〃+,<2e“T<〃?+

nm

【答案】(1)«<1；(2)证明见解析.

【分析】

(1)利用导数求出函数的最大值/⑴=。-1,解不等式。-1V0即得解；

(2)由题得6小=史=巴，所以2e〃T—=空;二或T；

mn\m)m

2片一(〃+口=经上近二1.令g(x)=2e1-/一］,利用导数求出函数的单调性

In)n

即得证.

【详解】

解：(1)/(x)的定义域为(0,+9),r(x)=』-i.

0<x<l时，_T'(x)>0；x>l时，f'(x)<0,

所以fW在(0,1)上单调递增，在(1,2)单调递减.

即x=l时，/(X)取得最大值/(l)=a-l,

依题意，<0,故。<1.

(2)由(1)知，a>},0<m<1</2,

由题得In尤一x+。=0,/.Inx=x—x=ex~a

A-lx-l

所以，%=-%=。,."=1-

m-1?:-l

所以efJ=±-

mn

令g(x)=2ex~'-x2-l,则g'(x)=2ex-'-2x=2(ex~'-x),

由(1)知，等号当且仅当x=l时成立，

所以ei2x，等号当且仅当x=l时成立，

于是可得g'(x)NO,即g(x)单调递增，

因此，当0cx<1时・，g(x)<g⑴=0；当x>l时，g(x)>g⑴=0,

所以2e°T—1”+，)>(),2efl-l-1m+—j<(),

故〃+!<2e“i<m+—.

nm

【点

m-1n-1

关键点睛：解答本题的关键有二个，第一：得到e"T=J=♦,通过它可以消

mn

元；第二：作差得到2e"T-(加+,]=2醛--疗t；

ktn)m

2e"--|\+4=2e'i-犷-1；第三：构造函数8⑴=2e1-/-1,研究函数的单

knJn

调性.

4.已知函数/(力=-/+or+21nx(aeR).

(1)当4=2时，求“X)在(1,〃1))处的切线方程；

(2)若函数g(x)=〃x)〃在%上有两个零点，求实数〃7的取值范围.

【答案】(1)2x-y-l=o;(2)(1，2+5.

【分析】

(1)求出/(1)和/。)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)求得g(x)=21nx-f+m，利用导数分析函数g(x)的单调性、极值，并求出

g(e)、g]£|，根据已知条件可得出关于加的不等式组,由此可解得实数”?的取

值范围.

【详解】

(1)当a=2时，/(x)=21nx-x2+2x,_f(x)=2—2x+2,则/(1)=1,

尸(1)=2，

所以，/(x)在处的切线方程为y—l=2(x—l),即2x-y-l=0；

(2)g(x)=21nx-x2+m,则g，(x)=2_2x=：2(x+l)(d.

XX

vxe-,e,.二当g'(x)=O时，x=\.

当!<xvl时，g'(x)>0；当1cxee时，g'(x)vO.

e

所以，函数g(x)在Jl)上单调递增，在(l,e］上单调递减.

故g(x)在x=l处取得极大值g(l)=mT.

又g|_=m-2~—,g(e)=m+2-e2,

\eJe

g(e)-g(J=4—e2+J<0,则g(e)<g

，g(x)在g,e上的最小值是g®.

g⑴=加一1〉0

又g(x)在1,e上有两个零点，则m、1"，解得1<团42+二，

g\-=m-2——-<0e

因此，实数〃，的取值范围是(1，2+方.

【点^青】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据

函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导

数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题;

(3)参变量分离法：由/(月=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线

y与函数y=g(x)的图象的交点问题.

(3)恒成立求参数范围问题：

5.已知函数/'(x)=alnx+x+e-*(a<0)

(1)当。=-1时，判定/(x)有无极值，并说明理由；

(2)若对任意的xe(l,+8)恒成立，求。的最小值

【答案】(1)“X)有一个极小值，但没有极大值；答案见解析；(2)-e.

【分析】

(1)对函数进行二次求导，利用函数零点存在性定理；(2)构造新函数进行转化.

【详解】

解：(1)函数/(x)的定义域为(0,+。)，=+

令g(x)=」+l--,则g，(x)=e+」〉0

xex-e

所以尸(力在(0,+力)上为增函数

又广(1)=」<0,1⑵二-］〉0

e2e

所以存在马€(1,2),使得尸(x°)=0

所以当0<x<x0时，/'(%)<0

当X〉/时，/'(%)>o

所以/(X)在(O,X0)上单调递减，在(%”)上单调递增

所以x=x0是/(X)的极小值点

综上，/(X)有一个极小值，但没有极大值

(2)不等式/(*)>/，^a\nx+x+e-x>xa

即x+e^x>xa-a\nx=xa-\nxa

即"x-InE*>Z-ln£对任意的x£(1,恒成立

令〃⑺=f-则〃()=1—；=?<0,从而〃⑺在(0,1)上单调递减

当x>1时，，0<e~x<e'':

又。<0时，0<£<1

不等式e-x-Ine-'NE—lnx〃转化为力(",)之从当

该不等式恒成立等价于e-x</恒成立，即-xWalnx对任意x>1恒成立，

r

即。之一-对任意无>1恒成立

Inx

令心)=一含》〉1)

1-lnx

则e'(x)=

(inx)2

所以，当1cx<e时，0'(x)〉0

当x>e时，0'(x)<0

所以函数。（X）在（Le）单调递增，在（乙位）单调递减

所以。（%）皿=。（6）=-6

所以a2—e

故。的最小值为-e.

【点睛】

1.求函数的极值的一般步骤：口）求了'（力或二阶导数；（2）求出导数的零点；（3）利

用导数的正负判断函数的单调性；（4）确定函数的极值.

2.求参数范围的常用方法：参数分离法，构造函数法等.

6.已知函数/（x）=x2-4x+a如:,（aeR,"O）,_f（x）为函数“X）的导函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若存在实数与的，且玉＜七使得/（玉）=./（％）=0,求证用/（々）＞T.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；

【分析】

（1）求得函数的导数，讨论判别式和。的范围：a＞2,0＜。＜2,4,0,解二次不

等式，即可得到所求单调区间；

（2）求得函数的导数，令导数为0,解二次方程可得。，2）,设

g（x）=f（x）+4=x2-4x+alivc+4,\＜x＜2,又。=4x-2f,可得

gM=x2-4x+（4x-2x2）lnx+4,求出导数，判断单调性，即可得证.

【详解】

解：(1)函数/(x)=f-4x+R"x的导数为/'(x)=2x-4+q(x>0)

X

_2x2-4x+a

-9

X

①当A=16-8aW0,即aN2,-4x+a>0恒成立，可得/'(x)>0恒成立.

即有f(x)的增区间为。+«),无减区间；

当△=16-8a>0,即。<2,可得2x?-4x+a=0的两根为x=l±/^,

②当0<a<2时，1+1->0,

/0）>0,可得或

/'（x）<0,可彳导1—J1—万<x<1+J

即，（X）的增区间为（1+尼，内,减区间为+J

③当4,0时，1+「|>0,1-^1

-/0,

/"）>0,可得x>l+R；

f'W<0,可得

即/（x）的增区间为11+尼，”；减区间为（0』+『'］；

综上可得：当时，/（X）在（。,一）上单调递增，无减区间;

当怎。时，/（X）的增区间为

(2)证明：函数/(%)="2-+a的导数为/")=2工一4+幺=马一4八+"(x>0),

XX

由题意可得工］,当是2父-4x+a=0的两根，且马=1+J1,0<。<2,

可得々£(1,2),

^(x)=/(x)+4=x2-4x+alnx+4,l<x<2,

又a=4x-2x2,可得g(x)=x2-4x+(4x-2x2)bvc+4,

g'(x')=2x-4+(4—4x)lnx+(4x-2x2)」=4(1-x)lnx,

x

由1<x<2可得4(1-X)/MX<0,B|Jg(x)在(1,2)递减,

则g(x)e(O,1),显然g(x)>0恒成立，

则—I.

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查

不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，运用单调性解决，考查化简整理

的运算能力.

(4)函数不等式(证明和利用解决问题)：

7.已知函数/(元)=-—In工一〃a(机eR).

x

(1)讨论函数的单调性；

(2)若机=1,求证："(x)+x-a]ln(x+l)-l<JT.

e

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)/'(x)=-乌_〃优―+：+，x〉o,分机=o,机力0两种情况，根据

XXX

二次函数的性质，利用判别式结合函数的定义域，由导数的正负判断；

(2)将证明(；—lnx—a)ln(x+l)-l<，Y，转化为证

(l-xlnx-ox)-11^-1-<-~牡然后令Zz(x)=l-xlnx-or,

xe

^(x)=ln(l+x)-x(x>0),用导数法证明.

【详解】

n?I

(1)f\x)=—T------m——-----5----,x>0,

XXx

则人)。,

若〃2=0,T<函数/(x)在(0,+®)上单调递减.

若加,则二次函数y=〃V+x+〃?的判别式△=l-4〃?2,

当AKO,B|J—时、

22

若根《-；，则尸(x)NO,等号不恒成立，函数F3在(0,+8)上单调递增;

若mzg,pllJ/(x)<0,等号不恒成立，函数f(x)在(0,茁)上单调递减.

当△>(),即一,<加<，且根工。时，

22

令/'(X)=0,即mx2+x+zn=0,

114^nd--1-Jl-4"-1+Jl-4"r4_v_1rr_1

xx-1

irCR'Jx,=-----------------，X)=------------------，Xj+x2-----,i2»

2tn2m机

若0(根<g,则为，x2<0,此时/(x)<0恒成立，函数在(0,+8)上单调递

减；

若-g<"?<(),则。<々<%，当xe(0，z)时，f'(x)>0,

当了武马,不)时/'(x)<0,当时，f'(x)>0,

即函数/(x)在(0,々)和(玉,口)上单调递增，在(如丹)上单调递减.

综上，当加士0时-，函数/(x)在(0,一)上单调递减；

当时，函数f(x)在(0,+8)上单调递增；

当一：〈根<()时，函数/(%)在0,一\------和一\——~,+8上单调递

22m2m

\7\7

增，

在一三-----，一三-------上单调递减.

2m2m

ln(x+D-l〈击,

(2)要证—\nx-a

x

.、ln(x+l)ea+,+I

即证(1-xlnx-ca)---——-<———.

记〃(x)=\—x\nx—ax,则h\x)=—\nx—l—a,

令"(x)=0,得元=e"+L

当x«O,eSD)时,"(x)>0,〃(x)单调递增；

当时，"(幻<0,心)单调递减，

/1户。+I_1_1

所以3)4〃3(“叫)=1+西=乎「.

1V"

令人(x)=ln(l+x)-x(x>0),则k'(x]=--------1=-----<0,

1+x1+x

所以女(犬)在(0,+。)上递减，

贝iJA(x)</(0)=0,

即ln(l+x)<x(x>0)恒成立，

所以(l-xlnx-ox)蚂也<=恒成立，

xe"

故"(x)+x-a]ln(x+l)-1<—

【点睛】

方法点睛：判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断

/(x)的符号问题上，而/(x)>0或/(x)<0,最终可转化为一个一元一次或一元二次

不等式问题.若含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问

题，只要把握好下面的四个"讨论点"，一切便迎刃而解.分类标准一：二次项系数

是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正

负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨

论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小.

8.已知函数/(外=〃朋》+；851+/),g(X)=/(X)-X-^COSfX+

(1)当XN1时，若不等式g(x)«e'T-x-l恒成立，求实数加的取值范围；

(2)若存在两个不相等的正数玉，w，使得/(%)+玉=/«)+/,证明：

JpW<-2m.

【答案】(1)(91］：(2)证明过程见详解.

【分析】

(1)化简不等式，构造新函数力(x),问题转化为以x)W0在时恒成立，利用导

数分类讨论进行求解即可；

(2)对已知等式进行化简，得到-7〃(111工2-111%)=一；(5皿工2-5由药)+々-%,构造

函数G(x)=x-sinx,求导，得到不等式X2-sinx2>0,X|-sinX|>0,进而利用放缩

法，结合换元法、构造新函数，利用导数进行证明即可.

【详解】

(1)g(x)Ve*T-x-lnnzlnxWe”——1,^h(x)=m\nx-ex~'+1,力⑴=0

YY}

因此原问题转化为当XNI时，不等式版工)〈。恒成立，h(x)=--ex-},

当相£1时，h(%)<0,函数〃(x)=〃ln无一。t+1在xNl时,单调递减,

所以当时，h(x)<h(\)=O,所以不等式Mx)WO恒成立;

当，*>1时，h(x)=---e*T=0="2=xe'T,设F(x)=xe*T,F(x)=(x+,当

x

xNl时，F(x)>0,所以函数/(x)=xe1此时是单调递增函数，且尸(x)N尸(1)=1

因此函数丁=机与函数F(x)=x/T有唯一交点，设%,显然%>1,

因此当X€(1，X(>)时，/?(x)>0,函数/?(x)="?lnx-/T+1单调递增，当xe(x(),+8)

时,/?(%)<0,函数〃(x)=mlnx-e*T+l单调递减，因此力(x)1rax=〃(/)>6⑴=0,

显然不等式虫x)W0不恒成立，不符合题意，

综上所述：实数团的取值范围是(-8,1］；

(2)/(%)+工|=/(专)+/=>机In%-gsinX[+玉=m\nx2-^sinx2+x2,

即-m(lnx2-Inx,)=(sinx2-sinxl')+x2-x],

设G(x)=x-sinx,G(X)=1-COSJC>0,所以函数G(x)=x-sinx是增函数,

因为现，々是两个不相等的正数，所以不妨设々>%>。，

因此有G(X2)>G(X[)>G(0)=0,B|Jx2-sinx2>0,玉一sin%>0,

x

因此2~sinx2+xt-sin%>0=-(sinx2+sinp)>-(x2+xt),

即-m(lnx2-Inxt)=-—(sinx2-sinx,)+x2-x,>-—(x2-x,)+(x2-xj=—(x2-x(),

一2心肃会要想证明用<一2加成立，只需证明武关『后,

因为马>芭>0,所以令"强>1,因此只需证明在，>1时成立，即

西Inr

〉Int在，>1时成立，设函数加（r）=ln/-」=i,r>1,/”（/）=（山？<0,所

以当」>1时,函数"Xx）=ln/-导单调递减，因此当f>l时,机⑺<〃贝）=0,即

皿x）=lnf-葵<0=>12<亍，因此成立，所以"E<-2〃Z.

【点睛】

关键点睛：本题的关键在于由-加（1*2-1呻）=-3（5m工2-5皿%）+%2-%，联想构

造函数G（x）=x-sinx,进而可以运用放缩法、换元法，通过导数的性质进行证明.

（5）极值点偏移问题

9.已知函数/（x）=（l+x）ln（l+x）-G?-（2a+l）x,aeR.

（1）若〃x）在定义域内是减函数，求。的最小值；

（2）若“X）有两个极值点分别是々，证明：X,+X>--2.

2a

【答案】（1）J;（2）证明见解析.

2<?

【分析】

（1）利用函数/（X）在定义域内是减函数等价于raw。在（-1,叱）上恒成立，参

变分离后，即可求。的最小值；

（2）令Mx）=r（x）,利用导数可求得做x）的单调性;令

w（x）=/z（x）-//f^-2-xjfx>^--M,可求得"2（X）>0,得到加（x）单调递增，可

得人(%)>力(,一2-々),置换为〃(xj>—2-々)，由〃(x)在(一1,五—1)上的

单调性可得自变量的大小关系，从而证得结论.

【详解】

(1)/(x)定义域为(-l,+oo),/'(x)=ln(l+x)-2a(x+l),

•・"(X)在定义域内是减函数，，/'(x)WO在上恒成立，

ln1+x

即ln(l+x)—2a(x+l)<0,2fl>(),

1+x

令(x)=9&包，则g©)」)n(l［x),令g，(x)=o,解得：x=e—1,

.•.当xe(-l,e-l)时,g'(x)>0；当xe(e-l,+e)时，g'(x)<0；

，g(x)在(T,e-1)上单调递增，在(e-l,+o>)上单调递减，

•••gOOmJg.7)=(，，2a»g(x)1rax=：,解得：‘

的最小值为［.

(2)由(1)知：若/(力有两个极值点，则

2aX2a+l

令〃(x)=r(x)=ln0+x)_2a(x+1),则〃(x)=———2a=~~,

XI1XI1

令"(x)=O,解得：x=^--l,

.•.当--1］时，/?,(%)>O；--1,+81时，”(x)<0；

在上单调递增，在（:一1，+4上单调递减，

不妨设X<x,则一1<X]<---1<X;

}22a2

令加力

(x)=(x)_6('_2—xx>———1

2a

二加⑴在（（-L+g）上单调递增，.♦.63>加（+-1）=0,

7?2（%2）=力（工2）—力［2—4］>0,艮|J力（冗2）>力［--2一X）），

又/2（5）=〃（入2）=0，・、力（%）〉〃（，_2_%2），

1

•/X.>-------:--.--1<--1-X<--1,

22a-la2a

又不=%（x）在/上单调递增,

二X>—2—马，H[1玉+马>—2.

aa

【点睛】

方法点睛：木题考查导数中的极值点偏移问题，处理类似于玉+々>。（X，%为

〃x）=0的两根）的问题的基本步骤如下：

①求导确定/（X）的单调性，得到公吃的范围;

②构造函数/（力=/（6-/（。-力，求导后可得尸（X）恒正或恒负；

③得到/（%）与/（。-5）的大小关系后，将/（%）置换为〃/）；

④根据Z与。-占所处的范围，结合/（力的单调性，可得到工2与。-%的大小关

系，由此证得结论.

（6）双变量问题

10.已知函数/（x）=1-x+alnx.

x

（1）讨论"X）的单调性；

（2）若Ax）存在两个极值点内,与，证明：〃"）-〃/）＜4一2.

玉-x2

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】

分析：（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对。进行分类讨论，从

而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；

（2）根据f（x）存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定。〉2,令

/,U）=0,得到两个极值点石,々是方程X2—Q；+I=O的两个不等的正实根，利用韦

达定理将其转换，构造新函数证得结果.

详解：（1）”力的定义域为（0,位），/（月=-二-i+L".

XXX

(i)若a<2,则_f(x)WO,当且仅当a=2,x=l时_f(x)=O,所以〃x)在

(0,住)单调递减.

(ii)若a>2,令/'(力=0得，》=伫用4或》=生咚三.

当一手7卜1+亨7+8卜,人力<0；

当xw卜一厂"f4,r(x)〉0.所以7(X)在

\/

’0-―尸］］+甲,+,单调递减,在卜一『,当三］单调递增.

(2)由(1)知，/(x)存在两个极值点当且仅当。〉2.

由于〃力的两个极值点%，%满足V-冰+1=0,所以不々=1，不妨设不<马，则

%>1.由于

xx

f\\)~f\2)1.Inx,-lnx?-Inx,-lnx9.-21nx9

-------=-----1+Q——!---------=-2+Q——!-----------=-2+«—---

%)-x%马x-xx-x],

212x2Xry

X2

所以ZfelzZfe)<a_2等价于工_々+21眸<0.

七一％“2

设函数g(x)=g-x+21nX,由(1)知，g(九)在(0,+oo)单调递减，又g(l)=0,从

而当x«l,+oo)时,g(x)<0.

所以，―乙+211^2<0,即/㈤-/⑸<a一2.

X

2Xy—X2

点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函

数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，

需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先

确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一

问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.

圆锥曲线

(1)定点定值问题

1.已知圆O：x2+y2=l,圆«：(x-2)2+()，-3)2=1过01作圆。的切线，切点为T

(T在第二象限).

(1)求回001T的正弦值；

(2)已知点P(a,b),过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a,b关系;

(3)是否存在定点M(m,n),使过点M有无数对相互垂直的直线/i,上满足

且它们分别被圆0、圆。1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)—坦；(2)4a+66-13=0；(3)存在；〃(-2，二)或('!■’《).

132222

【分析】

(1)分别求得圆。，。1的圆心和半径，再由直角三角形的锐角三角函数的正弦函

数，计算可得所求值；

(2)运用勾股定理，可得切线长，两边平方化简可得所求；

(3)假设存在定点M(m,n)满足题意，运用点到直线的距离公式和圆的弦长公

式，化简整理，结合直线恒过定点的求法，解方程组，可得所求定点M.

【详解】

解：(1)圆。：x2+y2=l的圆心为。(0,0),半径为n=l,

圆Oi：(x—2)2+(y—31=1的圆心为Oi(2,3),半径为右=1,

\OO]^yl22+32=V13,

在直角三角形。。17中,OT±OiT,

,\OT\1

可得sinzOOiT—।门门।=/,->■=-----;

IOO,|V22+3213

(2)由题意，结合勾股定理可得"2+尼_1=一2)2+S-3J-1，

两边平方化简可得4a+6b-13=0；

(3)假设存在定点M(m,n),

使过点M有无数对相互垂直的直线/1，，2满足且它们分别被圆。、圆。1所

截得的弦长相等.

可设/i：y-n=k(x-m),即kx-km=0,

I1机

I2：y-n=--(x-m),即为/x--n-----=0,

kkk

,\n-km\

1-(H==)x2=2

JJl+二

两边平方化简可得1〃-km|=|2+3k--m|.

可得n-km=2+3k-〃k-m或，-km+2+3k-nk-m=0,

由k(3-n+m)+2-m-n=0,

1

m———

n—m=37

可得<解得$

m+〃=2

n=­

I2

由k(3-m)+n+2-m=0,

5

m=—

n+m=32

可得c，解得

m-n=21

n=—

2

故存在这样的或•满足题意.

2222

【点

关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长，弦长问题.求圆的弦长

一般用几何法：即求得圆心到直线的距离d,利用勾股定理计算弦长/=2必彳

(其中「是圆半径).

、2

2.已知耳，外分别为椭圆c：£+.=l(a〉8>())的左、右焦点，M为C上的动

点，其中M到"的最短距离为1,且当的面积最大时，恰好为等

边三角形.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)斜率为攵的动直线/过点入，且与椭圆。交于A,B两点,线段A8的垂直平

分线交工轴于点P,那么，黑是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，

请说明理由.

【答案】(1)工+二=1；(2)照为定值，证明见解析

43\AB\

【分析】

(1)当点M在椭圆的左顶点时，M到耳的距离最短，可得当点M在椭

圆的上顶点(或下顶点)时，△〃大鸟的面积最大，此时AM耳工为等边三角形，可

得a=2c,从而可求出a,b,c,即可求出椭圆C的标准方程；

(22

土+工=1

(2)易知直线，的斜率存在，设其方程为y=z(x-D,联立彳43,得到关于

y=k(x-l)

X的一元二次方程，结合韦达定理，可求得A8的中点的坐标，从而可得到线段

A5的垂直平分线的方程，令y=0,可求出点P的坐标，从而可得到归局的表达

式，然后根据弦长公式|他|=’(1+12)[(芯+々)2-4%也]，可求出的表达式，

从而可求得照为定值，经验证当攵=0时，黑为相同的定值.

IAB\\AB\

【详解】

(1)由题意，当点M在椭圆的左顶点时，〃到6的距离最短，则a-c=l,

当点M在椭圆的上顶点(或下顶点)时，△河耳工的面积最大，此时AMK居为等

边三角形，则a=2c,

a-c=l

联立《。二2c,角军得。=2,c=1/=,

a2=b2^c2

22

故椭圆C的方程为三+二=1.

43

（2）需为定值.

证明：由题意可知，动直线/的斜率存在，设其方程为y=%（x-i）,

兰+广=1

联立43一，得（3+4公卜2_弘2》+4（公-3）=。.

y=4（％_1）

4伏2-3)

设A（X，X），3（々,%），贝也+方=三与7,

x.x2-------=，

J十^TK3+4k2

X]'%=3。-1)=盖・

设45的中点为。（%,%），贝1人=+x2_4k?

23+4k2

_弘4k2

当心。时，线段钻的垂直平分线的方程为“-3+4吃

上2、

令y=(),得x即P-----7,0,

3+4-23+4*J

3(1+巧

所以|「用

』-"3+4女2

、2

8316(/2一3)12(上+

3+4VJ3+4F一3+4公

3（l+fc2）

所以囱=3+4/J

所以12（1+巧-4,

当&=0时，/的方程为y=0,

此时，|阴=2a=4,|呐=c=l,=

1111\AB\4

综上，照为定值.

IAB|

【点睛】

方法点睛：求定值问题，常见的方法：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

3.己知椭圆£：m+《=1（。＞。＞0）的左、右焦点分别为士，K，M为椭圆上一

crb~

动点，当川阳片的面积最大时，其内切圆半径为g,椭圆E的左、右顶点分别为

A,B,且|AB|=4.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过耳的直线与椭圆相交于点C,D（不与顶点重合），过右顶点B分别作直

线BC,8。与直线x=Y相交于N,M两点,以MN为直径的圆是否恒过某

定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

22

【答案】（1）5+5=1：（2）以MN为直径的圆恒过两定点（一7,0）,（-1,0）.

【分析】

(1)由|A8|=4可得a的值，AM尸石的面积最大时，由椭圆的性质可得当和二角形

内切圆的性质可列方程，再结合a,"c的关系，从而得出答案.

(2)设出直线CO的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，由。点坐标得出的方程

进而得出点N坐标，同理得出用坐标，写出以MN为直径的圆的方程，从而得出

圆过定点.

【详解】

解：(1)由题意及三角形内切圆的性质可得

!•2cg=!(2a+2c)],化简得£①

223a2

又|A8|=2a=4,

所以a=2，c=1,b=yjcr-c~=V3，

22

所以椭圆E的标准方程为上+±=1.

43

(2)由(1)知6(-1,0),8(2,0),

由题意，直线8的斜率不为0,

设直线CD的方程为x=my-\,

代入椭圆E的方程三十亡=1,

43

整理得(3加+4)/-6〃“一9=0.

设。(占，%),

6m9个

则M+%=y藐F②

3m2+4

直线Bc：y=3(i).

令x=4得N-4,淮、

l加X-3J

同理可得M-4,*、，

Imy2-3)

所以以MN为直径的圆的方程为

6y'

(x+4)(x+4)+y+=0,

%一3,Imy2-3)

BPx2+8x+16+y2++

嚣一3)=°，③

6y।6%.12吵为78(X+%)_

由②得:=6m

myt-3my2-3^myt-3)(zny2-3)

36y乃=36-)，2=_(

(w>,-3)022-3)"2yly2-3僧(X+y?)+9

代入③得圆的方程为j?+8x+7+y?—6my=0.

若圆过定点，则)「n

x+8x+7=0

x——\fx=-7

解得n或n

y=0[y=o

所以以MN为直径的圆恒过两定点(-7,0),(-1,0).

【点睛】

关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据直线与椭圆的为关系求圆过定点问题，解答

本题的关键是先求出点N,M坐标，进一步得出MN为直径的圆的方程为

a+4)(x+4)+y+—上=0,再由韦达定理化简方程，得出答案，

(啊1一3)(my2-3)

属于中档题.

(2)求范围问题

22

4.已知双曲线C：5-斗=1(。＞0力＞0)的左、右焦点分别为耳，工，虚轴上、

a~b

下两个端点分别为B2,B、,右顶点为A,且双曲线过点(3,6),

UUUUUUU

2

B2F2-B}A=ac-3a.

(i)求双曲线a的标准方程；

(2)设以点”为圆心，半径为2的圆为。2,已知过巴的两条相互垂直的直线4，

明直线4与双曲线交于P,Q两点，直线与圆g相交于M,N两点，记

△PMN,AQMN的面积分别为S-邑，求$+S2的取值范围.

【答案】(1)=1；(2)[12,”).

【分析】

uuuuiuuu/I—r-\23

⑴由与&印=公-3a2得3/=廿，由双曲线过点(四,6)得/一方=1,两个

方程联立求出。和人可得双曲线G的标准方程；

(2)设直线4：x^my+2,根据垂直关系得直线公尸-风”2),求出弦长

|MN|和|PQ|,求出H+S2=g|MN||PQ|,再根据参数的范围可求出结果.

【详解