平面向量的加法课件高一下学期数学人教A版

6向量的加法运算人教A版（2019）必修第二册新知导入

我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.新知导入

问题1

有一名广州游客想去北京游玩，但是由于当天没有直达北京的航班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机先从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图）.这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.位移是向量，它们可以合成，我们能否从位移的合成中得到启发，引进向量的加法呢？新知讲解思考如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？

物理知识告诉我们，这个质点两处位移的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同.

因此，位移可以看成是位移合成的.

数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作是的和，即位移的合成可以看作向量的加法.新知讲解如图6.2-2，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即.所以两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.思考向量加法的三角形法则具体作法是？答：先把两个向量首位顺次连接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.如图所示探究向量加法的三角形法则合作探究合作探究探究

如果向量

a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量a+b吗？答：（1）当

a与

b同向时：（2）当

a与

b反向时：方向相同时，类似于有理数加法中的“同号两数相加”，即和向量的长度等于两个向量的长度之和，方向与它们相同.方向相反时，类似于有理数加法中的“异号两数相加，作法，依然可用三角形法则.其和向量的长度等于用较长向量的模减去较短向量的模，方向取模较长的向量的方向.如图所示合作探究我们再来看力的合成问题.思考

如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？我们知道，合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看，F可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法.合作探究如图6.2-4，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量

（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.合作探究探究向量加法的平行四边形法则思考向量加法的平行四边形法则具体作法是？答：先把两个向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和.★以A为始点，作，，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则以A为起点的向量

（AC是▱ABCD的对角线）就是向量a与b的和.记作,如图

★对于零向量与任意向量

a，我们规定

a+0=0+a=a.a＋b合作探究思考向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？向量加法的平行四边形法则与三角形法则区别：三角形法则中强调“首位相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.

联系：合作探究例1如图，已知向量

a，b，求作向量

a+b.作法1：作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，，则.在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则.合作探究探究结合例1，探究|a+b|、|a|、|b|之间的关系.答：a，b不共线时，|a+b|<|a|+|b|a，b同向时，|a+b|=|a|+|b|a，b反向时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）

一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当

a，b方向相同时等号成立.合作探究探究数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？

容易发现，，故.又所以a+b=b+a.合作探究问题由图6.2-7（2），你能否验证

a+（b+c）=（a+b）+c？答：∵∴又∵∴

∴

合作探究综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.向量加法的运算律交换律结合律合作探究例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到）.合作探究解：（1）如图6.2-9表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则表示船实际航行的速度.（2）在Rt△ABC中，，，于是

因为

，所以利用计算工具可得.因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，方向与江水速度间的夹角约为.课堂练习1如图，已知

a，b，c，求作向量

a＋b＋c.作法

：在平面内任取一点O，如图所示，

课堂练习(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．注：(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即将n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为起点，最后一个向量的终点为终点，即可得到这n个向量的和向量．这也叫做向量加法的多边形法则。如图课堂练习2如图，在▱ABCD中，O是AC和BD的交点.（1）（2）（3）（4）

解：

课堂练习3化简

解：课堂练习

4(1)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________；(2)当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角．解：(1)由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；(2)由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．答案:

(1)4

(2)|a|＝|b|课堂练习注：1．本题易忽视a＋b的模是大于等于0的，不会灵活运用三角形法则和平行四边形法则而致误．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系(1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．(2)当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当向量a与b反向，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.课堂练习5一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置