第三章 可变端点的横截条件

第三章可变端点的横截条件第1页，课件共30页，创作于2023年2月预备知识：对定积分的求导对于函数（1）莱布尼兹法则——对定积分的求导（2.6)第2页，课件共30页，创作于2023年2月（2）积分上限函数的求导（2.8)第3页，课件共30页，创作于2023年2月由积分中值定理得证：第4页，课件共30页，创作于2023年2月（3）对积分下限函数求导证：根据对积分上限函数求导的公式，得：（2.9)第5页，课件共30页，创作于2023年2月(4)如果定积分具有如下形式：根据（2.6）式和（2.8）式，得：（2.11)第6页，课件共30页，创作于2023年2月可变终结点问题：假设是已知的最优终结时间，在邻近的任何值可以表示为由于已知并且是一个预选的量，所以，T可被视为的一个函数，其导数为第一节一般性横截条件T是的一个函数，所以函数V中积分上限随着的变化而变化。最大化或最小化第7页，课件共30页，创作于2023年2月推导一般的横截条件：步骤1（3.6）（3.6）式第二项:根据上一章的推导过程,得（3.6）式第一项:把这些代入(3.6)，并令，得：第40页（3.7）第8页，课件共30页，创作于2023年2月步骤2通过把转化为含和（3.8）第9页，课件共30页，创作于2023年2月步骤3把（3.8）式代入（3.7），得：（3.7）欧拉方程一般横截条件（3.8）第2步骤推导得到：第1步骤推导得到：第10页，课件共30页，创作于2023年2月特殊横截条件垂直终结线（固定时间水平问题）以上推导得到一般横截条件：垂直终结线涉及一个固定的T，从而又因为是任意的，就产生的横截条件：垂直终结线的横截条件第二节特殊横截条件第11页，课件共30页，创作于2023年2月特殊横截条件水平终结线（固定端点问题）一般横截条件又因为是任意的，就产生的横截条件：水平终结线的横截条件水平终结线涉及一个固定的，从而第12页，课件共30页，创作于2023年2月特殊横截条件终结曲线一般横截条件把该式代入一般横截条件，得：终结曲线的横截条件终结曲线，和都未被赋予零值。又因为是任意的，就产生的横截条件：第13页，课件共30页，创作于2023年2月特殊横截条件截断垂直终结线一般横截条件对点Z1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点Z2和Z3，即。最大化问题的截断垂直终结线横截条件(对于最大化V的问题)第14页，课件共30页，创作于2023年2月特殊横截条件截断垂直终结线一般横截条件对点Z1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点Z2和Z3，即。最大化问题的截断垂直终结线横截条件(对于最小化V的问题)第15页，课件共30页，创作于2023年2月即在约束的情况下求的最大化。根据求最大值的库恩塔克条件，得：第16页，课件共30页，创作于2023年2月库恩塔克条件：第17页，课件共30页，创作于2023年2月特殊横截条件截断水平终结线一般横截条件Tmax对点M1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点M2和M3，即，那么终结限制才被满足。最大化问题截断水平终结线的横截条件(对于V的最大化)第18页，课件共30页，创作于2023年2月特殊横截条件截断水平终结线一般横截条件Tmax对点M1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点M2和M3，即，那么终结限制才被满足。最大化问题截断水平终结线的横截条件(对于V的最大化)第19页，课件共30页，创作于2023年2月在约束的情况下求的最大化。根据求最大值的库恩塔克条件，得：Tmax即点M2和M3：第20页，课件共30页，创作于2023年2月具有边界条件：例2求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程，可得：根据直接积分，得第21页，课件共30页，创作于2023年2月10yt01根据水平终结线的横截条件：代入水平终结线横截条件。和（在t=T处）通解为第22页，课件共30页，创作于2023年2月第三节横截条件的推广（一）一个可变初始点如果初始点是可变的，那么边界条件不再成立。需要一个初始横截条件来填补这个空白。（二）多个状态变量情形当目标函数出现多个状态变量时，被积函数表示为：一般横截条件为：当目标函数只有一个状态变量时，被积函数为：一般横截条件为：第23页，课件共30页，创作于2023年2月（二）高阶导数的情况泛函具有被积函数，经济学中很少出现高阶导数的情况。以被积函数为例，一般横截条件为：第24页，课件共30页，创作于2023年2月