专题07等腰三角形的轴对称性（5个知识点8种题型2种中考考法）（原卷版）

专题07等腰三角形的轴对称性（5个知识点8种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.等腰三角形的性质（重点）知识点2.等腰三角形的判定方法（重点）知识点3.等边三角形及其性质（难点）知识点4.直角三角形斜边上的中线的性质定理（重点）知识点5.含30°角的直角三角形的性质（拓展）【方法二】实例探索法题型1.等腰三角形中的分类讨论问题题型2.利用“等边对等角”的性质进行证明题型3.利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明题型4.等腰三角形的性质与判定的综合题型5.等边三角形性质的应用题型6.等边三角形的性质和判定的综合运用题型7.直角三角形知识在实际生活中的应用【方法三】仿真实战法【方法四】成果评定法【学习目标】探索等腰三角形的轴对称性，进一步体验轴对称的特性，培养几何直观能力。探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理。探索等边三角形的性质定理及判定定理。会利用基本作图作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。在“操作一条件一归纳一证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.等腰三角形的性质（重点）（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．知识点2.等腰三角形的判定方法（重点）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A．5个B．4个C．3个D．2个【变式】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，3)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．3个B．4个C．5个D．6【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．知识点3.等边三角形及其性质（难点）（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．【例4】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．知识点4.直角三角形斜边上的中线的性质定理（重点）（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．【例5】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝°．知识点5.含30°角的直角三角形的性质（拓展）（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．【例6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm【方法二】实例探索法题型1.等腰三角形中的分类讨论问题1.如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cmB．12cmC．15cm或12cmD．15cm2.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°题型2.利用“等边对等角”的性质进行证明3.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.题型3.利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明4.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.题型4.等腰三角形的性质与判定的综合5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．题型5.等边三角形性质的应用6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．7.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.8.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？题型6.等边三角形的性质和判定的综合运用9.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．题型7.直角三角形知识在实际生活中的应用10.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？题型8.等腰三角形或直角三角形中的规律探究11.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．(3)如果BC＝10，求AB＋AE的长．12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．【方法三】仿真实战法13．（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°14．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm15．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8 B．6 C．5 D．416．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．17．（2020•青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为三角形．18．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点是的边上一点，．若，则()A． B． C． D．3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，点D在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点E，F分别落在，边上，则的周长为（）A． B． C． D．4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（）

A． B．5 C． D．65．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（

）A．12 B．15 C．12或15 D．96．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．67．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个8．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（）A．4 B．6 C．8 D．9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为16，，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（2022秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，已知等边中，点为线段上一点，将沿翻折得到，点与重合，连接，若则的度数是（）A． B．C． D．二、填空题11．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是．12．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为．13．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，已知直线垂直于直线，点A在直线上，且，点B在直线上，在直线或直线上找一点C（与A、B不重合），使成为一个等腰三角形，这样的点C能找到个．

14．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，在中，．P是边上一点，，连接，以为边在的右上方作等边三角形．若，则点Q到边的距离为

15．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在中，，点是边上的点，且，则的长为.

16．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为．

17．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．如果，则的度数是．18．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为．三、解答题19．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知：如图中，平分，平分，过D作直线平行于，交于E，F，

(1)求证：是等腰三角形；(2)求的周长．20．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，垂直平分斜边，分别交于D、E．若，求．

21．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，在中，D是边的中点，E是外一点，，，请用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）

(1)在图1中，画出的边上的中线；(2)在图2中，已知，画出的边上的高．22．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．(1)求证：；(2)若，，求的度数．23．（2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，点D在边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作，交射线于点E．分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；

(1)点E在线段的延长线上且；(2)点E在线段上且．24．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．25．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M