第三章 随机变量的数字特征

第三章随机变量的数字特征CompanyLogo第1页，课件共52页，创作于2023年2月3.1数学期望

一.数学期望的定义例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572数学期望——描述随机变量取值的平均特征则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即第2页，课件共52页，创作于2023年2月

定义3.1离散型随机变量ξ~P{ξ=xk}=pk,k=1,2,…n,若级数，则称为随机变量ξ的数学期望，简称期望或均值。（3.1）对于离散型随机变量ξ,Eξ就是ξ的各可能值与其对应概率乘积的和.第3页，课件共52页，创作于2023年2月例1若ξ服从0-1分布,其概率函数为

P{ξ=k}=Pk(1-p)1-k(k=0,1),求Eξ.

解：ξ01P1-pp第4页，课件共52页，创作于2023年2月例2甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用ξ,η表示)的分布律如表3-2,表3-3所示.这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好.ξ123P0.40.10.5试比较甲乙两射手的技术.η123P0.10.60.3解：第5页，课件共52页，创作于2023年2月例3一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品5种,相应的概率分别为0.7,0.1,0.1,0.06及0.04,若其产值分别为6元,5.4元,5元,4元及0元.求产品的平均产值.

Eξ=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04=5.48(元)ξ65.4540p0.70.10.10.060.04解：产品产值ξ是一个随机变量,它的分布率如表3-4:第6页，课件共52页，创作于2023年2月例4掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷得的点数，求ξ的数学期望。定义3.2P(63)设连续型随机变量ξ~φ(x),-<x<+,若

为ξ的数学期望。则称

连续型随机变量ξ的数学期望是它的概率密度φ(x)与实数x的乘积在(-∞,+∞)无穷区间上的广义积分.（3.2）第7页，课件共52页，创作于2023年2月例5计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量ξ的数学期望.

解：第8页，课件共52页，创作于2023年2月E(c)=c,c为常数;E(ξ+c)=E(ξ)+c,c为常数;3.E(cξ)=cE(ξ),c为常数;3.2数学期望的性质(P64)证明:设ξ~φ(x),则4.E(kξ+b)=E∙(kξ)+b=k∙E(ξ)+b第9页，课件共52页，创作于2023年2月EX1：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望XPk-101YPk10

随机变量函数的期望第10页，课件共52页，创作于2023年2月

(p66)

定理1若ξ~P{ξ=xk}=pk,k=1,2,…,则η=f(ξ)的期望E[f(ξ)]为推论:若(ξ,η)~P{ξ=xi,η=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则η=f(ξ,η)的期望（3.6）第11页，课件共52页，创作于2023年2月

(p66)定理2若ξ~φ(x),-<x<,则η=f(ξ)的期望推论若(ξ,η)~φ(x,y),-<x<,-<y<,则ζ=f(ξ,η)的期望（3.7）第12页，课件共52页，创作于2023年2月5.E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);证明:设(ξ,η)~φ(x,y)第13页，课件共52页，创作于2023年2月这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况,即对于n>2也同样有

特别地,n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量,其期望值等于这个随机变量的算术平均数,即：第14页，课件共52页，创作于2023年2月6.若ξ与η独立，则证明:设(ξ,η)~φ(x,y)第15页，课件共52页，创作于2023年2月例1随机变量ξ，η的概率分布如下：求:解：Eξ＝9×0.3+10×0.5+11×0.2＝9.9Eη＝6×0.4+7×0.6＝6.6Eξη=Eξ∙Eη=9.9×6.6=65.34∵ξ与η相互独立第16页，课件共52页，创作于2023年2月这是因为,(3.5)式要求两个随机变量相互独立,而一个随机变量与它本身绝不能说是独立的,因此,一般说来注意,下面的计算法是错误的第17页，课件共52页，创作于2023年2月例2有一队射手共9人,技术不相上下,每人射击中靶的概率均为0.8;进行射击,各自打中靶为止,但限制每人最多只打3次.问大约需为他们准多少发子弹?解设ξi表示i名射手所需的子弹数目,ξ表示9名射手所需的子弹数目,依题意,并且ξi有如下分布律再多准备10%~15%,大约为他们准备13发子弹.第18页，课件共52页，创作于2023年2月例3设随机变量(ξ,η)的分布律如下，求E(ξη)解:yx1200.150.1510.450.25第19页，课件共52页，创作于2023年2月例4某无线电元件的使用寿命ξ是一个随机变量,其概率密度为其中λ>0,求这种元件的平均使用寿命.解：第20页，课件共52页，创作于2023年2月设ξ的概率密度为，EX求E(ξ2),E(ξ3)，E(ξ4)。第21页，课件共52页，创作于2023年2月第22页，课件共52页，创作于2023年2月例5据统计一位40岁的健康(一般体检未发现病症)者,在5年之内活着或自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年内非自杀死亡的概率为1-p.保险公司开办5年人寿保险,参加保险者需交保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡,公司赔偿b元(b>a),b应如何定才能使公司可期望获益;若有m人参加保险,公司可期望从中获益多少?第23页，课件共52页，创作于2023年2月解设ξi表示公司从第i个参加者身上所得的收益,则ξi是一个随机变量,其分布如下公司期望获益Eξi>0,而Eξi=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)因此,a<b<a(1-p)-1对于m个人,公司期望获益Eξ元,ξiaa-bPp1-p第24页，课件共52页，创作于2023年2月EX

P752、4、9第25页，课件共52页，创作于2023年2月3.3条件期望解因此,在ξ2=1条件下,关于ξ1的平均值应为例1计算2.3例2中在第2个邮筒有一封信的条件下第1个邮筒内信的数目的平均值.第26页，课件共52页，创作于2023年2月对于二元离散型随机变量(ξ,η),在ξ取某一个定值,比如ξ=xi的条件下,求η的数学期望,称此期望为给定ξ=xi时η的条件期望,记作同样地定义给定η=yj时关于ξ的条件期望为第27页，课件共52页，创作于2023年2月对于二元连续型随机变量,定义:

其中φ(y/x)及φ(x/y)分别是在ξ=x的条件下关于η的条件概率密度和在η=y条件下关于ξ的条件概率密度.当然这个定义假定各式都是有意义的.第28页，课件共52页，创作于2023年2月3.4方差

一.定义与性质方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？定义3.3如果随机变量ξ的数学期望Eξ存在,称ξ–Eξ为随机变量ξ的离差.？第29页，课件共52页，创作于2023年2月1.(p70)定义3.4随机变量离差平方的数学期望,称为随机变量的方差,记作Dξ或σ2ξ

.可见第30页，课件共52页，创作于2023年2月显然,随机变量离差的期望是0,即E(ξ–Eξ)=0

不论正偏差大还是负偏差大,同样都是离散程度大,为了消除离差ξ–Eξ的符号,用(ξ–Eξ)2来衡量ξ与Eξ的偏差.

可见,随机变量的方差是一个非负数,常量的方差是0.当ξ的可能值密集在它的期望值Eξ附近时,方差较小,反之则方差较大.因此,方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度.第31页，课件共52页，创作于2023年2月例1若ξ服从0-1分布,其概率函数为

P{ξ=k}=Pk(1-p)1-k(k=0,1),求Dξ.

ξ01P1-pp解：第32页，课件共52页，创作于2023年2月

2.推论D(ξ)=E(ξ2)－[E(ξ)]2（3.17）

证明:这个公式很重要,它不仅证明了一般情况下随机变量平方的数学期望大于其期望的平方这个重要结论,而且经常用它来简化方差的计算.第33页，课件共52页，创作于2023年2月例2：设随机变量ξ的概率密度为1)求Dξ,2)求第34页，课件共52页，创作于2023年2月第35页，课件共52页，创作于2023年2月3.方差的性质(1)D(c)=0反之，若Dξ=0，则存在常数C，使P{ξ=C}=1,且C=E(ξ);

(2)D(ξ+c)=D(ξ),c为常数；证明:第36页，课件共52页，创作于2023年2月(3)D(aξ)=a2D(ξ),a为常数；证明:综合上述三个性质，有：第37页，课件共52页，创作于2023年2月证明:(4)若ξ与η独立，则D(ξ+η)=Dξ+DηX与Y独立第38页，课件共52页，创作于2023年2月特别的进一步可得:n个相互独立随机变量算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1/n倍:第39页，课件共52页，创作于2023年2月例3计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量ξ的方差.解：利用(3.17)式,有第40页，课件共52页，创作于2023年2月例4计算§2.4例3中ξ－η的方差.

ξP90.3100.5110.2ηP60.470.6

解一种方法是求出ξ-η的分布,然后直接应用方差定义计算.但更简单的方法是先计算出ξ与η各自的方法,再利用方差性质求出D(ξ-η).同理计算：Eη=6.6Eη2=43.8Dη=0.24D(ξ-η)=Dξ+Dη=0.4+0.24=0.64第41页，课件共52页，创作于2023年2月例5若连续型随机变量的概率密度是已知Eξ=0.5,Dξ=0.15,求系数a,b,c.解:第42页，课件共52页，创作于2023年2月协方差，相关系数

一.协方差定义与性质1.协方差定义(P74)若二元随机变量（ξ，η）的期望E(ξ)和E(η)存在,则称COV(ξ,η)=E{[ξ

E(ξ)][η

E(η)]}.（3.18）为ξ与η的协方差,易见COV(ξ,η)=E(ξ∙η)－E(ξ)E(η).

当COV(ξ,η)=0时，称ξ与η不相关。？“ξ与η独立”和“ξ与η不相关”有何关系？第43页，课件共52页，创作于2023年2月设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2

1}上服从均匀分布，求X与Y相关系数ρ，问X与Y是否独立。EX解：(X,Y)的联合密度为X的密度为第44页，课件共52页，创作于2023年2月∴X与Y不相关Y的密度为COV(X,Y)=E(XY)-EXEY=0第45页，课件共52页，创作于2023年2月由于∴X与Y不独立X与Y是既不相关又不独立的两个随机变量因此，独立的两个随机变量一定不相关；不相关的两个随机变量不一定独立。第46页，课件共52页，创作于2023年2月2.协方差性质

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为常数；(4)