《高等应用数学》016-0（曾慧平）课件 04-第四章 不定积分

高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07不定积分第4章4.1不定积分概述4.2不定积分的积分方法导学4微积分包含微分学和积分学两部分内容。17世纪中期，牛顿和莱布尼茨发现了微分与积分的互逆关系，创建了微积分．在这其中，连接微分学和积分学的重要知识就是不定积分。导学学习目标51．理解原函数和不定积分的概念，了解不定积分的几何意义，熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的性质。2．熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法，能求基本类型函数的不定积分。素质目标61．弘扬主动探索、勇于发现的科学精神。2．弘扬服务集体、团结协作的团队精神。3．养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度。不定积分概述4.14.1.1原函数与不定积分的概念8引例已知物体的运动速度为v(t)=2t，怎样确定它的运动方程s=s(t)呢？根据导数的几何意义可知，s’(t)=v(t)=2t，从数学角度思考，要确定s=s(t)，需寻找一个函数使它的导数等于已知函数v(t)=2t即可，s(t)=t2就满足上述要求,此时我们称s(t)=t2为

v(t)=2t的一个原函数。4.1.1原函数与不定积分的概念9定义1设函数f(x)是定义在区间I上的已知函数，若存在函数F(x)，使对于区间I上任意一点x都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。4.1.1原函数与不定积分的概念10定理如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)有无穷多个原函数，且F(x)+C（C是任意常数）是f(x)的全体原函数。4.1.1原函数与不定积分的概念11定义2在区间Ⅰ上，函数f(x)的全体原函数F(x)+C（C是任意常数）称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx。其中，∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。由以上定义可知，若F(x)=f(x)，则有∫f(x)dx=F(x)+C。4.1.1原函数与不定积分的概念12求∫x2dx。例1

求∫sinxdx。例2

4.1.1原函数与不定积分的概念13不定积分与导数（或微分）之间有如下运算关系:(1)[∫f(x)dx]’=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx(2)∫F’(x)dx=F(x)+C或

∫dF(x)=F(x)+C4.1.2不定积分的几何意义14如图所示，设F(x)是f(x)的一个原函数，则称函数y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.显然，将这条积分曲线沿着y轴的方向上下平移就可以得到无数条曲线，它们表示的函数就是f(x)的不定积分F(x)+C，这些曲线为f(x)的积分曲线族。4.1.3不定积分的基本积分公式15（1）∫kdx=kx+C（k是常数）（4）∫exdx=ex+C（6）∫cosxdx=sinx+C4.1.4不定积分的性质16根据不定积分的定义，可以推得如下性质:直接积分法性质1被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即性质2两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即

4.1.4不定积分的性质17求：例3

解：

4.1.4不定积分的性质18解：求：例4

求：例5

解：

4.1.4不定积分的性质19解：求：例6

解：

求：例7

4.1.4不定积分的性质20解：因为求：例8

，所以

4.1.4不定积分的性质21解：例9已知某物体以速度v=(2t2+1)m/s做直线运动，当时间t为1s时，物体经过路程s为3m,求该物体的运动方程。设所求物体的运动方程为s=s（t），则有s'(t)=v=2t2+1，所以

已知，当t=1时，S=3，代入上式有

所以，所求物体的运动方程为

课堂小结22原函数与不定积分的概念不定积分的几何意义不定积分的基本积分公式不定积分的性质不定积分的积分方法4.24.2.1不定积分的换元积分法24换元积分法是指通过引进中间变量，作变量替换，使被积函数变成容易积分的形式，然后进行积分，其一般包括第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。1．第一类换元积分法第一类换元积分法

定理1(第一类换元积分法)

4.2.1不定积分的换元积分法25求：例1

解：首先凑微分，因为

，所以求：例2

解：首先凑微分，因为，所以

4.2.1不定积分的换元积分法26求：例3求：例4

解：因为，所以

解：首先凑微分，因为，所以

4.2.1不定积分的换元积分法27（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）常用的凑微分形式

4.2.1不定积分的换元积分法28求：例5

解：因为，所以

求：例6

解：因为，其中

即

4.2.1不定积分的换元积分法29求：例7解：

因为：

，所以：

4.2.1不定积分的换元积分法30求：例8解：

(a>0)

即，求：例9

解：

即，4.2.1不定积分的换元积分法312．第二类换元积分法定理2第二类换元积分法

其中，t=ψ-1(x)为x=ψ(t)的反函数。4.2.1不定积分的换元积分法322．第二类换元积分法---简单根式换元积分法求：例10

4.2.1不定积分的换元积分法33求：例11

4.2.1不定积分的换元积分法342．第二类换元积分法---三角换元法求：例12

于是得

不定积分的三角换元法4.2.1不定积分的换元积分法35求：例12

因为

，所以

即

4.2.1不定积分的换元积分法36求：例13

于是得

因为

，所以

即

4.2.1不定积分的换元积分法37

4.2.1不定积分的换元积分法38常用的积分结果:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

4.2.2不定积分的分部积分法39不定积分的分部积分法:设函数u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为即

上式两边同时求不定积分，得

即

不定积分的分部换元法该公式称为不定积分的分部积分公式4.2.2不定积分的分部积分法40求：例14

解：设u=x,dv=exdx=d(ex),则du=dx,v=ex

,代入分部积分公式，得

求：例15

解：设u=x2,dv=exdx=d(ex),则

4.2.2不定积分的分部积分法41求：例16解：设u=x,dv=sinxdx=d(-cosx),则du=dx,v=ex

,则求：例17

4.2.2不定积分的分部积分法42求：例18求：例19

解：因为被积函数是单一函数，这时可直接把lnx选作u而把dx选作dv,则

4.2.2不定