专题15不联立体系第二讲-双动点问题

学习数学领悟数学应用数学专题15双动点问题专题15双动点问题第一讲斜率双用（含斜率和积比、中点弦问题、特殊定点问题）两点式直线方程新高考针对斜率和差积的考查越来越多，常规联立是设点找点带点，并非直接针对斜率，需要几个转化步骤，导致计算量较大，针对斜率问题，我们推出了斜率双用、齐次化、同构式三板斧，其实走到最后，都会发现那种殊途同归的感觉，到了这个感觉的时候，你也许就会有数学带给你的那种茅塞顿开之境的痛快，说到这里，又要补充一句，圆锥曲线，有手就行(1)直线的两点一般式:(2)斜率的和差互换设椭圆的弦,其中,则,两式相减即(3)斜率双用过二次曲线上一定点做两条直线交,两点,直线PA、PB的斜率分别为、,且、满足:,则直线恒过定点,我们会在下一讲进行重点归纳总结.在处理此类定点定值问题时,寻找对称性是关键,斜率通过和差互换,轮番上阵,最后作差得到直线两点一般式,从而找到定点,我们仅以为已知条件,具体操作如下:根据点差法可得:,为了对称性,下面进入斜率双用的交叉相乘模式,,化简可得：两式相减：即,对比直线得两点一般式方程可得则直线恒过定点.注意:关于(1)式和(2)式,为了对称化构造,就是用替换替换,这样两式作差,是为了凑出直线的两点式方程中的;就能得到直线方程,从而避开繁琐的坐标联立和坐标转化斜率的过程.【例1】(2022新高考1卷)已知在双曲线上，直线交于两点,直线斜率之和为0.求的斜率【例2】(2020山东卷)已知椭圆的离心率为,且过.

(1)求的方程;

(2)点在上,且为垂足,证明:存在定点,使得为定值.【例3】（九龙坡模拟）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为．（1）求抛物线的方程；（2）过点分别作斜率为，的两条直线和，交抛物线于，两点，交抛物线于，两点，且，分别是线段，的中点，，证明：直线过定点．【例4】（丹阳市月考）已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形面积的最大值；（3）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．【例5】（2020•新课标Ⅰ）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）求的方程；（2）证明：直线过定点．本题也可以用极点极线模型去解释，详见相关章节、还有曲线系相关的解法，参见二次函数曲线系．关于“”在其他地方也有很多用途，接下来我们再来看一个常见的例子：第二讲共轭中心弦模型，在椭圆上，(1)当且仅当时，的面积取得最大值．(2)此时满足，，(3)动点满足，且点在椭圆上，为定值．先给出大家熟知的一个公式及其证明：在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，则它的面积为．【例6】（涟水期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为、，上下顶点分别为，，若椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于另一点，求△的面积；（3）是单位圆上任一点，设，，是椭圆上异于顶点的三点且满足，求证：直线与的斜率之积为定值．【例7】（越秀期末）已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一个动点，且△面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上的一个动点，点，在椭圆上，为原点，点，，满足，则直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【例8】（茂名一模）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆的长轴长为4，、是椭圆上的动点（1）求椭圆标准方程；（2）设动点满足：，直线与的斜率之积为，证明：存在定点，，使得为定值，并求出，的坐标；（3）若在第一象限，且点，关于原点对称，垂直于轴于点，连接并延长交椭圆于点，记直线，的斜率分别为，，证明：．【例9】（2011•山东）已知直线与椭圆交于，两不同点，且的面积，其中为坐标原点．（1）证明和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在点，，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．抛物线有关的双动点问题抛物线设点，作差相除很容易得到一个斜率或者斜率的倒数，利用这一特征，抛物线我们一般多采用设点法．【例10】（浙江模拟）已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，过，分别作抛物线的切线，，设，交于点．（1）如果点的坐标为，求弦长；（2）若，其中，为坐标原点，设抛物线的焦点为，求的取值范围．图4-2-3第四讲重心问题及其他三角形重心公式为，涉及到点的坐标，故遇到重心相关的问题也可以采用设点的方法．【例11】（浙江模拟）如图4-2-4所示，已知椭圆经过和，过原点的一条直线交椭圆于，两点在第一象限），椭圆上点满足，连直线与轴、轴分别交于、两点，的重心在直线的左侧．（1）求椭圆的标准方程；（2）记、面积分别为、，求的取值范围．图4-2-4【例12】如图4-2-5所示，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值