人教B版（2023）选修第三册第五章数列（含答案）

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（共20题）

一、选择题（共12题）

我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第个孩子分到的棉花为

A．斤B．斤C．斤D．斤

设等比数列的前项和为，公比，则

A．B．C．D．

记为等差数列的前项和，若，，则

A．B．C．D．

在等差数列中，，，则数列的前项的和等于

A．B．C．D．

在等比数列中，，，则的值为

A．B．C．D．

若等差数列的前项和等于前项和，，则等于

A．B．C．D．

在等比数列中，，,则

A．B．C．D．

已知数列满足，且，则数列的前项和

A．B．C．D．

已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为

A．B．C．D．

已知数列的前项和，则是为等比数列的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

现有根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为

A．B．C．D．

已知数列的各项均为正数，且，则数列的前项和为

A．B．C．D．

二、填空题（共5题）

已知等比数列的首项，公比为，其前项和记为，则．

等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则．

在等差数列中，若，则．

设等比数列满足，，则．

已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为．

三、解答题（共3题）

设数列的前项和为，且数列满足，点在直线上，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

已知等差数列的公差，且，，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式．

(2)记，是数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

答案

一、选择题（共12题）

1.【答案】A

【解析】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，

设该等差数列为，公差为，前项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，

则由题意得，，，

解得，

所以．

2.【答案】D

【解析】因为等比数列的公比，则，故选D．

3.【答案】C

【解析】设等差数列的首项为，公差为，

由，，得

解得，，

所以，

故选C．

4.【答案】C

【解析】因为：

解得：

．

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

【解析】由等比数列的性质知，，

又且，

所以得，

设等比数列的公比为，则，解得，

则．

故选B．

8.【答案】B

【解析】易知数列的各项均不为，

因为

所以当时，

①②整理，得，

因为，

所以，，，，

由，得，

所以，

同理可得，，，，

所以．

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】B

【解析】，即．

显然时，剩余钢管最少，此时最多用去根，剩余根．

12.【答案】B

【解析】因为

所以当时，，

当时，

①②得，，经检验，当时也适用，

所以，，即，．

所以，

所以，又，

所以是首项为，公差为的等差数列，它的前项和为．

二、填空题（共5题）

13.【答案】

【解析】等比数列的前项和，当，所以．

14.【答案】

【解析】因为，

所以，

即，

所以．

15.【答案】

【解析】．

16.【答案】

17.【答案】

【解析】设等差数列的公差为，

由题意可得，

解方程可得，，，

由等差数列的通项公式可得：

所以，

三、解答题（共3题）

18.【答案】

(1)由，可得，两式相减：

．

又，所以．

故是首项为，公比为的等比数列．所以．

又由点在直线上，所以．

则数列是首项为公差为的等差数列．

则．

(2)因为，所以．

则两式相减得：

所以．

19.【答案】

(1)因为，，，成等比数列，

所以

解得

所以数列的通项公式为．

(2)因为

所以

依题意得，对任意正整数，

不等式恒成立，

当为奇数时，，

即，所以；

当为偶数时，，