2021.07.24-二次函数全面综合讲义：一网打尽常考20种题型（学生版）

专题01、含参二次函数的参数求值问题1．（2021·湖北麻城·思源实验学校月考）已知函数y＝（m＋3）x2＋4是二次函数，则m的取值范围为（）A．m＞－3 B．m＜－3 C．m≠－3 D．任意实数2．（2020·淮南市龙湖中学月考）已知函数y=（m﹣2）﹣2是关于x的二次函数，则m=_____．3．（2021·江门市培英初级中学月考）已知是二次函数，则____4．（2020·辽宁大石桥·月考）若y=（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为__．

5．（2020·山东省陵城区江山实验学校初三月考）已知y=是关于x的二次函数，则a的值为___.6．（2020·合肥工业大学附属中学月考）当m为何值时，函数是二次函数．7．（2019·安徽合肥·初三月考）当k为何值时，函数为二次函数？8．（2018·安徽相山·中考模拟）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

9.（2019·全国初三）已知函数（1）当为何值时，此函数是正比例函数？（2）当为何值时，此函数是二次函数？10．（2020·全国初三单元测试）已知函数是二次函数，求的取值范围.

11．（2020·全国初三课时练习）已知．（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．

专题02、二次函数的平移1．（2020·沧州市第十四中学月考）把函数的图像向下平移2个单位长度，所得到的新函数的解析式是（）A． B． C． D．2．（2020·哈尔滨市第四十七中学月考）抛物线经过平移得到，平移方法是A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

3．（2020·淮南市龙湖中学月考）将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y＝﹣(x+2)2+3，则（）A．a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣10 B．a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣16C．a＝﹣1，b＝0，c＝0 D．a＝﹣1，b＝0，c＝64．（2019·安徽合肥·初三期中）抛物线可由抛物线如何平移得到的（）A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位

5．（2020·安徽长丰·初三一模）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（）A． B．C． D．6．（2019·安徽芜湖·初三期末）将抛物线y＝2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得的解析式为()A． B． C． D．7．（2020·安徽亳州·初三月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣1）经过变换后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位

8．（2020·淮北市西园中学初三月考）抛物线y=-2x2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线表达式是（）A．y=-2（x+4）2+5 B．y=-2（x+4）2-5 C．y=-2（x-4）2+5 D．y=-2（x-4）2-59．（2020·安徽瑶海·初三期末）将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（）A．y＝﹣2 B．y＝2 C．y＝﹣3 D．y＝310．（2020·合肥市第四十二中学初三一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是()A．y=(x+1)2+1 B．y=(x﹣3)2+1 C．y=(x﹣3)2﹣5 D．y=(x+1)2+2

17．（2019·安徽砀山·初三一模）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．（2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

专题03、二次函数顶点式1．（2020·安徽省潜山县第四中学月考）二次函数y=的图象的顶点坐标是（）A．（1，5） B．（-1，7） C．（-2，7） D．（1，-5）2．（2019·安徽淮北·月考）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣253．（2020·合肥市第四十六中学初三月考）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．

4．（2020·安徽包河·初三月考）函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）5．（2020·安徽瑶海·合肥38中初三月考）抛物线y=2(x+3)(x-1)的对称轴的方程是()A．x=1 B．x=-1 C．x= D．x=-26．（2020·淮北市西园中学初三月考）抛物线y=2（x+1）2+3的顶点坐标在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．（2020·合肥市第四十八中学初三一模）抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（）A．（-2，1） B．（2，1） C．（-2，-1） D．（2，-1）8．（2020·安徽鸠江·初三期中）把二次函数化为形如的形式为__________．

9．（2020·安徽亳州·初三月考）已知函数，（1）将此函数化为的形式，则h=，k=；（2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．

10．（2020·安徽亳州·初三月考）已知点在以y轴为对称轴的抛物线上，求的最大值．11．（2015·安徽合肥·初三期中）已知二次函数y＝﹣x2+4x-．（1）用配方法把该函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求函数图象与x轴的交点坐标．

专题04、三点式求二次函数解析式1．（2020·山东省陵城区江山实验学校初三月考）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．2．（2021·江门市培英初级中学月考）若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．3．根据下列条件，求出二次函数的解析式．已知图象经过、、三个点．

4．（2018·宿州市第十一中学初三月考）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），求抛物线的表达式.5．（2018·全国）己知抛物线经过点，，．求此抛物线的解析式．6．（2018·安徽安庆·初三期末）已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点（－2，－5）、（1，4）．求这个二次函数的解析式.

7．（2019·江苏海安·初二期末）一个二次函数的图象经过(﹣1，﹣1)，(0，0)，(1，9)三点(1)求这个二次函数的解析式.(2)若另外三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)也在该二次函数图象上，求n的值.

8．（2020·全国课时练习）已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．（1）求a，b的值；（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．

9．（2019·厦门市松柏中学期中）已知抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（2，5）三点，求此抛物线解析式．10．（2020·辽宁大连·初三期中）一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．11．（2020·河南镇平·初三期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10124…y…101﹣2125…（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

专题05、顶点式求二次函数解析式1．（2020·安徽合肥·月考）已知抛物线的顶点为，且经过点，求此抛物线对应的函数解析式．2．（2020·湖南岳阳·初三期末）已知二次函数的图象顶点是，且经过，求这个二次函数的表达式．3．（2020·北京市回民学校初三期中）二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式．

4．（2020·安徽包河·初三月考）已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（－2，－5），求此二次函数的解析式．5．（2020·安徽初三月考）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过原点，求该函数的解析式．6．（2020·东莞市石碣中学月考）已知抛物线经过点（0，3），且顶点坐标为（1，﹣4），求抛物线的解析式．

7．（2020·陕西学业考试）已知抛物线l1：y＝ax2+bx+c的顶点为M（1，﹣4）．它与x轴交于点A、点B两点，其中点B的坐标为（3，0），求抛物线的表达式；8．（2020·辽宁大石桥·月考）已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？（3）点在这个二次函数的图象上吗？

9．（2020·马山县民族中学月考）已知二次函数的图象过顶点（8，9），且其图象过点（0，1）（1）求二次函数的解析式．（2）判断点A(16，1)是否在此二次函数的图象上？10．（2018·安徽安庆·初三期末）已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点（－2，－5）、（1，4）．求这个二次函数的解析式.11．（2020·淮北市西园中学初三月考）已知二次函数的图像的顶点坐标为A（3，3），且过点B（2，0），求该函数的关系式．

专题06、交点式求二次函数解析式1．（2020·沧州市第十四中学月考）已知抛物线经过A(1，0)，B(5，0)，C(0，4)，Q四个点，且点Q在x轴下方，求抛物线的解析式和对称轴；2．（2019·金昌市金川总校第五中学初三期中）已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.（1）求二次函数的图象的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.

3．（2019·黑龙江佳木斯·学业考试）如图,二次函数经过点和点,与轴交于点．求抛物线的解析式;为轴右侧抛物线上一点,是否存在点,使若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由．

4．（2021·江门市培英初级中学月考）若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．5．（2019·江苏东台市实验中学期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点B（5，0），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．

6．（2020·海门市包场初级中学月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3），抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；7．（2020·遵义市第十六中学其他）如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．（1）求此抛物线的解析式；

8．（2020·安徽瑶海·合肥38中初三月考）如图，已知抛物线上有三点A(-4，0)、B(1，0)、C(0，-3)．求出抛物线的解析式；9．（2020·昆山市城北中学初三月考）抛物线与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于C（0，2），分别求直线AC及抛物线的解析式；

10．（2020·哈尔滨市第四十九中学校初三开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，，求抛物线的解析式；

11．（2015·湖北潜江·中考真题）已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，52）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当SΔEOC

专题07、二次函数与一元二次方程1．（2020·齐齐哈尔市第二十八中学月考）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A． B．且C． D．且2．（2020·全国初三课时练习）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（）A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5

3．（2020·辽宁龙城·初三二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（）①对称轴为直线x＝﹣1；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．A．4 B．3 C．2 D．1

4．（2020·全国课时练习）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（）A．有两个交点 B．只有一个交点C．没有交点 D．无法判断5．（2020·乐陵市实验中学初三月考）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_____．

6．（2020·广州市增城区派潭镇第二中学期中）已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．7．（2020·昆山市城北中学初三月考）已知二次函数．（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.

8．（2020·福建福州·初三月考）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

9．（2020·全国初三期末）已知二次函数y=x2+4x+k-1.（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值.10．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数y=﹣x2+bx+c图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

11．（2020·全国初三课时练习）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

专题08、二次函数范围内最值计算1．（2019·福建省福州屏东中学初三期中）已知二次函数y=x2-4x+2，若-1≤x≤1时，则y的取值范围（）A．y≥7 B．y≤-1 C．-1≤y≤7 D．-2≤y≤72．（2020·浙江温州·初三期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是_______．

3．（2020·淮阳第一高级中学初三期末）已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____．4．（2019·湖北京山·初三期中）已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当0≤x≤4时，y的取值范围是_____．

5．（2020·吉林伊通·初三期末）二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是_____．6．（2018·江苏邗江·初三期末）已知二次函数的图像如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图像，当时，写出的取值范围．

7．（2019·湖北江汉·初三期中）已知抛物线.（1）求这条抛物线与轴的交点的坐标；（2）当时，直接写出的取值范围；（3）当时，直接写出的取值范围.8．（2020·商丘市第一中学月考）在二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣101234…y…1052125…（1）当x＝5时，对应的函数值y＝；（2）当x＝时，y有最小值？最小值是；（3）求二次函数的解析式；（4）若A（m，y1）、B（m+1，y2）两点都在该函数图象上，则当m时，y1＞y2；当m时，y1＝y2；当m时，y1＜y2．

9．（2020·江苏铜山·初三期中）已知二次函数y=−x2+2x+3．(1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象；(2)根据图象，直接写出：①当函数值y＞0时，自变量x的取值范围；②当−2<x<2时，函数值y的取值范围．

10．根据下列二次函数部分图象信息，已知顶点D（1,4），与轴的一交点B．（1）求二次函数的解析式；（2）当时，直接写出的取值范围；（3）当时，求的最大值与最小值．

11．（2020·吉林长春·一模）已知函数，（为常数）．（1）当时，①求此函数图象与轴交点坐标．②当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为________．（2）若已知函数经过点（1，5），求的值，并直接写出当时函数的取值范围．（3）要使已知函数的取值范围内同时含有和这四个值，直接写出的取值范围．

专题09、二次函数图像与系数关系1．（2020·辽宁台安·月考）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．

2．（2020·安徽合肥·月考）在同一坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象可能是（）A． B．C． D．

3．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4

4．（2020·杭州市保俶塔实验学校月考）若b＜0，则一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．

5．（2020·渝中·重庆市实验学校月考）在同一直角坐标系中，函数和函数(m是常数，且)的图象可能是()A． B．C． D．

6．（2020·河南龙亭·初三月考）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．（2020·山东省陵城区江山实验学校初三月考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③abc＞0；④a+b+c＞0．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④

8．（2020·商丘市第一中学月考）在同一平面直角坐标中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（）A． B．C． D．

9．（2020·北大附属嘉兴实验学校初三月考）同一平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝ax+a的图象可能是（）A． B． C． D．

二、填空题10．（2020·东莞市石碣中学月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，正确的结论是_____（只填序号）

11．（2020·广州市增城区派潭镇第二中学期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有_____．

专题10、二次函数实际应用：利润最值1．（2020·浙江余杭·月考）我市某工艺厂为迎接亚运会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放某工艺品店进行试销．据市场调查，若每件30元销售，一个月能售出500件，销售单价每上涨10元，月销售量就减少100件，问：（1）当销售单价定为每件60元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每件元，月销售利润为元，求与的函数关系式，并求出最大利润。

2．（2020·辽宁台安·月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）若现在设每件衬衫降价元，平均每天盈利为元．求出与之间的函数关系式．（2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？（3）若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价多少元．

3．（2020·沧州市第十四中学月考）某商店购进一批单价为8元的商品，如果每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．（1）求销售量y件与销售单价x（元）之间的解析式．（不用标出自变量的取值范围）（2）当销售单价定为多少时？才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

4．（2020·东莞市石碣中学月考）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．(1)直接写出与的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

5．（2020·无锡市东北塘中学月考）商场销售服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服降价1元，每天可多售出2件．（1）设每件降价x元，可以销售出件．（用x的的代数式表示）（2）若商场每天要盈利1200元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？（3）每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？

6．（2020·河南其他）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？

7．（2020·武汉市七一中学月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本单位：元)与产量(单位：)之间的函数关系；线段表示该产品销售价(单位：元)与产量(单位：)之间的函数关系，已知．（1）求线段所表示的与之间的函数表达式；（2）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

8．（2020·黔西南州勤智学校三模）随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第（为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求与之间的关系式；（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

9．（2020·湖南天心·长郡中学期中）某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批小龙虾放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示①求y与t的函数关系式；②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润=销售总额－总成本）

10．（2020·湖北武汉·月考）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30)；(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

11．（2020·巩义市回郭镇第一初级中学月考）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若该商店试销这款排球所获得的利润等于600元，请你求出销售单价是多少？

专题11、二次函数实际应用：面积最值1．（2020·北京大峪中学月考）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为16米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD

的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？花圃的面积是多少？

2．（2019·山东诸城·三模）某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.（1）求y与x的函数表达式；（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.

3．（2020·杭州市保俶塔实验学校月考）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙（墙长15m）的矩形菜园ABCD．设垂直于墙的一边AD长为x（单位∶m）．（1）求菜园的面积y（单位：m2）与x的函数表达式；（2）求出自变量x的取值范围．

4．（2020·乐清市英华学校月考）如图，为美化校园环境，某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃．已知AB=20m，BC=30m，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米，花圃的面积为（）．（1）求关于的函数关系式；（2）如果通道所占面积是184，求出此时通道的宽的值；（3）已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元，花圃每平方米的造价是60元，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的，则通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

5．（2020·东莞市石碣中学月考）公园原有一块矩形的空地，其长和宽分别为120米，80米，后来公园管理处从这块空地中间划出一块小矩形，建造一个矩形小花园，并使小花园四周的宽度都相等（四周宽度最多不超过30米）．（1）当矩形小花园的面积为3200平方米时，求小花园四周的宽度．（2）若建造小花园每平方米需资金100元，为了建造此小花园，管理处最少要准备多少资金？此时小花园四周的宽度是多少？

6．（2020·广东荔湾·期末）学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米．（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

7．（2020·福建省惠安荷山中学月考）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花围ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．(1)若围成的花圃面积为40米2时，求BC的长；(2)如图2若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50米2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由．

8．（2020·湖北利川·初三学业考试）如图，在美化校园的活动中，数学兴趣小组用16m长的篱笆，一边靠墙围成一个矩形花园ABCD，墙长为6m，设ABm．（1）若花园的面积为14，求的值；（2）花园的面积能否为40？为什么？（3）若要求花园的面积大于24，求的取值范围．

9．（2020·温州市第二十三中学初三月考）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(图中的阴影阴影部分就是墙，墙的最大可利用长度为9米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当x为多少时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？

10．（2020·兰溪市实验中学月考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为（米2）．图（1）图（2）图（3）（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围．（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽米，门不采用计划中的材料．①求总占地面积最大为多少米2？②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？

11．（2020·无锡市大桥实验学校初三月考）结合湖州创建文明城市要求，某小区业主委员会觉定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为xm.(1)用含x的代数式表示出口的宽度.(2)求工程造价y与x的函数表达式，并直接写出x的取值范围.(3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的方案有多少种；若不能，请说明理由.(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在完成了工作量的后，施工方进行了技术改进，每天的绿化面积是原计划的两倍，结果提前4天完成四个区域的绿化任务.问：原计划每天绿化多少平方米？

专题12、二次函数实际应用：实际问题建模1．（2021·迁安市杨店子镇初级中学初三月考）一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米 B．5米 C．6米 D．7米2．（2019·涡阳县王元中学月考）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管QA喷出，0A长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到0的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2＋x＋c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（）A．1米 B．米 C．2米 D．米

3．（2020·乐陵市实验中学初三月考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米 B．3米 C．2米 D．1米4．（2020·海门市包场初级中学月考）图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降()A．3.5 B．3 C．2.5 D．2

5．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学一模）一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图．（1）求出手点离地面的高度．（2）求铅球推出的水平距离．（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4．

6．（2020·湖州市第四中学教育集团月考）如图，将小球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．（1）求小球飞出1s时的飞行高度；（2）求小球从飞出到落地要用的时间．

7．（2020·辽宁大石桥·月考）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB的长．

8．（2021·四川江油·初三月考）如图是某公园一喷水池(示意图)，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25．(1)求喷出的水流离地面的最大高度；(2)求喷嘴离地面的高度；(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？

9．（2020·安徽瑶海·合肥38中初三月考）有一座抛物线拱形桥，在正常水位时，水面BC的宽为8米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x轴，建立直角坐标xOy．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果水面BC上升3米（即OA=3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长．

10．（2020·山东省陵城区江山实验学校初三月考）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，聪明的小明根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，请你帮助小明解决问题？（1）求抛物线的解析式．（2）求DE的长．

11．（2020·北大附属嘉兴实验学校初三月考）初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

专题13、二次函数与几何综合：线段最值1．（2020·河南一模）已知抛物线与轴交于点和点，与直线交于点和点，为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点的坐标．（2）点为直线上方抛物线上一点，设为点到直线的距离，当有最大值时，求点的坐标．

2．（2019·福建石狮·初三一模）已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．

3．（2020·江苏灌南·初三一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．（1）直接写出抛物线的解析式__________和直线的解析式_________；（2）当点在线段上运动时，直接写出线段长度的最大值_________；

4．（2019·湖南涟源·初三学业考试）如图，抛物线与轴交于两点和，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，与直线相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点在直线下方的抛物线上运动时，线段的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点的坐标；

5．（2019·四川南充·初三一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，点为第二象限抛物线上一动点，轴与交于，求的最大值.

6．（2021·厦门市第十中学月考）如图，一次函数的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，抛物线过A、B两点．（1）求A，B两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

7．（2020·昆山市城北中学初三月考）抛物线与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于C（0，2）（1）分别求直线AC及抛物线的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

8．（2020·浙江长兴·初三开学考试）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．

9．（2020·浙江宁波·初三月考）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；

10．（2020·广东初三其他）如图，抛物线与轴交于两点，于轴交于点，连接，已知．（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，求的长的最大值；

11．（2020·浙江温州·初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-2，0）、（0，-4），点B在x轴上，已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=2，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长．（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

专题14、二次函数与几何综合：面积最值1．（2020·黑龙江讷河·月考）如图，抛物线与轴交于，两点，点在点的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值及此时点坐标；

2．（2019·江苏东台市实验中学期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点B（5，0），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．

3．（2020·齐齐哈尔市第二十八中学月考）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y﹤0?（2）点p是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由

4．（2020·哈尔滨市第六十九中学校月考）如图，已知二次函数与x轴交与A，B两点，与y轴交于C点，连AC，tan∠OAC＝3，OC＝OB．（1）求二次函数解析式；（2）直线l经过B，C两点，如图，P是直线BC下方抛物线上一点，横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围；

5．（2020·北京师范大学厦门海沧附属学校月考）如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B．(1)求该抛物线的函数表达式：(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值．

6．（2020·海门市包场初级中学月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3），抛物线的顶点在直线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

7．（2020·民勤县第六中学三模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

8．（2020·河南卧龙·期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．

9．（2020·广东三模）如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当取得最值时，求点的坐标．

10．（2020·山东德州·二模）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．

11．（2020·海口市第九中学其他）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；

专题15、二次函数与几何综合：周长最值1．（2020·河北迁西·其他）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．（1）当时，①求直线与抛物线的解析式；②在抛物线对称轴上求一点使得的周长最小，且写出最小值；

2．（2020·沧州市第十四中学初三月考）已知抛物线经过A(1，0)，B(5，0)，C(0，4)，Q四个点，且点Q在x轴下方．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，直接写出满足PA+PC的值为最小的点P坐标；

3．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学初三一模）如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

4．（2020·武汉市光谷实验中学月考）如图，抛物线L：yx2x﹣12与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；

5．（2020·河南初三其他）如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象过原点O和点A(1，)，且与x轴交于点B，△AOB的面积为．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴上存在一点M，使△AOM的周长最小，求M点的坐标；

6．（2020·四川南充·初三月考）如图1，抛物线与轴交于点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点.（1）求抛物线的解析式．（2）点是轴上的动点，求的最小周长．

7．（2020·全国）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q，使的面积为6，求点Q的坐标．

8．（2019·黑龙江铁锋·初三三模）综合与探究如图，已知直线与抛物线分别相交于、两点，，，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合）．（1）求抛物线的解析式及直线的解析式；（2）求的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标．

9．（2020·长沙市明德天心中学初二期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为点，与轴交于点，与轴交于，两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点是轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；

10．（2019·贵州安顺·初三期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求点，点和点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；

11．（2020·全国初三专题练习）已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，为顶点，点关于直线的对称点为．（1）如图①，若点是对称轴上的动点，当取得最小值时，求点的坐标．（2）如图②，连接，点是轴上一动点，求周长的最小值；

专题16、二次函数与几何综合：其他类型最值问题1．（2020·内蒙古乌兰浩特·初三一模）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.

2．（2020·浙江余杭·初三月考）若二次函数与均有最最小值，记，的最小值分别为，．（1）若，，求，的值．（2）若，求证：对任意的实数，都有．（3）若，均大于0，且，记为，中的较大者，求的最小值．

3．（2019·福建三明·）已知抛物线C：，直线:（1）求证：直线恒过抛物线C的顶点；（2）若,,当时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围；

4．（2020·山东商河·初三一模）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

5．（2020·江苏如皋·初三二模）已知二次函数的图象与轴的交点坐标为和．（1）求和（用的代数式表示）；（2）若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为1，求的值；

6．（2020·江苏兴化·初三一模）已知，抛物线y=ax²-2amx+am2+2m-5与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)（x1<x2）两点，顶点为P．（1）若a=，当2m-5≤x≤2m-2时，y的最大值为2，求m的值．

7．（2020·广东博罗·初三期末）如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．

8．（2020·东明县菜园集镇初级中学初三二模）已知抛物线（1）若求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值。

9．（2020·湖州市第四中学教育集团初三月考）如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n．（1）求m，n的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一交点为点C，顶点为点D，连结BD、BC、CD，求△BDC面积；（3）对于（1）中所求的函数y=-x2+bx+c，①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；②设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p-q=3，求t的值．

10．（2020·北京市三帆中学初三月考）已知二次函数．（1）该二次函数图象的对称轴是直线________；（2）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最大值是2，求抛物线的解析式；

11．（2020·杭州市保俶塔实验学校初三月考）设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min{﹣3，2}＝，min{﹣1，﹣2}＝；（2）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；（3）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值．

专题17：二次函数与几何综合：直角三角形存在性判定1．（2020·河南初三月考）在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，连接，则称为抛物线的伴生三角形，直线为抛物线的伴生直线．（1）如图1，求抛物线的伴生直线的解析式．（2）已知抛物线的伴生直线为，求k的值．（3）如图2，若抛物线的伴生直线是，且伴生三角形是直角三角形，求此抛物线的解析式．

2．（2020·重庆南开中学初三月考）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，D是抛物线的顶点，连接，，（1）求点D的坐标及直线的解析式；（2）点P是直线上方抛物线上的一点，E为上一动点，延长交轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由．

3．（2020·河北张家口·初三二模）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4．（2020·保定市第二十一中学期末）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点是线段上方抛物线上的一个动点，连结、．设点的横坐标为．①过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2020·黑龙江讷河·初三月考）如图，抛物线与轴交于，两点，点在点的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2020·河南初三一模）已知抛物线与轴交于点和点，与直线交于点和点，为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点的坐标．（2）若点为直线上一点，作点关于轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．

7．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学初三一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．

8．（2020·哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，已知二次函数与x轴交与A，B两点，与y轴交于C点，连AC，tan∠OAC＝3，OC＝OB．（1）求二次函数解析式；（2）直线l经过B，C两点，如图，P是直线BC下方抛物线上一点，横坐标为t，为直角三角形，并且∠BPC＝90°时，求P点坐标．

9．（2019·佛山市顺德区凤城实验学校初三月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）直接写出抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2019·江苏镇江·）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A（1,1），B两点，与轴交于点C，直线与轴交于点D．（1）求抛物线的对称轴和点C的坐标；（2）若在轴上有且只有一点P，使∠APB=90°，求的值；

11．（2020·辽宁铁东·初三月考）如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣x﹣交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标．（2）根据图象回答：①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？②当x取何值时，y1＜y2？（3）求△AOB的面积．（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标

专题18：二次函数与几何综合：等腰三角形存在性判定1．（2020·温州市第二十三中学初三月考）如图①已知抛物线（≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，问在对称轴上是否存在点P，使△CNP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2020·辽宁龙城·初三二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2020·南通市东方中学初三月考）二次函数过、两点，与轴正半轴交于，（1）求二次函数解析式；（2）抛物线对称轴上是否存在点，使得三角形为等腰三角形，若存在，直接写出坐标，若不存在，请说明理由．

4．（2020·广东初三三模）如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

5．（2020·海口市第九中学初三其他）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2020·辽宁铁东·初三月考）如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣x﹣交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2020·广东初三其他）如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10．，抛物线经过点B，C，D．(1)求抛物线的解析式：(2)抛物线对称轴上是否存在点P，使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．

8．（2020·浙江高照实验学校初三月考）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

9．（2019·浙江衢州·初三期中）已知抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a<0)的顶点为A，与y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．(1)当a=﹣2时，求线段OB的长．(2)是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出计算过程并求出a的值；若不存在，请说明理由．

11．（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；

专题19：二次函数与几何综合：相似三角形存在性判定1．（2019·四川初三月考）如图，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点．求该函数的表达式；点为该函数在第一象限内的图象上一点，过点作，垂足为点，连接．①求线段的最大值；②若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

2．（2020·全国初三课时练习）如图，二次函数的图象经过，，三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点是线段上的动点（点与线段的端点不重合），若与相似，求点坐标．

3．（2020·四川初三月考）如图，已知二次函数的图象过点．，与轴交于另一点，且对称轴是直线．（1）求该二次函数的解析式；（2）是轴上的点，过作轴与抛物线交于，过作轴于，当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，求点的坐标．

4．（2018·湖南初三期中）如图，已知二次函数的图像过点,,与轴交于另一点,且对称轴是直线.（1）求该二次函数的解析式；（2）是轴上的点，过作轴，与抛物线交于,过作轴于.当以、、为顶点的三角形与、、为顶点的三角形相似时，求点的坐标.

5．（2016·湖南初三期末）如图,二次函数y=x2+2x+6的图像与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为点D,该二次函数图像的对称轴与直线BC相交于点E,与x轴交于点F;(1)求直线BC的解析式;(2)试判断△BFE与△DCE是否相似?并说明理由.(3)在坐标轴上是否存在这样的点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

6．（2017·天津初三）如图，已知二次函数（，，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标