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文档简介

求解流程图微分方程求解总结第1页1.折线积分2.凑全微分3.定积分转为z一阶线性关于u一阶第2页二阶变系数二阶一阶二阶常系数解结构第3页P338P348第4页一、一阶微分方程求解

1.一阶标准类型方程求解关键:区分方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:

可分离变量方程,

齐次方程,

线性方程,

全微分方程第5页例1.求以下方程通解提醒:(1)故为分离变量方程:通解1、一阶标准类型第6页方程两边同除以x

即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量地位,用线性方程通解公式求解.化为第7页方法1

这是一个齐次方程.方法2

化为微分形式故这是一个全微分方程.第8页例2.求以下方程通解:提醒:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(伯努利方程)(分离变量方程)原方程化为二、非标准类型：第9页令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为第10页变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:第11页例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足一阶微分方程;

(2)求出F(x)表示式.解:(1)所以F(x)满足一阶线性非齐次微分方程:第12页(2)由一阶线性微分方程解公式得于是第13页二、两类二阶微分方程解法

1.可降阶微分方程解法—降阶法令令逐次积分求解第14页2.二阶线性微分方程解法

常系数情形齐次非齐次代数法第15页二阶常系数齐次线性微分方程求通解普通步骤:(1)写出对应特征方程(2)求出特征方程两个根(3)依据特征方程两个根不一样情况,按照以下规则写出微分方程通解求解二阶常系数线性方程第16页非齐通解齐次通解非齐特解难点：怎样求特解？方法：待定系数法.第17页(3).上述结论也可推广到高阶方程情形.第18页解答提醒P353题2

求以为通解微分方程

.提醒:

由通解式可知特征方程根为故特征方程为所以微分方程为P353题3

求以下微分方程通解提醒:(6)令则方程变为第19页特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思考若(7)中非齐次项改为提醒:原方程通解为特解设法有何改变?第20页P354题4(2)

求解提醒:

令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思索若问题改为求解则求

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