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文档简介

第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3数量乘向量§1.4向量的线性关系与分解§1.5标架与坐标§1.6向量在轴上的射影§1.7两向量的数量积§1.8两向量的向量积§1.9三向量的混合积§1.10三向量的双重向量积第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.2向§1.9三向量的混合积

定义1.9.1给定空间的三个向量,如果先作前两个向量的向量积,再作所得向量与第三个向量的数量积,最后得到的这个数叫做三向量的混合积,记做或或.

注:§1.9三向量的混合积定义1.9.1给定空间的三个混合积的性质

定理1.9.1三个不共面的向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积,并且当构成右手系时混合积是正数;当构成左手系时,混合积是负数,也就是有.当是右手系时;当是左手系时.混合积的性质定理1.9.1三个不共面的向量的混证明:由于不共面,将其归结到共同始点,以为棱作平行六面体,则以为边的平行四边形的面积,高,则.由于其中.证明:由于不共面,当成右手系时,,所以.当成左手系时,,这时所以当成右手系时,

定理1.9.2共面证明:当共线,即或时,结论显然成立.下证非上述情况也成立.若共面,由,得若,则.又,,所以共面.定理1.9.2共面

定理1.9.3轮换混合积的三个因子,并不改变它的值,对调任何两个因子经改变积的符号,即证明:当共面时,结论显然成立.当不共面时,轮换或对调因子,混合积的绝对值都等于以为棱的平行六面体的体积.定理1.9.3轮换混合积的三个因子,并不改变它的值,当轮换时,不会把右手系变为左手系,也不会把左手系变为右手系,因而混合积不变;当对调任意两因子的位置时,将右手系变为左手系或将左手系变为右手系,所以混合积要改变符号.

推论证:当轮换时,不会把右手系变为左手系,也不会把左手系变为右手系,例1设满足,试证共面.证明:由,得即而所以,所以共面.例1设满足,混合积的坐标运算

定理1.9.4若,则证明:由定理1.8.6有混合积的坐标运算定理1.9.4若

注:由定理1.9.2,即得共面此即为定理1.5.5结论.注:由定理1.9.2,即得共面此即为定理1.

例2已知四面体的顶点坐标,求它的体积.解:由初等几何可知,四面体的体积等于以为棱的平行六面体的体积的,则而,例2已知四面体的顶点坐标则从而则

例3设不共面,求对的分解式.解:因为不共面,由定理1.4.3有上式两边与作数量积,则有而,则.又不共面,

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