第五章定积分及其应用省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件

第五章定积分及其应用定积分是积分学中最主要概念之一，同导数概念一样，也是在处理一系列实际问题过程中逐步形成。用定积分方法能处理大量科学技术及经济管理中计算问题。本章将学习定积分概念、性质、计算及其在几何、物理等方面应用。第1页

内容提要

第一节定积分概念

第二节微积分基本公式

第三节定积分换元法

第四节定积分分部积分法

第五节无穷区间上广义积分

第六节定积分应用举例第2页第一节定积分概念重点：定积分概念和性质难点：定积分概念了解第3页abxyo实例1（求曲边梯形面积）一、两个实例第4页

在初等数学中，以矩形面积为基础，处理了较复杂直边图形面积问题.现在曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学方法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上高是改变，而且这种改变规律不是线性.但因为曲线是连续，所以当在上改变很小时，对应高改变也很小.因为这个想法，能够用一组平行于轴直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高改变就很小，第5页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第6页曲边梯形如图所表示，第7页曲边梯形面积近似值为曲边梯形面积为第8页实例二、求变速直线运动旅程思绪：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值。最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值。第9页（1）分割部分旅程值某时刻速度（2）求和（3）取极限旅程准确值第10页二、定积分定义定义第11页被积函数被积表示式积分变量记为积分上限积分下限积分和第12页注意：第13页定理1定理2三、存在定理第14页四、定积分几何意义第15页几何意义：ab第16页

例1、用定积分表示以下图中阴影部分面积第17页第18页解：依据定积分几何意义，解题以下：第19页第20页对定积分补充要求:说明在下面性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限大小．五定积分性质第21页证性质1第22页证性质2第23页例若（定积分对于积分区间含有可加性）则性质3第24页证性质4第25页证由闭区间上连续函数介值定理知性质5（定积分中值定理）积分中值公式第26页使即积分中值公式几何解释：第27页

第二节微积分基本公式重点：牛顿—莱布尼兹公式难点：积分上限函数第28页变速直线运动中位置函数与速度函数联络变速直线运动中旅程为另首先这段旅程可表示为一、问题提出第29页考查定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数第30页积分上限函数性质证第31页由积分中值定理得第32页第33页第34页第35页

（2）第36页第37页分母导数为所以有第38页定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式第39页令令牛顿—莱布尼茨公式第40页微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数问题.第41页例４计算以下定积分（1）(2)(3)(4)(5)第42页第43页第44页第45页

第三节积分换元法重点与难点：掌握定积分换元积分公式

牛顿－莱布尼茨公式把定积分计算问转化为求原函数（不定积分）问题，因而求不定积分各种详细方法经过适当改变，都可用于求定积分，本节我们来学习定积分换元法.

第46页第47页第48页解法2要比解法1简便些，因为它省去了变量回代这一步。普通，定积分换元法可表述为：第49页定积分换元法有两个特点：换成新变量时，积分限也要换成对应于新变量积分限.即所谓“换元必换限.”（２）求出一个原函数后，无须象不定积分那样再把原变量回代，而直接代入新变量上下限，然后相减就把原变量（1）用能够了。第50页第51页第52页第53页第54页第55页第56页第四节定积分分部积分法重点与难点：熟练掌握定积分分部积分公式第57页把不定积分分部积分公式添加上积分限，就得到定积分分部积分公式：第58页第59页第60页第61页第62页例５求解：由例4结果知

当时，当时，第63页第64页第65页第66页令则当时，当时代入到中得：

第67页

第五节无穷区间上广义积分重点与难点：广义积分概念与计算第68页第69页第70页显然，当在内改变时，曲边体形面积也伴随b改变而改变

时，这个曲边梯形面积极限就应该是“开口曲边梯形”面积，即

当第71页第72页二、广义积分定义第73页第74页第75页第76页第77页为了书写方便起见，我们要求：记为写为第78页第79页第六节定积分应用举例重点与难点：正确了解定积分元素法；熟练掌握用元素法求平面图形面积和旋转体体积；会求平面曲线弧长、变力作功和函数平均值。

第80页

回顾曲边梯形求面积问题一、问题提出abxyo第81页（3）求和

得A近似值面积表示为定积分步骤是：第82页abxyo（4）求极限

得A准确值提醒面积元素第83页第84页微元法普通步骤：第85页这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等．第86页曲边梯形面积平面图形面积二、平面图形面积第87页解两曲线交点为面积元素选为积分变量第88页第89页第90页第91页第92页

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体体积第93页xyo旋转体体积为第94页解直线方程为第95页第96页第97页第98页第99页弧长元素弧长四、平面曲线弧长第100页解所求弧长为第101页第102页如图所表示第103页第104页点击图片任意处播放\暂停解建立坐标系如图第105页这一薄层水重力为功元素为(千焦)．第106页第107页等份，每个小