第10讲 图形性质问题（原卷版）

第10讲图形性质问题考情分析图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.二、经验分享1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析三、题型分析（一）面积条件的转化例1.已知、是双曲线：（，）的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆：于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；（2）在（1）的条件下，如果，求△的面积；（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.【变式训练1】．直线经过，椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称.当面积取得最大值（为坐标原点）则直线的方程为_______.【变式训练2】．【2018天津文19】椭圆的右顶点为，上顶点为。已知椭圆的离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均在第四象限，若的面积是面积的2倍，求的值。

（二）角平分线的转化例2.已知是椭圆的左、右焦点，点，则∠的角平分线的斜率为()A. B. C. D.【变式训练1】．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【变式训练2】．设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（）A.定值 B.定值C.定值 D.不确定，随点位置变化而变化（三）与弦长有关问题的转化例3.【2018全国1文15】直线与圆交于两点，则=___________【变式训练1】．【2018全国3理16】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则=________.【变式训练2】．【2018浙江21】如图，已知点P是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上。（1）设中点为，证明：垂直于轴；（2）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围。四、迁移应用1.已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是原点，若是的角平分线上一点，且,则的取值范围是（）A．[0,3]B．C．D．[0,4]2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则的面积为（）A．12 B．24C．36 D．483.设分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的点，射线是的角平分线，过原点作的平行线交于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C.3 D.4．已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线交曲线于两点，求的面积.5．已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；（2）在（1）的条件下，如果，求的面积；（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.6.【2018全国2理19文20】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，（1）求的方程；（2）求过点且与的准线相切的