《第1 章三角形的证明》期末复习优生辅导训练（附答案）2020-2021学年北师大版八年级数学下册

2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》期末复习优生辅导训练（附答案）

1.如图，NAOB是一钢架，ZAOB=\5Q,为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管

EF、FG、GH…添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（）根.

A.2B.4C.5D.无数

2.如图，ZXABC中，。为的中点，BE±AC,垂足为£若DE=4,AE=6,Jill]BE的

长度是（）

C.8D.277

3.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC（）的交点.

A.三边中线B.三条角平分线

C.三边上高D.三边垂直平分线

4.如图，△ABC中边48的垂直平分线分别交8C,A8于点£>,E,AE=3cm,△AOC的

周长为9c%,则aABC的周长是（）

C.\5cmD.\"lcm

5.如图，AC=AD,BC=BD,则有（

A.A3与CO互相垂直平分B.垂直平分48

C.A3垂直平分C/）D.8平分/AC8

6.如图所示，已知A8=AC,乙4=40°,A8的垂直平分线MN交AC于点D,贝IJ/D8C

的度数为（）

7.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若NBAC=112°,则

NEAF为（）

8.如图，在△42C中，NC=90°,AC=BC,平分/C48交BC于。，DELLAB于E,

若AB=6cm,则△O8E的周长是（）

9.为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若

要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）

A.三角形A8c三条高线的交点处

B.三角形ABC三条角平分线的交点处

C.三角形ABC三条中线的交点处

D.三角形ABC三边垂直平分线的交点处

10.如图，在△ABC中，高A£）和BE交于点”，且N1=22=22.5°,下列结论：①N1

=N3；②BD+DH=AB；®2AH=BH；④若DFLBE于点F,则AE-FH=OF.其中正

确的结论是（）

C.①®@D.①②③④

C.3个D.2个

12.己知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、8两点在格点上，位置

且aABC为等腰三角形，则点C的个数为（）

8C.9D.10

13.有下列四种说法：①两个三角形全等，则它们成轴对称；②等腰三角形的对称轴是底边

上的中线；③若点A、8关于直线对称，则48垂直平分MN；④到角两边距离相等

的点在这个角的平分线上.其中正确的说法有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

14.在下列条件中：①NA+/B=/C,②NA：ZB：ZC=1：2：3,③NA=90°-ZB,

®ZA=ZB=1ZC,®ZA=2ZB=3ZC中，能确定AABC是直角三角形的条件有

2

（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

15.如图，直线/是线段48的垂直平分线，点C在直线/外，且与A点在直线/的同一侧,

点P是直线/上的任意点，连接AP,BC,CP,则BC与AP+PC的大小关系是（）

16.如图，在△以8中，PA=PB,M,N,K分别是以，PB,AB上的点，且AM=BK,BN

=AK,若NMKN=44°,则NP的度数为（）

17.能把三角形分割成面积相等两部分的一定是（）

A.三角形的中线B.三角形的角平分线

C.三角形的高线D.三角形一边上的垂直平分线

18.如图，AQ是△ABC的角平分线，DE,。尸分别是△AB。和△AC。的高，得到下列四

个结论：

①0A=0。；

©ADVEF-,

③当/A=90°时，四边形AECF是正方形；

@AE2+DF2=AF2+DE2.

其中正确的是（）

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

19.如图，在RtZVIBC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线.若NA=25°,则N3CE

的大小为（）

20.等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）

A.140°或44°或80°B.20°或80°

C.44°或80°D.140°

21.将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）

如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（）

①。E平分NA。。；@ZAOC=ZBOD；

③/AOC-NCEA=15°；④/COB+/AOD=180°.

A.0B.1C.2D.3

22.如图在第一个△ABC中，NB=40°,A\B=BC,在边4B上任取一点D,延长C4i

到A2，使4A2=AI。，得到第二个△A1A2D，再在边42。上任取一点E,延长A1A2到

小，使A2A3=A2E,得到第3个△AMBE.……如此类推，可得到第〃个等腰三角形.则

第〃个等腰三角形中，以A”为顶点的内角的度数为（）

c-(y)n-1-70°D.(1)n-70o

23.等腰三角形的一个外角度数为100°,则顶角度数为.

24.如图，在△A8C中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于。点.若8。平分NABC,

则NA=°.

25.如果等腰三角形的两边长分别为3和7,那么它的周长为.

26.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂

线BD,CE,若BD—4cm,CE=3cm,则DE—cm.

27.如图，N4OB=30°,O尸平分NAOB,PO_LOB于。，PC〃OB交OA于C,若PC=

28.如图，在△ABC中，NACB=90°,C£)是高，NA=30°,若则AB的长为

29.如图，在RtZVIBC中，C£＞是斜边48上的中线，ZCDA=80°,则/A=

30.如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与交于点。，BF=\2,CF=3,贝UAC

31.在如图正方形网格的格点中找一点C,使得aABC是等腰三角形，且为其中一腰.这

32.如图，AB=\2m,C4_LAB于A,DBLABB,且AC=4m,P点从B向A运动，每分

钟走Im,。点从8向。运动，每分钟走2加，P、。两点同时出发，运动分钟后△

CAP马APQB全等.

33.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=点P从点B出发以每秒3cm速度向点A

运动，点。从点A同时出发以每秒2c加速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一

个动点也随之停止，当△APQ是以P。为底的等腰三角形时，运动的时间是秒.

34.如图所示，ZVIBC中，AB=BC,DELLAB于点E,£>F_L8C于点3,交AC于F.

(I)若NAF£)=155°,求NED尸的度数；

(2)若点尸是AC的中点，求证：NCFD=L/B.

35.如图，Z\A8c中，AB=AC,NBAC=120°,A。是边上的中线，E是A8上一点且

BD=BE,求NAOE的度数.

36.如图，AB=BC,AB_LBC于B,FC_LBC于C,E为BC上一点,BE=FC,请探求AE

与BF的关系，并说明理由.

37.如图，RtZ\48C中，ZACB=90°,。是A3上一点，BD=BC,过点。作48的垂线

交AC于点E,求证：BE垂直平分CD

38.已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P.求证：点尸在/A的平分线上.

39.在△ABC中，AO平分/54C,E是BC上一点，BE=CD,E/〃4。交AB于尸点，交

CA的延长线于P,CH//AB交AD的延长线于点H,

①求证：△APF是等腰三角形；

②猜想与PC的大小有什么关系？证明你的猜想.

40.如图，在△4BC中，AB=AC=2,/3=40°,点。在线段BC上运动（。不与3、C

重合)，连接AO,作乙M)E=40°,交线段AC于E.

(1)当N8D4=115°时，NBAD=°；点。从8向C运动时，NBZM逐渐变

(填“大”或“小”)；

(2)当。C等于多少时，△ABOg/\OCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当NBD4等于多少度时，△

ACE是等腰三角形.

41.如图，在△4BC中，/4=/48C,直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点£＞、E、

F,过点B作BP〃AC交E尸于点P.

(1)若/A=70°,ZF=25Q,求/8PO的度数.

(2)求证：NF+NFEC=2NABP.

42.如图，在△ABC中，ZB=22.5°,ZC=30°,AB的垂直平分线交8c于点。，BD=

43.已知△A8C中，点。是AC延长线上的一点，过点。作OE〃BC,OG平分/ADE,BG

平分NA8C,DG与BG交于点、G.

(1)如图1,若NACB=90°,NA=50°,直接求出/G的度数；

(2)如图2,若NAC8#90°,试判断NG与Z4的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图3,若FE〃AO,求证：ZDFE^XZABC+ZG.

2

44.如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=8厘米，8C=6厘米，P、Q是△ABC边上的两

个动点，其中点尸从点A开始沿A-8方向运动速度为1厘米/秒，点。从点8开始沿B

-C-A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为f秒.

(1)求出发2秒后，PQ的长；

(2)点。在C4边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点。的运动时间.

备用图

参考答案

1.解：如图所示，ZAOB=\5°,

•：OE=FE,

:.NGEF=NEGF=15°X2=30°,

；EF=GF,所以NEGF=30°

AZGFH=150+30°=45°

'：GH=GF

：.ZGHF=45°,NHGQ=45°+15°=60°

"：GH=HQ,NGQH=60°,ZQHB=600+15°=75

•：QH=QM,

:.NQMH=75°,NHQM=180-75°-75°=30°,

故NOQM=60°+30°=90°,不能再添加了.

故选：C.

2.解：-：BE±AC,D为AB中点,

.*.A2=2OE=2X4=8,

在RtAABE中，BEf皿2_卜/=如2一/=?吐

故选：D.

3.解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的三边垂直平分线的交点,

故选：D.

4.解：•.•△A8C中，边AB的中垂线分别交8C、A8于点£＞、E,AE=3cm,

.".BD=AD,AB=2AE=6cm,

△AQC的周长为9c〃?，

：.AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=9cm,

：./\ABC的周长为：AB+AC+BC=\5cm.

故选：C.

5.解：'：AC=AD,BC=BD,

：.AB是线段CD的垂直平分线,

故选：C.

6.解：・・・A3=AC,ZA=40°,

AZABC=ZC=10°,

•:MN是AB的垂直平分线，

：・DA=DB,

：.ZDBA=ZA=40°,

：.ZDBC=30Q,

故选：C.

7.解：VZBAC=112°,

・・・NC+N3=68°,

•：EG、FH分别为A3、AC的垂直平分线,

:・EB=EA,FC=FA,

；.NEAB=NB,ZFAC=ZC,

・・・NE48+N阳C=68°,

・・・NE4尸=44°,

故选：D.

8.解：・・工。平分NOW,DELAB,ZC=90°,

:.DE=CD,

又•：AC=BC,AC=AE,

：.AC=BC=AE,

：.丛DBEff]^=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB,

**AB=6cm,

•••△QBE的周长=6c〃?.

故选：A.

9.解：・・•度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等,

.•.度假村应该在aABC三条角平分线的交点处.

故选:B.

10.解：①,N1=N2=22.5°,

又是高，

.,.Z2+ZC=Z3+ZC,

.\Z1=Z3,

②；N1=N2=22.5°,

NABD=NBAD,

：.AD=BD,

又；N2=N3,ZADB=ZADC,

：./\BDH^/\ADC,

：.DH=CD,

：A8=BC,

：.BD+DH=AB,

③无法证明，

④可以证明，

故选：C.

11.解：根据三角形的内角和定理，得：ZABO=ZDCO=36°,

根据三角形的外角的性质，得

ZAOB^ZCOD=12Q.

再根据等角对等边，得

等腰三角形有△AOB,ACOD,AABC,△C8O和△80C.

故选：B.

12.解：①以A8为底边，符合点C的有5个；②以AB为腰，符合点C的有4个.所以

符合条件的点C共有9个.故选：C.

13.解：①两个三角形全等，但它们不一定成轴对称，错误；

②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，错误；

③若点A、B关于直线MN对称，则MN垂直平分而是直线无限长度，故错误；

④到角两边距离相等的点应该在角的平分线或其延长线上，错误；

故选：A.

14.解：①因为NA+NB=NC,则2/C=180°,ZC=90°,所以△ABC是直角三角形；

②因为/A：ZB：/C=l：2：3,设NA=x,则x+2x+3x=180,x=30°,NC=30°

X3=90°,所以AABC是直角三角形；

③因为ZA=90°-NB,所以NA+/B=90°,则NC=180°-90°=90°,所以AABC

是直角三角形；

④因为=所以/A+/8+/C=>l/C+」/C+/C=180°,则/C=

222

90°,所以AABC是直角三角形；

⑤因为3NC=2NB=N4,NA+N8+NC=^NA+工N4+NA=180°，N4="沙。

3211

所以△ABC为钝角三角形.

所以能确定aABC是直角三角形的有①②③④共4个，

故选：C.

15.解:连接BP,

V直线/是线段AB的垂直平分线，

：.AP^BP,

：.AP+PC=BP+PC,

当点P在BC与/的交点处时，AP+PC=CB,

当点P不在BC与/的交点处时，AP+PC=BP+PC>BC,

：.BC^：AP+PC,

16.解：^PA=PB,

在△AMK和△BKN中，

M=BK

,ZA=ZB-

AK=BN

△AMgABKN,

NAMK=ZBKN,

,：/MKB=NMKN+NNKB=ZA+ZAMK,

：.ZA^ZMKN=44°,

.*.ZP=180°-ZA-ZB=92°,

故选：D.

17.解：能把三角形分割成面积相等两部分的一定是三角形的中线，

故选：A.

18.解：如果0A=0。，则四边形AE£>尸是矩形，/A=90°,不符合题意,

①不正确；

'：AD是aABC的角平分线，

J.ZEADZFAD,

在和△AFD中，

'/EAD=/FAD

-ZAED=ZAFD=90°

AD=AD

ACAAS),

；.4E=A尸，DE=DF,

.".AE1+DF2^AF2+DE1,

.•.④正确；

在△AEO和△AfO中，

'AE=AF

<ZEA0=ZFA0>

A0=A0

.•.△AEO丝△AFO(SAS),

：.EO=FO,

又凡

.•.40是E尸的中垂线，

：.AD±EF,

...②正确；

•.•当/A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，

，四边形4ED尸是矩形，

又，：DE=DF,

四边形AEZJF是正方形，

...③正确.

综上，可得

正确的是：②③④.

故选：D.

19.解：•.,在RtZ\ABC中，CQ是斜边上的中线，

：.CD=AD=^AB,

2

.•./£>C4=NA=25°,

AZCDE=ZA+ZDCA=50a,

：CE是斜边上的高线，

：.CELAB,

：.ZCED=90°,

:.NDCE=90°-50°=40°,

故选:B.

20.解：设另一个角是x,表示出一个角是2%-20°,

①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2(2%-20°)=180°,

解得x=44°,

所以，顶角是44°；

②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+(2x-20°)=180°,

解得x=50°,

所以，顶角是2X50°-20°=80°；

③x与2r-20°都是底角时，x=2x-20°,

解得x=20°,

所以，顶角是180°-20°X2=140°；

综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°.

故选：A.

21.解：VZDOC=ZAOB=90°,

ZDOC-NBOC=NAOB-NCOB,

即NAOC=NB。。，故②正确；

•.•/AOB=NCOO=90°,

：.ZCOB+ZAOD=Z/1OB+ZCOD=180°,故④正确；

如图，AB与OC交于点P,

,：ZCPE=ZAPO,ZC=45°,NA=30°,ZCEA+ZCPE+ZC=ZAOC+ZAPO+ZA

=180°,

二/AOC-NCEA=15°.故③正确；

没有条件能证明OE平分/40C,故①错误.

故选：D.

22.解：在△C841中，/8=40°,AiB=CB,

.•.NBAIC=180°_/B=70。,

2

'：A\Ai=A\D,N84C是△A1A2O的外角，

AZDA2A1=—ZBA)C=AX70",

22

同理可得NEA*2=(A)2X70°,NMIA3=(A)3X70°,

22

...第〃个三角形中以A“为顶点的内角度数是(上)“1X70°.

2

故选：C.

23.解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°-100°=80°；

当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°-100°=80°,所以顶角的度数为

180°-2X80°=20°；

故顶角的度数为80°或20°.

故答案为：80°或20°♦

24.解：'：AB=AC,

'：AH的垂直平分线MN交4c于。点.

ZA=ZABD,

：8。平分/ABC,

NABD=NDBC,

：.ZC=2ZA=ZABC,

设乙4为x,

可得：x+x+x+2x=180°,

解得：x=36°,

故答案为：36

25.解：(1)若3为腰长，7为底边长，

由于3+3V7,则三角形不存在；

(2)若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.

所以这个三角形的周长为7+7+3=17.

故答案为：17.

26.解：•在RtZXABC中，ZBAC=90°,ZADB=ZAEC=90Q

：.ZBAD+ZEAC=90°,ZBAD+ZB=90°

：.NEAC=NB

"：AB=AC

：.^ABD^^ACE(A4S)

：.AD^CE,BD=AE

DE=AD+AE—CE+BD=7cm.

故填7.

27.解：YOP平分NAOB,

NAOP=NBOP,

'JPC//OB,

：.ZCPO=ZBOP,

：.ZCPO=ZAOPf

过P作尸EJ_Q4于点E,

・；PD_LOB,0尸平分NAO3,

:・PD=PE,

*：PC//OB,NAOB=30°

AZECP=ZAOB=30°

在RtZXECP中，PE=1-PC=5,

2

:.PD=PE=5,

：.ZBCD=30°,

:・BC=2BD=2a,

VZACB=90°,ZA=30°,

：.AB=2BC=4a9

故答案为：4a.

29.解：♦・,在RtZXABC中，CD是斜边A5上的中线,

CD=^^=AD=BD9

：.ZA=ZACD,

VZCDA=80°,

AZA=ZACD=50°,

故答案为：50°.

30.解：・・•£：/是A3的垂直平分线，

：.FA=BF=\2,

：.AC=AF+FC=15.

故答案为：15.

31.解：如图,

C[\

c7B

c£

s%

aA

C。Cs

,:AB=y]2+22=遥,

①若AB=BC,则符合要求的有：C\,Ci,C3,C4共4个点；

②若AB=AC,则符合要求的有：C5,C6，Ci，C8，C9共5个点；

若AC=BC,则不存在这样格点.

这样的C点有9个.

故答案为：9.

32.解：*.,CA_LAB于A,于8,

AZA=ZB=90°,

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；

贝|」8尸=蔺〃，BQ=2xm,则AP=(12-x)m,

分两种情况：

①若BP=AC,贝！Jx=4,

AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ,

...△CAPdPBQ；

②若BP=AP,则\2-x=x,

解得：x=6,BQ=\2^AC,

此时△CAP与△PQB不全等；

综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQ3全等；

故答案为：4.

33.解：设运动的时间为x,

在△ABC中，AB=20cm,AC=\2cm,

点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速

度向点C运动，

当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ,

AP—20-3x,AQ=2x

即20-3x=2x,

解得尤=4.

故答案为：4.

34.解：（1）VZAFD=155°,

：.ZDFC=25°,

DEA.AB.

：.ZFDC=ZAED=90°,

在RtZ\FQC中，

・・・NC=90°-25°=65°,

•:AB=BC,

：.ZC=ZA=65°，

：.ZEDF=360°-65°-155°-90°=50°.

(2)连接8尸

・・・A8=8C,且点尸是AC的中点，

ABF1AC,NABF=NCBF=LNABC,

2

.\ZCFD+ZBFD=90°,

NCBF+NBFD=90°,

:・NCFD=NCBF,

：.ZCFD=1.ZABC.

2

9

35.解：：AB=ACfZBAC=nO°,

：.ZB=ZC=30°,

•:BD=BE,

:・/BDE=/BED=75°,

•・・A8=AC,A。是8c边上的中线，

AZADB=90°,

：.ZADE=ZADB-ZBDE=150.

36.解：AELBFHAE=BF.

理由：8c于8,尸C_LBC于C,

AZABE=ZBCF=90°.

\'AB=BC,BE=FC,

：.AE=BF,NA=NFBC,ZAEB=ZF.

：NA+NAEB=90°,

.•./FBC+NAE8=90°.

J.AELBF.

J.AE1.BFS.AE=BF.

37.证明：；/ACB=90°,DELAB,

/ACB=/BOE=90°,

在RtABDE和Rt/\BCE中,

[BD=BC,

IBE=BE'

：.Rt/\BDE^Rt/\BCE,

：.ED=EC,

"：ED=EC,BD=BC,

.♦.BE垂直平分CD.

38.证明：如图，过点P作PO_LA8、PMYBC.PN_LAC垂足分别为。、M、N,

平分NABC,点P在BE上，

：.PD=PM,

同理，PM=PN,

：.PD=PN,

...点P在/A的平分线上.

39.①证明：：£'F〃AD,

AZ1=Z4,Z2=ZP,

・.,AO平分N84C,

AZ1=Z2,

:.N4=NP,

：.AF=AP,

即是等腰三角形；

②AB=PC.理由如下：

证明：•:CH"AB,

AZ5=ZB,Z/7=Z1,

,:EF〃AD,

AZ1=Z3,

・•・Z//=Z3,

在aBE尸和△CD〃中，

25二NB

・・•,ZH=Z3，

BE=CD

:・4BEF式ACDH(AA5),

:・BF=CH,

・・・AO平分N84C,

AZ1=Z2,

・•・Z2=ZH,

；・AC=CH,

：.AC=BFf

9：AB=AF+BF,PC=AP+AC,

40.解：(1)ZBAD=180°-ZABD-ZB£>A=180°-40°-115°=25°；

从图中可以得知，点。从8向C运动时，N8OA逐渐变小；

故答案为：25°；小.

(2•:/EDC+/EDA=NDAB+NB,ZB=ZEDA=40Q,

:・NEDC=/DAB.,

・・・/B=NC,

・•・当DC=AB=2时，XABD9XDCE,

(3)9：AB=AC,

.*.ZB=ZC=40°,

①当AO=AE时，ZADE=ZAED=40°,

NAED>NC,

・・・此时不符合；

②当D4=DE时，即ND4E=NOE4=Ji(180°-40°)=70°,

2

VZBAC=180°-40°-40°=100°,

：.ZBAD=\00°-70°=30°；

：.ZBDA=\S0°-30°-40°=110°；