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第六章积分学不定积分定积分定积分第1页第一节一、曲边梯形面积二、定积分定义三、定积分几何意义定积分概念及性质四、定积分基本性质第2页一、曲边梯形面积曲边梯形面积=?设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积第3页处理步骤1)大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高小矩形,并以此小矩形面积近似代替对应小曲边梯形面积得第4页3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积第5页二、定积分定义(P175)任一个分划任取总趋于确定极限I,则称此极限I为函数在区间上定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作模第6页积分上限积分下限被积函数被积表示式积分变量积分和1.定积分仅与被积函数及积分区间相关,而与积分变量用何字母表示无关,即说明：分划方法及取法无关,第7页

必要条件:且只有有限个间断点函数可积充分条件(2个)：在上有界。(1)(2)3.定积分上限与下限交换时，定积分值变号。即第8页三、定积分几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积负值各部分面积代数和第9页例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取第10页第11页[注]利用得两端分别相加,得即第12页四、定积分性质(设所列定积分都存在)(k为常数)第13页6.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则推论2.第14页7.若对任意恒有则有推论3.函数在[a,b]上连续，且不恒为零，则有第15页8.积分中值定理则最少存在一点使证:则由性质7可得依据闭区间上连续函数介值定理

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