高考复习2数学课件

第二节等差数列及其前n项和A是a，A，b成等差数列的什么条件？

提示:充要条件.若A，可知2A=a+b，可推出A-a=b-A,所以a，A，b成等差数列，反之，若a，A，b成等差数列，则故是a，A，b成等差数列的充要条件.1.在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）(A)40(B)42(C)43(D)45【解析】选B.方法一：a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=13,又∵a1=2,∴d=3,a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=3×2+12×3=42.方法二：∵a1+a2+a3=3a2=15，∴a2=5,d=3,a5=a1+4d=14,∴a4+a5+a6=3a5=3×14=42.2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1，a3=3，则S4=（）(A)12(B)10(C)8(D)6【解析】选C.方法一：由a2=1，a3=3知d=a3-a2=2，∴a1=a2-d=-1,S4=4a1+=8，故选C.方法二：因为a2+a3=a1+a4=4,所以S4=故选C.3.若数列{an}是等差数列，且a1+a8+a15=π,则tan(a4+a12)=（）(A)(B)-(C)(D)-【解析】选B.由a1+a8+a15=π得3a8=π,∴a8=.又a4+a12=2a8=,∴tan(a4+a12)=-4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36，则an=_________.【解析】由得∴an=2n-1.答案:2n-15.已知等差数列{an}中，a9+a10=a，a19+a20=b，则a59+a60=_________.【解析】∵a9+a10=a1+8d+a1+9d=2a1+17d=a,a19+a20=a1+18d+a1+19d=2a1+37d=b,∴a1=,d=,∴a59+a60=2a1+117d=+=5b-4a.答案:5b-4a1.等差数列的重要性质（1）取等差数列{an}中的任意两项am，an,且{an}的公差为d，则有：an=am+(n-m)d;（2）数列ak,ak+m,ak+2m,…仍为等差数列，且公差为md；（3）若p+q=2m，则ap+aq=2am（p,q,m∈N*）；（4）等差数列{an}中，设T1=a1+a2+…+an，T2=an+1+an+2+…+a2n，T3=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则T1,T2,T3也成等差数列.2.设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.

3.S奇，S偶在等差数列中的整体应用设S奇，S偶分别是等差数列{an}中所有奇数项的和与所有偶数项的和.则（1）当数列项数为偶数2n时，有S偶-S奇=nd；（2）当数列项数为奇数2n+1时，有S偶==nan+1，S奇==(n+1)an+1，S奇-S偶=an+1,

=.

等差数列的基本运算【例1】已知等差数列{an}中，a15=33，a45=153，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项；若不是，说明理由.【审题指导】这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义.1【自主解答】方法一：由通项公式，知

解得：

，由217=-23+4(n-1)，得n=61.故217是此数列的第61项.方法二：由等差数列的性质，得a45-a15=30d=153-33，即d=4.又an=a15+(n-15)d，217=33+4(n-15)，解得n=61.故217是此数列的第61项.方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点，假设217是{an}的项，则P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上,故有，解得n=61.故217是此数列的第61项.【规律方法】等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体现了用方程思想解决问题的方法.【互动探究】若本例条件不变，求数列{an}中所有小于0的项的和，应怎样求？【解析】由例题解析可知，a1=-23,d=4,∴an=-23+4（n-1）=4n-27.令4n-27＜0,∴n＜.∴数列{an}中小于0的项为第1项至第6项.又因为a6=4×6-27=-3，∴S6==-78.【变式训练】已知等差数列{an}中，a2=8,前10项和S10=185.求数列{an}的通项公式an.【解析】设数列{an}的公差为d，因为a2=8,S10=185，所以，解得，所以an=5+(n-1)×3=3n+2,即an=3n+2.

等差数列的判定【例2】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn=(n∈N*).求证：数列{bn}是等差数列.【审题指导】证明数列是等差数列，我们一般的思路是利用定义，考虑从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数，或者考虑利用等差中项的方法证明任意的三项都满足前项与后项之和是中间项的2倍.2【自主解答】方法一：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(n-1)d，∴bn==a1+(n-1)d，∴bn+1-bn=a1+nd-a1-(n-1)d=（常数），∴数列{bn}是等差数列.方法二：∵bn==a1+(n-1)d，∴bn+1=a1+nd,bn+2=a1+(n+1)d∴bn+2+bn=a1+(n+1)d+a1+(n-1)d=2a1+nd=2bn+1.∴数列{bn}是等差数列.【规律方法】等差数列的判定方法（1）定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数；（2）等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立；（3）通项公式法：验证an=pn+q；（4）前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断.【变式训练】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=pnan(n∈N*)，a1=a2≠0.（1）求常数p的值；（2）求证：数列{an}是等差数列.【解析】（1）∵Sn=pnan，a1=a2≠0，∴a1=pa1⇒p=1.（2）由（1）知：Sn=nan，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1整理可得(n-1)(an-an-1)=0,an-an-1=0(n≥2)，∴数列{an}是等差数列.

【例】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=(n≥2),Sn≠0,a1=2.(1)求证：{}是等差数列；(2)求an的表达式.【审题指导】解决本题(1)的关键是正确地对已知条件中的式子进行化简，在化简过程中要结合要求证的{}是等差数列为化简目标，在第(2)问的求解中需要找出Sn的表达式，从而求得an的表达式.【规范解答】（1）方法一：由Sn=(n≥2)得∴-=2,∴{}是以即为首项，以2为公差的等差数列.方法二：∵当n≥2时，-==2,∴{}是以即为首项，以2为公差的等差数列.(2)由(1)知=+(n-1)×2=2n-,∴Sn=,∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1==;当n=1时，a1=2不适合an,故an=【规律方法】运用数列的递推公式判断等差数列常见类型有取倒数和取对数两种.关键在于化简所给递推公式，而对于由Sn求an时，可分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为：an=【变式备选】在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n,设bn=,证明：数列{bn}是等差数列.【证明】由已知an+1=2an+2n得bn+1=+1=bn+1.又b1=a1=1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.

等差数列的性质及最值问题【例3】（2011·南通模拟）已知在等差数列{an}中，a1=31，Sn是它的前n项和，S10=S22，（1）求Sn；（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值.【审题指导】利用等差数列的性质求解第（1）题、第（2）题，解题关键是写出前n项和公式，利用函数思想解决.3【自主解答】（1）∵S10=a1+a2+…+a10

，S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22∴a11+a12+…+a22=0，=0，即a11+a22=2a1+31d=0,又a1=31，∴d=-2，∴Sn=na1+d=31n-n(n-1)=32n-n2.（2）方法一：由（1）知Sn=32n-n2，∴当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.方法二：由Sn=32n-n2=n（32-n），欲使Sn有最大值，应有1<n<32，从而Sn≤()2=256，当且仅当n=32-n，即n=16时，Sn有最大值即前16项的和最大，是256.【规律方法】1.解决等差数列问题，熟练掌握等差数列的有关性质，寻找项与前n项和之间的关系是解题关键.2.在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题:（1）a1>0,d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；（2）当a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.（3）关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和

Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题.【变式训练】在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36，其前n项和为Sn.（1）求Sn的最小值，并求出Sn取得最小值时n的值；（2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d,因为a16+a17+a18=-36,所以a17=-12，又因为a9=-36，所以，解得a1=-60,d=3，方法一：Sn=na1+d=-60n+×3=n2-n=(n-20.5)2-,所以当n=20或21时，Sn最小，最小值为-630；方法二：an=-60+(n-1)×3=3n-63,由得，解得,即当n≤21时，an≤0；当n≥20时，an≥0；所以a21=0.所以当n=20或21时，Sn最小，最小值为S20=S21=20×(-60)+×3=-630；（2）令an≤0，则n≤21，所以Tn=-(a1+a2+…+a21)+(a22+a23+…+an)所以当n≤21时，Tn=-Sn=-n2+n,当n>21时，Tn=Sn-2S21=n2-n；即Tn=

等差数列解答题的答题技巧【典例】（14分）（2010·山东高考）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn.（1）求an及Sn；（2）令bn=(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【审题指导】分析题意知，对本题（1）可列方程组求解；（2）题表示出bn是解题关键.【规范解答】（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有，解得a1=3,d=2……………3分所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n.……………6分（2）由（1）知an=2n+1，所以bn==，……………9分

…………………12分即数列{bn}的前n项和Tn=.……14分【失分警示】在解答本题时有两点容易造成失分：一是对于利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误；二是裂项法需要熟练掌握几种常见的裂项，才能快速正确的解决问题.除此外，解决等差数列问题时，以下几点容易造成失分：1.对通项公式与前n项和公式记忆错误；2.基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；3.判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项.【变式训练】已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5=15，a10=25.(1)求通项an；(2)若Sn=112，求n.【解析】(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，∵a5=15，∴a1+4d=15①∵a10=25，∴a1+9d=25②解①②组成的方程组得：a1=7，d=2.∴an=7+(n-1)×2=2n+5.(2)∵Sn=112，∴7n+n(n-1)×2=112.即：n2+6n-112=0，解得n=-14(舍去)或n=8，故n=8.

1.（2010·安徽高考）设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为（）(A)15(B)16(C)49(D)64【解题提示】解决本题有两种方法，一是通过观察前n项和公式的特点可知是等差数列，并且可以求出通项公式从而求得a8，二是直接利用a8=S8-S7求解，更为简单.【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15,故A正确.2.（2010·福建高考）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n等于（）(A)6(B)7(C)8(D)9【解题提示】根据题目中的两个条件a1=-11，a4+a6=-6，可以直接求解公差，然后表示出前n项和Sn，利用二次函数的观点可以确定Sn取最小值时n的值.【解析】选A.由a4+a6=a1+a9=-11+a9=-6，得到a9=5，从而d=2，所以Sn=-11n+n(n-1)=n2-12n，因此当Sn取得最小值时，n=6.3.(2011·厦门模拟)在等差数列{an}中，已知a2+a5=4，an=33，则n为()(A)48(B)49(C)50(D)51【解析】选C.由得4.（2010·辽宁高考）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=________.【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,则有

⇒a1=-1,d=2.a9=a1+(9-1)d=-1+8×2=15.答案:15一、选择题（每小题4分，共20分）1.（2010·重庆高考）在等差数列{an}中，a1+a9=10，则a5的值为()(A)5(B)6(C)8(D)10【解题提示】解决本题可以直接利用等差数列的性质a1,a5,a9成等差数列，且a5是a1和a9的等差中项求得.【解析】选A.在等差数列{an}中，a1,a5,a9成等差数列，所以故选A.2.若等差数列{an}的前三项和S3=9，且a1=1，则a2=()(A)3(B)4(C)5(D)6【解析】选A.方法一：设等差数列{an}的公差是d，那么S3=3a1+=3+3d=9，解得d=2，所以a2=a1+d=1+2=3；方法二：因为等差数列的前三项和为a1+a2+a3=3a2=9，所以a2=3.3.（2010·全国Ⅱ）如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)35【解析】选C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知a3+a5=2a4，所以a4=4，根据等差数列的性质可知a1+a2+…+a7=7a4=28.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…)，当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列各数中为定值的是()(A)S17(B)S18(C)S15(D)S16【解题提示】由题中a5+a8+a11是定值入手分析，结合等差数列的性质进行思考.【解析】选C.因为a5+a8+a11是定值.根据等差数列的性质，可知a5+a8+a11=3a8是定值，所以a8为定值.又由a1+a15=2a8,所以S15==15a8为定值，故选C.5.(2011·泉州模拟)在等差数列｛an｝中，a1=-2010，其前n项和为Sn.若则S2010=()(A)-2010(B)-2011(C)2010(D)2011【解析】选A.因为是首项为公差为1的等差数列，所以即S2010=-2010.二、填空题（每小题4分，共12分）6.若{an}为等差数列，a15=8，a60=20，则a75=_______.【解题提示】解决本题可以从两个角度考虑，一是直接解出首项和公差，从而求得a75，二是利用a15,a30,a45,a60,a75成等差数列可以直接求得.【解析】方法一：{an}为等差数列，设公差为d，那么解得：所以a75=a1+74d=方法二：{an}为等差数列，所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列，设公差为d，则a60-a15=3d，所以d=4，a75=a60+d=20+4=24.答案:247.设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4=14，S10-S7=30，则S9=________.【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=14得4a1+=14，即2a1+3d=7①由S10-S7=30得3a1+24d=30，即a1+8d=10②联立①②得a1=2，d=1.∴S9=54.答案:548.设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有则的值为______.【解析】∵{an}，{bn}为等差数列，答案:【方法技巧】巧解前n项和的比值问题关于前n项和的比值问题，一般可采用前n项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时Sn=na中.也可利用首项与公差的关系求解，另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数列{an}与{bn}都是等差数列，且前n项和分别是Sn与Tn，则三、解答题（每小题9分，共18分）9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2=-1，a5=5.（1）求{a