【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 24.4 一元二次方程的应用 同步分层训练培优卷(冀教版)

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一、选择题

1．（2023九上·内江期末）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）

A．B．C．D．

2．（2023九上·安岳期末）“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（）

A．B．

C．D．

3．（2022九上·河北期末）某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（）

A．50B．60C．50或60D．100

4．（2022九上·南山期末）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（）

A．15元或20元B．10元或15元C．10元或20元D．5元或10元

5．（2022九上·渠县期末）由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23元，连续两次上涨a%后，售价上升到每千克60元，则下列方程中正确的是（）

A．23（1+a%）2＝60B．23（1﹣a%）2＝60

C．23（1+2a%）＝60D．23（1+a2%）＝60

6．（2022九上·海珠期中）下列命题：①若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．（2023九上·遵化期末）已知，，是1，3，4中的任意一个数（，，互不相等），当方程的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（）

A．轴对称图形B．中心对称图形

C．轴对称图形或中心对称图形D．非轴对称图形或中心对称图形

8．（2023九上·孝感月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

二、填空题

9．（2023九上·南宁期末）如图所示，在一幅长、宽的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是，则金色纸边的宽为cm.

10．（2022九上·晋中期末）如图，李大斧要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇宽的门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为．

11．（2023九上·通川期末）方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是．

12．（2022九上·杨村月考）如图①：要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形．

结合以上分析完成填空：

如图②：用含的代数式表示：；；矩形的面积为；列出方程并完成本题解答．

13．（2022九上·乐亭期中）如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程：．

三、解答题

14．随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物越来越多.某产品今年开始做线上销售，8月份的销售利润是6万元，10月份的销售利润是13.5万元，求9，10这两个月销售利润的月平均增长率.

15．（2023九上·新邵期末）某小区在绿化工程中有一块长为90m、宽为30m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.

四、综合题

16．（2022九上·莒南期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．

（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；

（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．

17．（2022九上·台州月考）商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．

（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？

（2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？

（3）这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

18．（2023九上·赵县期中）有一块缺角矩形地皮ABCDE(如下图)，其中AB=110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°，现准备用此地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的数学大楼，建筑公司在接受任务后，设计了A、B、C、D四种方案，请你研究探索应选用哪一种方案，才能使地基面积最大？

（1）求出A、B两种方案的面积。

（2）若设地基的面积为S，宽为x，写出方案C(或D)中S与x的关系式。

（3）根据(2)完成下表

地基的宽x(m)506070757879808182

地基的面积(m2)

（4）根据上表提出你的猜测。

（5）用配方法对(2)中的S与x之间的关系式进行分析，并检验你的猜测是否正确。

（6）你认为A、B、C、D中哪一种方案合理？

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题

【解析】【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，

∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染.

依题意得，

即.

故答案为：C.

【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x（x+1）人被传染，进而根据经过两轮传染后有64人患病列出方程.

2．【答案】A

【知识点】根据数量关系列方程；列一元二次方程

【解析】【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，

根据题意即可列出方程：.

故答案为：A.

【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，由题意可得八年级人均阅读量为100(1+x)万字，九年级人均阅读量为100(1+x)2万字，然后根据九年级每年121万字即可列出方程.

3．【答案】B

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：设每个定价为x元，则销售量为180-10（x-52）=（700-10x）个，

依题意得：（x-40）（700-10x）=2000，

整理得：x2-110x+3000=0，

解得：x1=50，x2=60．

当x=50时，700-10x=200＞180，不合题意，舍去；

当x=60时，700-10x=100，符合题意．

答：每个定价为60元．

故答案为：B．

【分析】设每个定价为x元，根据题意列出方程（x-40）（700-10x）=2000，再求解即可。

4．【答案】D

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：设每千克应该涨价元，由题意可得：

，

解得或

即每千克应该涨价5元或10元．

故答案为：D

【分析】设每千克应该涨价元，根据“每天盈利6000元”列出方程，再求解即可。

5．【答案】A

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【解答】解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%=23（1+a%）；

当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%=23（1+a%）2.

∴23（1+a%）2=60.

故答案为：A.

【分析】用原价+上涨的价格分别表示出猪肉第一次涨价与第二次涨价后的价格，进而根据第二次涨价后售价上升到每千克60元，列出方程即可.

6．【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；真命题与假命题

【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴

所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意

方程有两个不相等的实数根，

∴此方程为一元二次方程，且，

当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意

二次函数的对称轴为

当取、（）时，函数值相等，则

当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；

当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2

当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，

当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意

正确的个数为2

故答案为：B

【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。

7．【答案】C

【知识点】一元二次方程的其他应用

【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数

∴△=b24ac≥0

∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），

当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；

当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；

当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．

∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；

当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解

∴x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；

当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解

∴x1=1，x2=，不符合题意，故舍去；

∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x1=3，x2=1，

∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：

①1，1作对边，3.3作对边，

此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；

②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻

此时多边形为筝形，为轴对称图形．

∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．

故答案为：C．

【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b24ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。

8．【答案】D

【知识点】一元二次方程的其他应用

【解析】【解答】解：由题意得，(322x)(20x)=570

【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(322x)m,宽为（20-x）m，所以可得方程(322x)(20x)=570

9．【答案】8

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为，

，

整理得：.

解得（舍）.

答：金色纸边的宽度为.

故答案为：8.

【分析】设金色纸边的宽为xcm，则矩形挂图的长为(50+2x)cm，宽为(30+2x)cm，然后根据矩形的面积公式结合题意建立关于x的方程，求解即可.

10．【答案】8

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为米时，羊圈面积为80平方米，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，符合题意．

即：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，羊圈面积为80平方米．

故答案为：8．

【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为米，根据题意列出方程，再求解即可。

11．【答案】10

【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0，

得x1＝2，x2＝4，

当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；

当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，

∴等腰三角形周长=4+4+2＝10．

故答案为：10．

【分析】首先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边关系判断符合题意的三边，再把三边相加即可求解.

12．【答案】（20-6x）；（30-4x）；

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】，

矩形的面积为：

根据题意，得

整理，得

解方程，得(不合题意，舍去)，

则

每个横、竖彩条的宽度分别为

故答案为(1).（20-6x）(2).（30-4x）(3).

【分析】根据图形求出AB和AD的长，再利用矩形的面积公式求出矩形ABCD的面积即可。

13．【答案】x（120+2﹣2x）＝560

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】解：∵围网的总长为120米，两个位置有两个一米宽的门，且矩形AB边长为x米，

∴矩形BC边长为（120+2﹣2x）米．

依题意得：x（120+2﹣2x）＝560．

故答案为：x（120+2﹣2x）＝560．

【分析】根据题意先求出矩形BC边长为（120+2﹣2x）米，再列方程即可。

14．【答案】解：设9，10两个月份销售利润的月均增长率为x，则9月份获得利润万元，10月份获得利润万元，

依题意得：，

整理得：，

解得：（不合题意，舍去）.

答：9，10两个月份销售利润的月均增长率为.

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【分析】设9，10两个月份销售利润的月均增长率为x，则9月份获得利润6(1+x)万元，10月份获得利润6(1+x)2万元，结合10月份的销售利润是13.5万元建立关于x的方程，求解即可.

15．【答案】解：设人行通道的宽度为x米，依题意得

解得，

∵

∴应舍去

∴

答：人行通道的宽度为5米.

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【分析】设人行通道的宽度为x米，则矩形绿地的长为(90-3x)，宽为(30-2x)，根据矩形的面积公式=长×宽结合题意可建立关于x的方程，求解即可.

16．【答案】（1）解：由题意得：

，

令，

解得或（不符合题意，舍去）．

秒后四边形的面积是19平方厘米．

（2）解：由（1）得，

时，S取最小值为15平方厘米．

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【分析】（1）设t秒后四边形APQC的面积是19平方厘米，可得PB=6-t，BQ=2t，根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△BPQ的面积=19，列出关于t的方程并解之即可；

（2）由（1）得，利用二次函数的性质即可求解.

17．【答案】（1）解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个，

依题意，得：，

解得：．

答：每个背包售价应不高于55元．

（2）解：依题意，得：，

整理，得：，

解得：，不合题意，舍去．

答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．

（3）解：依题意，得：，

整理，得：．

，

该方程无解，

这种书包的销售利润不能达到3700元．

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）设每个背包的售价为x元，根据当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个，空白市场月均销售量，再根据使这种背包的月均销量不低于130个，列不等式，然后求出不等式的最大值即可.

（2）利用每一个背包的利润×销售量=3120，列方程，然后求出符合题意的方程的解即可.

（3）利用每一个背包的利润×销售量=3700，列方程，根据方程根的情况，可作出判断.

18．【答案】（1）解：方案A的面积为80×90=7200m2，方案B的面积为110×(80-20)=6600m2

（2）解：由于MF=80-x，∠EDC=135°，所以DF=80-x，NB=CD+DF=90+(80-x)=170-x，S=(170-x)x，即S=-x2+170x

（3）解：S的值从左到右依次为6000、66007000、7125、7176、7189、7200、7209、7216

（4）解：猜想：当x≤80时，S随x的增大而增大

（5）解：S=-x2+170x=-(x-85)2+852，

所以当x≤85时，S随x的增大而增大，

由于x≤80，所以，当x=80时，S坡大值为7200m2

（6）解：选A种方案

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，

方案A的面积为80×90=7200m2

方案B的面积为110×(80-20)=6600m2

（2）∵MF=80-x，∠EDC=135°，

∴DF=80-x，NB=CD+DF=90+(80-x)=170-x，S=(170-x)x，即S=-x2+170x

【分析】（1）根据题意，由题目中所给数据，计算得到两个方案的面积即可；

（2）根据题意，由矩形的面积公式表示出s与x之间的关系即可；

（3）根据（2）中得到的关系式，分别代入x的值求出s的值，填入表格中即可；

（4）根据表格中数据的变化，即可得到当x≤80时，S随x的增大而增大；

（5）将（2）的关系式进行配方，根据其最值进行判断即可；

（6）根据几种方案的面积，选择面积最大的方案即可。

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一、选择题

1．（2023九上·内江期末）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题

【解析】【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，

∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染.

依题意得，

即.

故答案为：C.

【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x（x+1）人被传染，进而根据经过两轮传染后有64人患病列出方程.

2．（2023九上·安岳期末）“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】根据数量关系列方程；列一元二次方程

【解析】【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，

根据题意即可列出方程：.

故答案为：A.

【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，由题意可得八年级人均阅读量为100(1+x)万字，九年级人均阅读量为100(1+x)2万字，然后根据九年级每年121万字即可列出方程.

3．（2022九上·河北期末）某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（）

A．50B．60C．50或60D．100

【答案】B

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：设每个定价为x元，则销售量为180-10（x-52）=（700-10x）个，

依题意得：（x-40）（700-10x）=2000，

整理得：x2-110x+3000=0，

解得：x1=50，x2=60．

当x=50时，700-10x=200＞180，不合题意，舍去；

当x=60时，700-10x=100，符合题意．

答：每个定价为60元．

故答案为：B．

【分析】设每个定价为x元，根据题意列出方程（x-40）（700-10x）=2000，再求解即可。

4．（2022九上·南山期末）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（）

A．15元或20元B．10元或15元C．10元或20元D．5元或10元

【答案】D

【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：设每千克应该涨价元，由题意可得：

，

解得或

即每千克应该涨价5元或10元．

故答案为：D

【分析】设每千克应该涨价元，根据“每天盈利6000元”列出方程，再求解即可。

5．（2022九上·渠县期末）由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23元，连续两次上涨a%后，售价上升到每千克60元，则下列方程中正确的是（）

A．23（1+a%）2＝60B．23（1﹣a%）2＝60

C．23（1+2a%）＝60D．23（1+a2%）＝60

【答案】A

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【解答】解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%=23（1+a%）；

当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%=23（1+a%）2.

∴23（1+a%）2=60.

故答案为：A.

【分析】用原价+上涨的价格分别表示出猪肉第一次涨价与第二次涨价后的价格，进而根据第二次涨价后售价上升到每千克60元，列出方程即可.

6．（2022九上·海珠期中）下列命题：①若b＝a＋c时，一元二次方程一定有实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；③若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当x取时函数值为0；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；真命题与假命题

【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴

所以，一元二次方程一定有实数根，①符合题意

方程有两个不相等的实数根，

∴此方程为一元二次方程，且，

当时，方程为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意

二次函数的对称轴为

当取、（）时，函数值相等，则

当x取时，即，，函数值不一定为0，③不符合题意；

当时，二次函数的图像与轴的公共点的个数是2

当时，二次函数的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，

当时，二次函数的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意

正确的个数为2

故答案为：B

【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。

7．（2023九上·遵化期末）已知，，是1，3，4中的任意一个数（，，互不相等），当方程的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（）

A．轴对称图形B．中心对称图形

C．轴对称图形或中心对称图形D．非轴对称图形或中心对称图形

【答案】C

【知识点】一元二次方程的其他应用

【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数

∴△=b24ac≥0

∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），

当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；

当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；

当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．

∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；

当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解

∴x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；

当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解

∴x1=1，x2=，不符合题意，故舍去；

∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x1=3，x2=1，

∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：

①1，1作对边，3.3作对边，

此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；

②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻

此时多边形为筝形，为轴对称图形．

∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．

故答案为：C．

【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b24ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。

8．（2023九上·孝感月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】一元二次方程的其他应用

【解析】【解答】解：由题意得，(322x)(20x)=570

【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(322x)m,宽为（20-x）m，所以可得方程(322x)(20x)=570

二、填空题

9．（2023九上·南宁期末）如图所示，在一幅长、宽的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是，则金色纸边的宽为cm.

【答案】8

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为，

，

整理得：.

解得（舍）.

答：金色纸边的宽度为.

故答案为：8.

【分析】设金色纸边的宽为xcm，则矩形挂图的长为(50+2x)cm，宽为(30+2x)cm，然后根据矩形的面积公式结合题意建立关于x的方程，求解即可.

10．（2022九上·晋中期末）如图，李大斧要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇宽的门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为．

【答案】8

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为米时，羊圈面积为80平方米，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，符合题意．

即：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，羊圈面积为80平方米．

故答案为：8．

【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为米，根据题意列出方程，再求解即可。

11．（2023九上·通川期末）方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是．

【答案】10

【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0，

得x1＝2，x2＝4，

当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；

当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，

∴等腰三角形周长=4+4+2＝10．

故答案为：10．

【分析】首先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边关系判断符合题意的三边，再把三边相加即可求解.

12．（2022九上·杨村月考）如图①：要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形．

结合以上分析完成填空：

如图②：用含的代数式表示：；；矩形的面积为；列出方程并完成本题解答．

【答案】（20-6x）；（30-4x）；

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】，

矩形的面积为：

根据题意，得

整理，得

解方程，得(不合题意，舍去)，

则

每个横、竖彩条的宽度分别为

故答案为(1).（20-6x）(2).（30-4x）(3).

【分析】根据图形求出AB和AD的长，再利用矩形的面积公式求出矩形ABCD的面积即可。

13．（2022九上·乐亭期中）如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程：．

【答案】x（120+2﹣2x）＝560

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】解：∵围网的总长为120米，两个位置有两个一米宽的门，且矩形AB边长为x米，

∴矩形BC边长为（120+2﹣2x）米．

依题意得：x（120+2﹣2x）＝560．

故答案为：x（120+2﹣2x）＝560．

【分析】根据题意先求出矩形BC边长为（120+2﹣2x）米，再列方程即可。

三、解答题

14．随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物越来越多.某产品今年开始做线上销售，8月份的销售利润是6万元，10月份的销售利润是13.5万元，求9，10这两个月销售利润的月平均增长率.

【答案】解：设9，10两个月份销售利润的月均增长率为x，则9月份获得利润万元，10月份获得利润万元，

依题意得：，

整理得：，

解得：（不合题意，舍去）.

答：9，10两个月份销售利润的月均增长率为.

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【分析】设9，10两个月份销售利润的月均增长率为x，则9月份获得利润6(1+x)万元，10月份获得利润6(1+x)2万元，结合10月份的销售利润是13.5万元建立关于x的方程，求解即可.

15．（2023九上·新邵期末）某小区在绿化工程中有一块长为90m、宽为30m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.

【答案】解：设人行通道的宽度为x米，依题意得

解得，

∵

∴应舍去

∴

答：人行通道的宽度为5米.

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【分析】设人行通道的宽度为x米，则矩形绿地的长为(90-3x)，宽为(30-2x)，根据矩形的面积公式=长×宽结合题意可建立关于x的方程，求解即可.

四、综合题

16．（2022九上·莒南期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．

（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；

（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．

【答案】（1）解：由题意得：

，

令，

解得或（不符合题意，舍去）．

秒后四边形的面积是19平方厘米．

（2）解：由（1）得，

时，S取最小值为15平方厘米．

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【分析】（1）设t秒后四边形APQC的面积是19平方厘米，可得PB=6-t，BQ=2t，根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△BPQ的面积=19，列出关于t的方程并解之即可；

（2）由（1）得，利用二次函数的性质即可求解.

17．（2022九上·台州月考）商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．

（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？

（2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？

（3