第4节 复数-高考数学备考资料

第五章平面向量、复数第4节复数1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.复数的有关概念(1)定义：我们把集合____＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的______，b叫做复数z的______

(i为虚数单位).(2)分类：知识梳理C实部虚部

满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔________a＋bi为虚数⇔________a＋bi为纯虚数⇔________________b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________________

(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__________________

(a，b，c，d∈R).a＝c且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|2.复数的几何意义Z(a，b)3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)i[常用结论]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(

)(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(

)(3)原点是实轴与虚轴的交点.(

)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(

)×诊断自测×√√解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.2.(必修二P69例1改编)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则m＝________.-1－2＋iKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一复数的概念BCD

对于C，∵z1＋m＝(2＋m)＋3i为纯虚数，∴2＋m＝0，m＝－2，故C正确；ABC感悟提升A所以a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，又a，b∈R，考点二复数的四则运算C

D

11.复数的乘法类似于多项式的乘法运算；2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.感悟提升C

(2)设iz＝4＋3i，则z＝________.解析因为iz＝4＋3i，3－4i

(3)已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2023＝________.解析i＋i2＋i3＋i4＝0，则i＋i2＋i3＋…＋i2023＝505×0＋i＋i2＋i3＝－1.-1考点三复数的几何意义D

4感悟提升B

(2)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(

)A.(x＋1)2＋y2＝1

B.(x－1)2＋y2＝1C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1解析因为z在复平面内对应的点为(x，y)，所以z＝x＋yi(x，y∈R).因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.C考点四复数与方程例4

已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.(1)求实数a，b的值；解把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，

(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.解由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根.1.对实系数二次方程来说，求根公式、根与系数关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.2.对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.感悟提升训练4

在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.解

因为a＝1，b＝－i，c＝i－1，所以Δ＝(－i)2－4×1×(i－1)＝3－4i.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(

)A.－2＋4i B.－2－4iC.6＋2i D.6－2i解析(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.D【A级

基础巩固】2.(2022·浙江卷)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(

)A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3解析(b＋i)i＝－1＋bi，则由a＋3i＝－1＋bi，得a＝－1，b＝3，故选B.BC4.(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(

)A.1 B.5 C.7

D.25BC

DAA解析因为z1z2＝(a－3i)(2＋i)＝(2a＋3)＋(a－6)i是纯虚数，9.(2023·河南名校一模)已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝2i，则z＝________.－1＋i5－5i11.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________.解析设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.2＋3i133πCD【B级

能力提升】ABD解析对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故