第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________________，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.知识梳理P(A)P(B)B2.条件概率(1)概念：设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，称

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝

；②概率的乘法公式：P(AB)＝

.P(A)P(B|A)3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝

，此公式为全概率公式.[常用结论]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×诊断自测√××解析(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝0；2.掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(

) A.互斥 B.互为对立

C.相互独立

D.相等

解析

掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件，

故A，B均错误；

事件A与事件B相互独立，故选C.C解析设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一相互独立事件的概率例1

(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

) A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立B

事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.(2)(多选)(2023·广州测试)抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是(

)A.事件A与事件B互为对立事件

B.事件A与事件B相互独立C.P(B)＝2P(A) D.P(A)＋P(B)＝1BCD解析依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A错误；求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.感悟提升(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.解记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分，即甲队3人中有2人回答正确，1人回答错误，乙队得1分，即乙队3人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，由题意得事件C与事件D相互独立，考点二条件概率C解析设A为“甲地下雨”，B为“乙地下雨”，(2)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________.解析设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，感悟提升ACDABC

考点三全概率公式的应用例3

(1)(2023·威海质检)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为(

) A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0A(2)(2023·合肥调研)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(

)A.0.155 B.0.175 C.0.016

D.0.096B解析设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%，设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.感悟提升

训练3(1)(2023·西安模拟)甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为________.(2)(2023·宁德质检)某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为________.解析设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得，P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式,得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.0.7FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明没有迟到的概率为(

) A.0.954 B.0.956 C.0.958 D.0.959

解析

由题意，小明没有迟到的概率为0.4×(1－0.05)＋0.6×(1－0.04)＝0.956.B【A级

基础巩固】BA解析由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：C解析“甲、乙获胜场数相同”包括两种情况：“甲、乙各获胜1场”与“甲、乙各获胜0场”，5.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为(

) A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648

解析

甲最终获胜的情况可能为连胜2局或甲前2局1胜1负，第3局胜，D

AD解析对于A，因为x＋y＝7，所以x与y必是一奇一偶，又当xy为奇数时，x与y都是奇数，所以事件A和B不能同时发生，即A与B互斥，故A正确；对于B，因为事件A和B不能同时发生，但它们可以同时不发生，如x＝1，y＝2，即A与B不对立，故B不正确；对于C，(x，y)的所有可能结果如下表：

1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)AD解析设Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到红球”.对于B，取到两个球还可能为一个红球和一个白球，所以“取到两个红球”和“取到两个白球”不是互为对立事件，B错误；0.4解析若A，B互斥，则m＝P(AB)＝0，则n－m＝0.4.9.(2023·济南检测)甲、乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球.抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙

箱中随机摸出一个球.则摸到红球的概率为________.解析设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，(2)求需要进行第五场比赛的概率；解根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：(3)求丙最终获胜的概率.解丙最终获胜，有两种情况：12.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；解法一由于患者的年龄位于区间[20，70)是由患者的年龄位于区间[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)组成的，且相互独立，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.法二由于患者的年龄位于区间[20，70)是由患者的年龄位于区间[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)组成的，且相互独立，所以所求概率P＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝0.89.(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)解设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%.由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40，50)的概率为0.023×10＝0.23，结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.00023，BC【B级

能力提升】14.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(

)A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大D解析法一设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3