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双角平分线模型【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；如图1如图1如图2如图3∠BDC=90°+∠A∠BDC=90°-∠A∠BDC=∠A【分析】三个结论的证明如图1，△ABC中，BD、CD为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+∠A。（方法一）解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB。在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝180°－×180°＋∠A＝90°＋∠A（方法二）解：连接AD并延长交BC于点E解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB。∵∠BDE是△ABD的外角∴∠BDE＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠ABC同理可得∠CDE＝∠CAD+∠ACB又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC＝∠BAD+∠ABC+∠CAD+∠ACB＝∠BAC+（∠ABC+∠ACB）＝∠BAC+（180°－∠BAC）＝90°＋∠BAC例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－∠A。解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD=∠CBE∠BCD＝∠BCF又∵∠CBE、∠BCD为△ABC的外角∴∠CBE＝∠A＋∠ACB∠BCF＝∠A＋∠ABC∴∠CBE＋∠BCF＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180°在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－（∠CBE＋∠BCF）＝180°－（∠CBE＋∠BCF）＝180°－（∠A＋180°）＝90°－∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。例３：如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，CD为∠ＡＣＥ的平分线，试说明：∠D＝∠A；解：∵BD为角平分线，∴∠CBD＝∠ABC，又∵CD为∠ACE的平分线∴∠DCE=∠ACE，而∠DCE为△BCD的一个外角∴∠DCE=

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