2024届河北省衡水市第十三中学高三上学期开学考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat20页2024届河北省衡水市第十三中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知在上是减函数，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的性质求解．【详解】函数的图象开口向上，对称轴为，若函数在上是减函数，则，解得，即的取值范围为.故选：B．2．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由分段函数在上为增函数列式，结合集合的包含关系即可求得结果.【详解】因为在上单调递增，所以，所以是的必要不充分条件，即是“在上单调递增”的必要不充分条件，故选：C.3．如是函数的部分图象，则（

）

A．是奇数 B．是奇数C．是偶数 D．是偶数【答案】A【分析】由图象和解析式可判断的奇偶，再由结合图象可判断的正负.【详解】当为偶数时，恒大于0，所以为奇数．当时，，从图象可知此时，即．故选：A．4．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（

）（参考数据：，）A．12年 B．13年 C．14年 D．15年【答案】C【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，由题意可得，，则，两边取对数，即，则，即，则，因为，所以，则，又因为，所以，故选：C.5．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是(π≈3.14)（

）

A．沙漏中的细沙体积为B．沙漏的体积是C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1985秒【答案】B【分析】对于A、B项，由圆锥的体积公式计算即可；对于C、D项，根据细沙的体积计算即可.【详解】A项，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径，所以体积，即A正确；B项，沙漏的体积，即B错误；C项，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知，，所以，即C正确；D项，由上计算可得细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，所以一个沙时为(秒)，即D正确．故选：B6．函数均为偶函数，且当时，是减函数，设，，则a、b、c的大小是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据偶函数的性质和周期函数的定义证明，由此转化，利用函数的单调性比较其大小.【详解】因为函数均为偶函数，所以，，所以，所以，，因为，当时，是减函数，所以，所以.故选：A.7．如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由可得出关于的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设扇形的半径为，则、，设点，因为，所以，，所以，，所以，，其中为锐角，且，因为，则，当且时，取得最大值.故选：C.8．若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，，，，，然后利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性可比较大小.【详解】令，，，，，则，令，，当时，，所以在时单调递增，所以当时，，所以在时单调递减，所以，所以；当时，，令，则，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，综上，.故选：D.【点睛】关键点睛：此题考查导数的应用，考查比较大小，解题的关键是根据已知条件构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学计算能力，属于较难题.二、多选题9．已知，则函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当时，，排除B，C，当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.10．已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个零点C． D．【答案】ABD【分析】化简的解析式，根据的对称轴和对称中心的最小距离求得，根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案.【详解】，，由于图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，所以，所以，A选项，函数的最小正周期为，A选项正确.B选项，，B选项正确.C选项，，所以C选项错误.D选项，，所以，D选项正确.故选：ABD11．已知为定义在上的偶函数且不是常数函数，设，已知函数是奇函数，则（

）A．的图象关于对称 B．C．是奇函数 D．与关于原点对称【答案】ABC【分析】根据偶函数和函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的周期性可判断B选项；利用奇函数的定义可判断C选项；利用对称性定义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为函数是奇函数，所以，又，所以，整理得，所以的图象关于对称，故A正确.对于B选项，因为为定义在上的偶函数，则由A选项知，则，所以，即得，所以，即得，故B正确.对于C选项，因为，由A选项知，则，所以是奇函数，故C正确.对于D选项，因为，所以，所以与关于轴对称，又不是常函数，则与不关于原点对称，故D错误.故选:ABC.12．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：℃），环境温度为（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（

）（参考数据：）A．函数关系也可作为这壶外水的冷却模型B．当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟C．若，则D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短【答案】BCD【分析】对A，利用指对互化即可判断A；对B，将数据代入公式即得到；对C，根据，解出值，再代入数据即可判断；对D，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.【详解】对A，由，得，所以，整理得．A项错误；对B，由题意可知．，B项正确；对C，由，得，即，则．C项正确；对D，设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为分钟，则，设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为分钟，则，因为，所以，D项正确．故选：BCD．三、填空题13．已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】根据导数的几何意义，求出，即可得出切线方程.【详解】因为，所以，则，，所以所求切线的方程为.故答案为：.14．函数的最大值为.【答案】/【分析】利用换元法及二次函数的性质即可求解.【详解】令，则，所以，由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，所以函数在单调递增，在上单调递减.所以当，即时，取得最大值为.故答案为：.15．已知函数，求的值域．【答案】【分析】根据函数的解析式，分段求每部分的值域，再求并集.【详解】由，，则，当时，即时，等号成立，当时，，综上可知，所以函数的值域是.故答案为：16．已知函数恰有三个正整数，使得，则实数的取值范围为.【答案】【分析】将问题转化为恰有三个正整数，对进行分类讨论，分别构造函数，求导利用单调性即可求解.【详解】的定义域为，由可得(1)显然时，不等式在上无解，不符合题意;(2)当时，不等式为，令，则当时，，故不等式没有正整数解，不符合题意;(3)当时，不等式为为增函数，，令，则，当时，，故在上单调递减，而，存在使得，当时，，当时，，即当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，故不等式的三个正整数解为，，即，解得：.故答案为：【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、解答题17．已知函数（，且）是奇函数，且．(1)求，的值；(2)若对于，不等式成立，求的取值范围．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据函数是奇函数求，再代入，求；（2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为，转化为求函数的最小值问题.【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，得，所以，，得或（舍），综上，，；（2）由（1）知，，则恒成立，，，所以，对恒成立，即恒成立，设，函数由外层函数和内层函数复合而成，当，，单调递增，当，单调递增，所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为，即，则.18．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示），沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面，是棱的中点（如图2所示）．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先判定底面，再建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积计算即可；（2）利用（1）建立的坐标系，通过空间向量计算夹角即可.【详解】（1）取的中点，连接，并过点作的平行线，交于点，则．因为为等边三角形，所以．因为平面底面，且平面底面，所以底面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．因为，则，，，，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，设平面的法向量为，则即令，得．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表.上市时间/天2632市场价/元1486073(1)根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.【答案】(1)，(2)当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.【分析】（1）根据表中数据的关系可选③来描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，而根据表中数据可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.（2）利用基本不等式可求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.【详解】（1）每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选.分别把，代入，得解得，，∴，.此时该函数的图象恰经过点，∴，.（2）由（1）知，当且仅当，即时，有最小值，且.故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.20．当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）的情况，如表所示.月份56789时间代号t12345家乡特产收入y32.42.221.8(1)根据5月至9月的数据，求y与t之间的样本相关系数（精确到0.001），并判断相关性；(2)求出y关于t的经验回归方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.附：样本相关系数（若，则线性相关程度很强）.一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【答案】(1)，y与t具有很强的线性相关关系(2)不能突破1.5万元，理由见解析【分析】（1）由数据可知、、、、，代入公式求出，与比较可得答案；（2）求出、、，可得y关于t的经验回归方程，代入可得答案.【详解】（1）由5月至9月的数据可知，，，＝4＋1＋0＋1＋4＝10，，所以＝＝≈，因为样本相关系数的绝对值，所以认为y与t具有很强的线性相关关系；（2）由题得，＝＝，所以，所以y关于t的经验回归方程为，当时，，因为1.44＜1.5，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元.21．已知椭圆，离心率，它的长轴长等于圆的直径.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？【答案】(1)；(2)存在，定点为.【分析】（1）利用配方法得到圆的圆心和半径，由此得到，结合，可求得椭圆的方程；（2）先从特殊情况出发，过作斜率为和斜率不存在的直线，求出两个特殊圆可得交点为，猜想存在点，设出直线的方程和椭圆的方程联立，利用韦达定理法计算，进而即得.【详解】（1）圆方程可化为，则圆的直径为，即，，由得：，所以椭圆的方程：；（2）过点作斜率为的直线，可得直线交椭圆的两个交点为，则以为直径的圆为，过点作斜率不存在的直线，可得直线交椭圆的两个交点为，则以为直径的圆为，这两个圆的交点为，所以猜想存在点，使得以为直径的圆经过这个定点；设直线的方