2020-2021学年安徽省合肥168中学高一（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年安徽省合肥168中学高一(上)期末数学试卷

一、选择题(共12小题).

1.已知集合"={-1,0,1,2,3},4={-1,0,1},B={1,2},贝ij(CuA)n(CuB)

=()

A.{3}B.{2,3}C.{-1,0,3}D.{-1,0,2,3}

2.若必>0,则是工>工的()

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.中文“函数(加〃4。〃)”词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译,

他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数"，即函数指一个量随着另

一个量的变化而变化.下列选项中，两个函数相同的一组是()

A.f(%)=g(x)=|x|

B.f(x)=2/gx与g(x)=/gN

C.f(x)=2入与8(r)=4r

2_1

D.f(x)=x-1与g(x)=————

x+1

4.若〃皿＞0,L9=3,则"?+〃的最小值为()

mn

A.2B.6C.3D.9

5.若奇函数/(x)在区间［-2,-1］上单调递减，则函数/(x)在区间［1,2］上()

A.单调递增，且有最小值/(I)

B.单调递增，且有最大值/(I)

C.单调递减，且有最小值/(2)

D.单调递减，且有最大值/(2)

6.关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-3,1),则不等式bx2+ax+c<0的解集为()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(--,1)D.(--,1)

22

7.已知sin(a+-^-)=^^~,aeK),则tana=()

452

31

A.-3B.C.-ID.

22

'|lnx|,

8.已知/(x)=\.,若方程/(x)-Z=0至少有两个不相等的实根，则

2-lnx,x>a

々的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

TT

9.函数/(x)=sin(o)x+(p)(o)>0,|(p|<-^-)的部分图象如图所示，为了得y=sin(2x

)

B.向右平移£二个单位长度

4

D.向左平移兀;个单位长度

4

10.希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学,

特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段

圆弧分别是△ABC的外接圆和以A8为直径的圆的一部分，若NACB=2J,AC=BC=

1，则该月牙形的周长为()

R

.(373+4)兀(373+2)兀„(373+2)兀n(浦+4)兀

6363

11.给出下列命题：

(1)第四象限角的集合可表示为｛a|2Hr+多rVaV2Kr,依Z｝；

(2)函数y=k)g2(X2+4X-5)的单调递增区间为(-2,+8).

(3)函数y=2sin(3x+；)的图象关于直线x=一对称；

69

(4)函数y=x-3+中-的零点所在区间为(0,1).

其中正确命题的个数有()

A.1B.2C.3D.4

'|x-2|,x》0Xof(xi)

12.函数/(x)=<“，若XlVx2Vx3,且/(xi)=/(X2)=/(右)，则---------

2x+1,x<0X2+X3

的取值范围是()

A.[0,—)B.(0,—]C.(0,—)D.(0,—J

4422

二、填空题(共4小题).

14.Vx>l,N-2x+l>0的否定是.

15.已知=工，则/(x)=,其定义域为.

X

16.如图，点A是半径为1的半圆。的直径延长线上的一点，OA=J§,B为半圆上任意一

点，以AB为一边作等边aABC,则四边形OACB的面积的最大值为

三、解答题(共6小题).

17.(1)计算：\o^-/27+lg25+lg4-7log?2+(-8)y-log92«log481；

2cos2-^--sin0-1

(2)已知tan0=2,求-------------------的值.

TT

V2sin(6^-)

18.设集合A={x\x2-2x-3<0},集合B={x\2-a<x<2+a}.

(1)若a=2,求4U8和AA&

(2)设命题p：xEAf命题0xEB,若p是4成立的必要不充分条件，求实数〃的取值

范围.

19.已知函数/'(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，当上6[0,1)时，/(x)=x-log2(1

-X).

(I)求函数/(x)在(-1,1)上的解析式;

(2)求不等式f(logcG)-恭。的解集.

20.2005年8月15B,习近平总书记在浙江省安吉县余村首次提出了“绿水青山就是金山

银山”的重要理念.某乡镇以“两山”理念引领高质量绿色发展，努力把绿水青山持续

不断地转化为人民群众的金山银山.现决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研

究发现：一棵水果树的产量W(单位：千克)与肥料费用10X(单位：元)满足如下关系：

5，+10(0<2)

w(x)RO///、・此外，还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)20X

40TL(2<x<5)

1+x

元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求.记该棵水果树

获得的利润为f(x)(单位：元).

(1)求f(x)的函数关系式；

(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？

21.已知函数/(x)—x2+bx+c满足/(1+x)=f(1-x)且/(2)—4,函数g(x)=ax(a

>0且与函数y=logM图象关于直线y=x对称.

(1)求函数,g(x)解析式；

(2)若方程/(g(x))-g(/n)=0在1,1］上有解，求实数，”的取值范围.

JTK

22.已知函数f(x)=sin(2(DX+——)+sin(2(ox-+2sin2o).r(a)>0)的最小正周期为

IT.

(1)求函数y(x)的单调递增区间；

jrTT

(2)若函数g(x)=/(x)-。在区间［-工-，工-］上恰有两个零点，求实数”的取值

44

范围.

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.己知集合"={-1,0,1,2,3},A={-1,0,1),8={1,2},则(CuA)n(CuB)

=()

A.{3}B.{2,3}C.{-1,0,3}D.{-1,0,2,3}

解：集合U={-1,0,1,2,3},A=[-1,0,1},B={1,2},

所以AUB={-1,0,1,2),

所以(CuA)D(QB)=Cu(AUB)={3}.

故选：A.

2.若ab>0,则a<h是工>[■的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：当而>0时，—=-^-.

abab

当“Vb时、b-a>0,则1---=土工_>0,即工>工成立,

ababab

反之当[■>』■成立时，b-«>0,则ci<b成立，

ab

即是工>上的充要条件，

故选：C.

3.中文“函数（fimction）”词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译,

他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另

一个量的变化而变化.下列选项中，两个函数相同的一组是（）

A.f(x)=也鸣g⑴=M

B.f(x)=2igx与g(x)=lgx2

C./(x)=2然与g(r)=4f

D.f(x)=x-1与g(x)=W——L

x+1

解：对于A,f(x)=RR=x，定义域为R,g(x)=W，定义域为R,两函数的对应

关系不同，不是相同函数；

对于8,f(x)=2lgx,定义域为(0,+8),g(%)=lgx2—2lg\x\,定义域为(-8,0)

U(0,+8),两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是相同函数；

对于C,f(x)=2缄=4'，定义域为R,g(r)=4。定义域为R,两函数的定义域相同，

对应关系也相同，是相同函数；

对于D,f(x)=x-\,定义域为R,g(x)=————=x-1,定义域为(-8,-1)

x+1

U(-1,+8),两函数的定义域不同，不是相同函数.

故选：C.

4.若抽>0,L匡=3,则加+〃的最小值为（）

mn

A.2B.6C.3D.9

…14

解：Vmn>09—i--=3,/H>0,ZI>0,

mn

当且仅当〃=2优=2时，取等号,

所以m+n的最小值为3.

故选：C.

5.若奇函数/(x)在区间［-2,-1］上单调递减，则函数/(x)在区间［1,2］上()

A.单调递增，且有最小值/(I)

B.单调递增，且有最大值/(I)

C.单调递减，且有最小值/(2)

D.单调递减，且有最大值/(2)

解：由奇函数的单调性知，函数/(x)在区间［1,2］上得到递减，且由最大值/(I),最

小值/(2),

故选：C.

6.关于x的不等式ax2+hx+c<0的解集为(-3,1),则不等式hx2+ajc+c<0的解集为()

12

A.(1,2)B.(-1,2)C.(--,1)D.(--,1)

22

解：根据题意，不等式依2+加;+c〈o的解集为(-3,1),必有。>0,

且方程ax2+bx+c=0的两个根为-3和1,

—=-3+]=-2

则有4,解得旦=2,—=-3,

£=(-3)X17'a

a

对于bx2+ax+c<0,变形可得旦I2+X+£<0,即2x2+x-3<0,

aa

解得：Y〈XVL即不等式的解集为(Y，1),

22

故选：D.

已知sin(a+—)=恒兀

7.aG(--，n),则tana=()

452

_3_1

A.-3B.C.-1D.-

~22

jr

解：因为aE冗)，且sinT)=善

所以afc(普，兀),

土兀、I兀、2

故bcos(a+—)=\i-sin7T正，

所以cosa=cos[(a4-^—^-)]=-^-[cos(CL-n^-)+sin(Cl

哼，丹醇噜

则sina=71-coS2a=3^^,

所以tana=旦吗一=-3.

COS。

故选：A.

8.已知/(x)=("nx|,°<x<e若方程y(x)-k=o至少有两个不相等的实根，则

2-lnx,x>e

攵的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,1]C.10,1)D.[0,1]

解：函数f(x)=("nx|，o<x<e方程/(X)-4=0至少有两个不相等的实根，

2-lnx,x>e

画出函数图象如图,

当无时，函数/(x)的最大值为：1,

所以左的取值范围是：[0,1].

故选：D.

71

9.函数/(x)=sin(o)x+(p)(<o>0,|(p|<-2-)的部分图象如图所示，为了得y=sin(2x

)

B.向右平移工TT一个单位长度

4

D.向左平移T;T个单位长度

解：由图象吟=瑞…亲9J£

■,即T=TT,即2个=m得a)=2,

~123

则/(x)=sin(2x+(p),

由五点对应法得2X(-g兀)+(p=0,得(p=g兀,

63

K

则f(x)=sin(2x+—■),

o

Jl')LJi

由sin[2(x+m)+]=sin(2x+2m+--)=sin(2x-----),

336

TTTTTTTT

得2x+2m+—=2x-―,得2m=-―,得m=-—,

3624

即只需将/(x)的图象向右平移？TT个单位长度，即可，

4

故选：B.

10.希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学,

特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段

圆弧分别是aABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若/ACB=2；,AC=BC=

1，则该月牙形的周长为()

R

.(3百+4)兀(3盯+2)兀(373+2)兀(373+4)可

6363

【分析】由题意，求出AB,再求出内侧圆弧所在圆的半径，利用弧长公式及圆的周长公

式求解.

解：由AC=BC=1,/ACB=?,可得A8=百,

O

V3

设AABC的外接圆半径为r,则ri2兀

2sin'

3

又月牙内弧所对的圆心角为等，；.内弧的弧长为筌X

33

月牙外弧的长为返兀，

2

则该月牙形的周长为告(373+4)可

兀二

6

故选：A.

R

11.给出下列命题：

(1)第四象限角的集合可表示为｛a|2Mr+"|rr<a<2k7T,依Z｝；

(2)函数y=log2(/+4x-5)的单调递增区间为(-2,+~)；

TT1T

(3)函数y=2sin(3x+—)的图象关于直线工=下■对称；

(4)函数y=i-3+d的零点所在区间为(0,1).

其中正确命题的个数有()

A.1B.2C.3D.4

【分析】（1）求出象限角即可判断，（2）用复合函数法求出递增区间，（3）用特值法

确定对称性，（4）用函数递增且端点处函数值异号判断函数零点存在性.

解：对于（1）,根据象限角的定义知，第四象限的角a满足2hr+"|"nVa<2Znr+2TT,keZ,

而集合{a|2kTT+"|TT<a<2垢，依Z}=0,则（1）错；

对于（2）,X2+4JC-5>0=>.r<-5,》>1=函数y=log2（x2+4x-5）的单调递增区间为（1,

+8）,

则⑵错；

'11ITTTJI

对于（3）,当》=飞~时，y=2sin（3,-^T•飞-）=2,达到最大值，所以函数y=2sin（3x+-^）

JT

的图象关于直线x=2•对称，则（3）对；

9

对于（4）,f（0）=-2<0,/（1）=e-2>0,所以函数.y=x-3+^所（0,1）内有零

点，又因为/（X）在R上严格递增，所以只有一个零点，则。对；

故选：B.

|x-2|,X》0Xnf（X1）

12.函数=4.（若X1<X2<X3,且/（»）—f（X2）=/（X3）,则----------

2X+1,X<0X2+X3

的取值范围是（）

A.[0,—）B.（0,—]C.（0,—）D.（0,—]

4422

【分析】由题意画出图形，不妨设羽<X2〈X3,则及+刑=4,初€（0,2）,把问题转化

为关于X2的二次函数求解.

1x-2|,

解：作出函数/（X）=\4'的图象如图，

2,x<0

X2G(0,2)，

由/(xi)=/(X2)，得2、1+1=2-乂2，

xf(x

.2P_X2(2-X2)12c、

-X2+X3——4—=?('x2+2X2)，

2+G

,"X2&(0,2),(-X22X2)(0,

故选：B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

1Qz17ITV3

13.cos(-----)—___---.

6---21

【分析】原式利用余弦函数为偶函数化简，将角度变形后利用诱导公式化简，计算即可

得到结果.

17兀17兀JT7TTT

解：cos(-------)=cos-...=cos(3TT----)=cos(2ir+n-----)=cos(n--—)

66666

兀a

--cos—=---.

62

故答案为：-返

2

14.Vx>l,/-2x+l>0的否审是.mx>1,/-ir+IWO.

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，否定结论即可得到所求.

解：全称命题Vx>l,x2-2x+l>0,

由全称命题的否定是特称命题得Vx>l,N-2x+l>0的否定是：3x>l,x2-2%+K0.

故答案为：3x>l,/-2x+lW0.

15.已知.则f(x)=—~~(x>l),其定义域为(1,+8).

X-(X-1)

【分析】令Gl=f，贝x=(f-1)2,从而求出函数的解析式即可.

解：令则f>l，X=

故f⑺=,'a'(闫)，

'：t-1^0,解得：样1,故>1,

故/(X)=,1、2，(X>1)，

(x-1)

故/(X)的定义域是(1,+8),

故答案为：,1、2(X>1),(1,+8).

(x-1)2

16.如图，点A是半径为1的半圆。的直径延长线上的一点，。4=愿，B为半圆上任意一

点，以48为一边作等边△ABC,则四边形OACB的面积的最大值为_2四

OA

【分析】设NAOB=。，并根据余弦定理，表示出△A8C的面积及△OAB的面积，进而

表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型

函数最值的求法进行求解.

解：四边形OAC2的面积的面积+A4BC的面积，设NAO8=0,

：.AB2=OA2+OB2-20A•OB・sinO=3+l-2X1X乃in6=4-275sinO

则△ABC的面积=L・A8・AC・sin60°=亚

24

/\OAB的面积=1・OA・OB・sinO=工X1X

22

四边形OACB的面积=堂COS。)

(0-60°),

故当。一60°=90°,即9=150。时，四边形OAC8的面积最大值为扬J§=2詹,

故答案为：2M.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)计算：log3V27+^25+/^4-7log72+(-8)Iog92・log481；

2cos2-^-sin6-1

(2)已知tang2,求--------------------的值.

TT

V2sin(9

【分析】(1)直接利用有理指数慕和对数的运算性质进行变形化简，即可得到答案：

(2)利用二倍角公式以及两角和差公式将要求解得式子化简，然后再利用同角三角函数

关系求解即可.

3J_

2334

解:(1)3+lg(25X4)-2+(-2)-logqZ2'log„z3

22

='+2-2-2-l=；;

o0

(2cosl)-sin9A.

(2)原式:--------------4--------------------血尸吧

r-.兀工a.KXsin0+COS0

V2\(.sinAucos-^+coswsm)

_l-tan9_1

tan6+13

18.设集合A={X|X2-2X-3<0},B={x\2-a<x<2+a].

(1)若a=2,求AUB和AC8；

(2)设命题p：xeA,命题q：xeB,若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值

范围.

【分析】(1)根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合并集和交集定义进行计算即

可.

(2)根据必要不充分条件的定义转化为8是A的真子集，进行求解即可.

解：(1)A={x|/-2x-3<0}={川-1<x<3},

当a=2时，8={x|0<x<4},

贝I]AUB={W-l<x<4},AnB={x|0VxV3},

(2)若p是q成立的必要不充分条件，

则B是A的真子集，

贝！]2-a^2+a或-1W2-a<2+aW3,

得aWO,或0<aWl,

综上“W1

即实数。的取值范围是(-8,1].

19.已知函数F(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，当x€[0,1)时，/(x)=x-log2(1

-X).

(1)求函数/(X)在(-1,1)上的解析式；

(2)求不等式/(log“J0-的解集.

【分析】(1)设xE[-1,0),则-犬00,1),由当xE[0,1)时，f(x)=x-logi(1

-x),结合函数的奇偶性即可求解函数/(无)解析式；

(2)判断函数/(x)的单调性，结合函数的奇偶性将不等式转化为即-1

<10g(,x<l,再对。分类讨论，即可求得不等式的解集.

解：(1)设立[-1,0),则-X6[O,1),

所以/（-X）=-X-log2（I+x）,

又函数/CO是定义在（-1,1）上的偶函数,

所以/（-X）=/（X）,

则/（X）=/（-X）=-X-log2（1+工），

\-log2（l-x）,x€（0,1）

所以f（X）=<

+

-x-log2（lx）,x€（-1,0）

（2）不等式/（log八Q）-全。可化为不等式/（10g“G</（y）,

因为当尢［0,1）时，f（x）=x-log2（1-X）为增函数，

且函数/（X）是定义在（-1,1）上的偶函数，

所以原不等式等价于即-

所以当时，不等式的解集为（«',4）;

当0<“<1时，不等式的解集为（a,a'）.

20.2005年8月15日，习近平总书记在浙江省安吉县余村首次提出了“绿水青山就是金山

银山”的重要理念.某乡镇以“两山”理念引领高质量绿色发展，努力把绿水青山持续

不断地转化为人民群众的金山银山.现决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研

究发现：一棵水果树的产量卬（单位：千克）与肥料费用10x（单位：元）满足如下关系:

5乂2+10（0<x<2）

卬（X）=120,,/此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）20x

40-^-（2<x<5）

I1+x

元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求.记该棵水果树

获得的利润为/CO（单位：元）.

（1）求f（x）的函数关系式；

（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）直接由题意写出分段函数解析式即可；

（2）对（1）中的函数分段求最值，取最大值中的最大者得结论.

5X2+10（0<X<2）

解：⑴W（X）=<40TL（2<x45）

1+x

80X2-30X+160（0<X<2）

由题意，f(x)=16卬(x)-20x-10x=<需—）;

640-

(2)当OWxW2时，f(x)mu=f(2)=420；

当2<后5时,f(x)=670-30L^-+(x+l)]<670-60J^-.(x+l)=430.

当且仅当普=x+l，即x=3时上式取等号.

x+1

故当投入的肥料费用为30元时，该水果树获得的利润最大，最大利润是430元.

21.已知函数f(x)=N+bx+c满足/(1+无)=/(1-x)且/(2)=4,函数g(x)=ax(a

>0且〃W1)与函数y=logxr图象关于直线y=x对称.

(1)求函数f(x),g(x)解析式；

(2)若方程f(g(x))-g(加)=0在工日-1,1]上有解，求实数机的取值范围.

【分析】⑴根据题意，由二次函数的性质可得-5=1,则b=-2,又由"2)=4,

则/(2)=4+4+c=4,可得c的值，即可得/CO的解析式，由反函数的性质可得g(x)

的解析式，即可得答案，

x

(2)根据题意，求出y=.f(g(x))-g(加的解析式，令3=t9xe[-1,1],利用换

元法分析可得直线y=3，"与函数丫=祥-2什4在区间[得，3]上有交点，由二次函数的性质

O

分析可得y=P-2什4的值域，可得3W3”W7,求出机的取值范围，即可得答案.

解：(1)根据题意，函数f(x)=x2+bx+4满足f(1+x)=/(1-x),

即函数ya)的对称轴为x=i,则有-£=i,则人=-2,

又由/(2)=4,则/(2)=4+4+c=4,贝！Ic=4,

故/(x)=x2-2x+4,

函数g(x)=出(〃>0且aWl)与函数y=log3X图象关于直线y