2021-2022学年天津二十中高三（上）第一次学情调研数学试卷（学生版+解析版）

2021-2022学年天津二十中高三（上）第一次学情调研数学试卷

一、选择题（每题5分）

1.（5分）已知全集。=/?,集合A={R3Wx<7},B={x\x1-7x+10<0},则Cu（AAB）=

（）

A.{小<3或x>5}B.{4xW3或x25}C.{木<3或x25}D.{小W3或x>5}

2.（5分）已知“，?为实数，则%>/'是"logo.5（2a-1）<logo,5（2b-1）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1—X

3.（5分）函数/G）=ln\----1的大致图象为（）

4.(5分)已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且aWl)的图象恒过定点A,若点4也在函

数/(x)=3"+〃的图象上，则f(log94)=()

8752

A・-B.-C.一D.一

9999

5.(5分)已知定义在R上的奇函数/(%)满足/(x+2)=-/(1)，且在区间［1,2］上是减

函数，令a=bi2,b=(3Wc=的工2,则f(a),f(h),/(c)的大小关系为()

A.f(b)<f(c)<f(tz)B.f(a)<f(c)<f(b)

C.f(c)<f(/?)</(a)D.f(c)<f(a)<7'⑹

6.(5分)函数/(x)=sin(uir+(p)(其中3>0,0<(p<^)的图象如图所示，为了得到

y=sinx图象，则需将），=/（%）的图象（)

B.横坐标缩短到原来的点再向左平移蔡个单位

71

C.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移二个单位

4

71

D.横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移g个单位

7.（5分）已知函数/'（x）=sin2x+s讥（2x+刍+1,则下列结论正确的有（）个

①fG+%）=/G-%）；

②（一各0）是函数f（x）的一个对称中心；

③任取方程f（X）=1的两个根XI，X2>则由-X2|是IT的整数倍；

④对于任意的x2,x3e[0,勺，f（xi）+f（X2）河（X3）恒成立.

A.1B.2C.3D.4

8.（5分）已知函数/（x）是定义在R上的偶函数且满足了（2-x）=/（%）,当在[0,2]时，

f（x）=-7+2x-l,则函数gCx）—f（x）Togi（|x|-1）的零点个数为（）

3

A.0B.2C.3D.4

（\2X-1\,x<2

9.（5分）已知函数/（x）=]3若函数g（x）=/l/（x）J-2的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空题（每题5分）

10.（5分）若集合A={（x,y）Lv=ax2-1},B={（x,y）|y=3x-3},AAB的元素只有

一个，则实数a的取值集合是.

11.（5分）若复数z满足：z（1+i）=|l+gi|,则复数z的虚部是.

12.(5分)在(五一》9的展开式中的常数项是.

13.(5分)某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口.如果他恰好遇见2

次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有种；如果他在每个路口遇见红灯的

概率均为点用《示他遇到红灯的次数，则E(D=.(用数字作答)

14.(5分)已知4〃>0,则a+总+总的最小值为

15.(5分)函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且/(x)+2g(x)=

若关于x的方程f(2r)-mg(x)=0在区间(0,2］内有解，则实数m的最小值

为.

16.(5分)已知函数f(x)-m*3x+i+m2-5.若存在xoCR,使得/(-xo)=-/(xo),

则，〃的取值范围是.

四、解答题(每题15分)

17.(15分)已知函数/(x)=2asing-x)cos(x-冬)，且/(亨)=1.

(1)求a的值及f(x)的最小正周期；

(2)若/(a)=-g,a€(0,，)，求sin2a.

18.(15分)已知△ABC中，角c的对边分别为a,b,c,3&osC+2csinCsinB=0.

(1)求角C；

(2)若c=2b，S4ABe=原，求a+6的值.

(3)若c=2百，a=g,求sin(24+g).

19.(15分)如图，四边形ABC。是正方形，EA_L平面48C£>,EA//PD,AD=PD=2EA

=2,F,G,”分别为PB,EB,PC的中点.

(1)求证：FG〃平面PED；

(2)求平面FGH与平面P8C所成锐二面角的大小；

71

(3)在线段PC上是否存在一点使直线与直线外所成的角为三?若存在，求出

线段PM的长；若不存在，请说明理由.

20.(15分)如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面四边形ABCO是菱形，ACQBD=O,

△B4C是边长为2的等边三角形，PB=PD=y/6,AP=4AF.

(1)求证：POJ_底面ABC。；

(2)求直线CP与平面BQF所成角的大小；

(3)分别求出C到平面BDF的距离及到BF的距离.

21.(15分)已知函数/(x)=x(Inx-m-1),mGR.

(I)若〃?=2,求曲线y=/(x)在点(e,/(e))处的切线方程；

(II)当x>l时，求函数f(x)的单调区间和极值；

(111)若对于任意x€[e,/),都有/(x)<4/”x成立，求实数的取值范围.

2021-2022学年天津二十中高三（上）第一次学情调研数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题5分）

1.（5分）已知全集U=R,集合A={x[3Wx<7},B={x|x2-7x+10<0},则Cu（AHB）=

（）

A.{x|x<3或x>5}B.{RxW3或x25}C.{x|x<3或x25}D.{xpcW3或x>5}

【解答】解：-7x+10V0}={x[2<x<5},A={x|3Wx<7},

.*.AnB={x[3Wx<5},

，Cu（ACS）={小<3或x25},

故选：C.

2.（5分）已知a,b为实数，则"a>6"是"logo.5（2a-1）<logo.5（2b-1）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：①当a=-2,h=-3时，满足a>h,但logo.5（2a-1）,logo.5（2/?-1）

无意义，.•.充分性不成立，

②：logo.5（2a-1）<logo,5（26-1），y=logo.5x为减函数，

...必要性成立，

.•♦a>b是10go.5（2a-1）<logo.5（26-1）的必要不充分条件,

故选：B.

1—X

3.（5分）函数/（x）=ln\-----1的大致图象为（）

1—x

【解答】解：函数f(X)=ln\——I，

1+x

1+x1-X

可知f(-x)=ln\---1=-ln\---1=-f(x),函数是奇函数，排除选项A,C,

1-x1+X

1—X1—%

当x>0时，|---1<1,ln\---1<0,

1+x1+x

对应点在第四象限，排除D

故选：B.

4.(5分)已知函数y=k)g〃(x+3)-1(a>0且。#1)的图象恒过定点A,若点A也在函

数f(x)=3x+b的图象上，则f(log94)=()

8752

A.-B."C.—D.一

9999

【解答】解：・・•函数y=log〃(x+3)-1(a>0,〃W1)的图象恒过定点4(-2,-1),

将1=-2,y=-1代入y=3x+b得：

32+/?=-1,:.b=一"^，

・，・/(x)=3'-当，

则/(Iog94)=/(log32)=3噌2—等=2-等=|)

故选：A.

5.(5分)已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+2)=-/G),且在区间［1,2］上是减

函数，令a=ln2,h=(4)2>c=log"则/(a),f(/?),f(c)的大小关系为()

42

A./⑹<f(c)<f(a)B.f(«)<f(c)<f(ft)

C.f(c)<f(fe)</(<s)D.f(c)<f(a)<f(b)

【解答】解：根据题意，定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+2)=-/(X),则有/(x+2)

=f(-X)，

即函数/(x)的图象关于直线x=l对称，

又由/(x)在区间［1,2］上是减函数，则/(x)在区间fO,1］上为增函数，

则/⑴>0,

又由a=/〃2,则0<a<l,b=(1)-2=V4=2,/(2)=/(0)=0,

c=logi2=-1,则/(c)=f(-1)=-/(1)<0,

则有f(c)<f(b)</(a)；

故选：C.

6.（5分）函数fG）=sin（a）x+（p）（其中u）＞0,0＜（p＜J）的图象如图所示，为了得到

横坐标缩短到原来畤,71

B.再向左平%个单位

7T

C.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移一个单位

4

71

D.横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移石个单位

【解答】解：根据函数/（%）=sin（u）x+（p）（其中u）＞0,0＜（p＜^）的图象,

127T77r37r

可得A=l,—•—=———,（D=2.

2388

再根据五点法作图，可得2x猾+（P=TT,.•.＜p=*.•.函数/（x）=sin⑵+»

故把函数f（x）=sin（2x+I）的图象横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x+[）的

图象,

71

再向右平移二个单位，可得y=sinx的图象,

4

故选：C.

7.（5分）已知函数/'（%）=sin2x+s讥（2%+专）+1,则下列结论正确的有（）个

①f（E+x）=fg_x）；

②（一各0）是函数f（x）的一个对称中心;

③任取方程f（x）=1的两个根XI，X2,则枕1-切是TI的整数倍;

④对于任意的%1，X2f%3W[0，勺,/（XI）4/（X2），/（X3）恒成立.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：函数f(x)=sin2x+sin(2x+/)+1=y/3sin(2x+.)+1,

对于①，/(f+x)=/(J-x)；则函数/(x)关于五=亨对称，

即当工=3时，f(­)=V3sm^+1=+1,故①错误；

对于②，当x=—金时，/(一仓)=1，故(一各1)是函数/(冗)的一个对称中心，故

②错误；

对于③任取方程f(x)=1的两个根为，物故国sin(2x+苓)+1=1,

整理得2%+s="(依Z),故％=竽一今(依Z),

所以的一=3(七—七)，故旧-X2I是彳的整数倍，故③错误；

42

TT7T2TC

对于④由于工£[0，?],所以工二2%+二4二-,所以/Qi)+f(%2)=2(次si屋+1)=

V3+2,

f(X3)<V3sin^+1=V3+1,所以1/(xi)+/(刈)]加加(后)丽，

故对于任意的修，X2,X3G[0,勺，/(XI)4/(X2)河(X3)恒成立，故④正确.

故选：A.

8.(5分)已知函数/(x)是定义在R上的偶函数且满足/(2-x)=/(x),当x€[0,2]时，

于(x)--x^+2x-1.则函数g(x)—f(x)-Zogi(|x|-1)的零点个数为()

3

A.0B.2C.3D.4

【解答】解：因为/(2-x)=/(%)且为偶函数，

所以/(2-x)=于(x-2)=f(x),

所以函数/(x)周期为2,

当xC[O,2]时，/(x)=-X2+2X-1,

可作出函数/(X)在x[O,2]时的图象，由周期性可得/(x)的图象，

函数g(x)的零点个数即函数/(x)和y=log1(|A|-1)图象交点的个数，

3

在同一个坐标系中作出函数/(x)与y=k)g1(|x|-1)的图象，

3

如图所示,

由图象可知，两个函数图象有4个交点，故函数零点个数为4个.

故选：D.

9.(5分)已知函数/(x)=]3若函数g(x)=/l/(x)]-2的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

f|2x-l|,x<2

【解答】解：•函数/(%)=3，

—7-,xN2

vx—1

X

|2-1|E[0,2]xG(-oo,log23)

X

2-1G(2,3),xE[log23,2)

(x)=<3

—T6(2/3],2<x<|>

x-1'」

3x

—7e(0,2],-f

.,.xe(-8,Iog23)时，/(/(x))=|2吁11-1忙[0,3],令f(f(x))=2,解得x=

10g2(l+10g23).

37

同理可得：%G[log23,2)时，------=2,解得/=/。02亍

2X—1—1/

53,Q

xN5时，|2%-1-1|=2，解得x=1+/cc

综上可得：函数g(x)=/V(x)]-2的X零点个数为4.

故选：B.

二、填空题(每题5分)

10.(5分)若集合A={(x,y)卜=--1},B={(x,y)|y=3x-3},ACB的元素只有

一个，则实数”的取值集合是{0,台.

【解答】解：由?=得，a?-3x+2=0,

(y=3%—3

〈AGB的元素只有一个,

・•・①〃=0时，X=|，满足题意;

②aWO时，方程ov2-3x+2=0有两个相等的实数根，.•.△=9-8〃=0,解得。="

O

实数a的取值集合是｛0,|）.

故答案为：｛0,|）.

11.（5分）若复数z满足：z（1+/）=|1+V3;|,则复数z的虚部是-1

【解答】解：由z(1+i)=|1+V3z|=J12+(遮)2=2,

2

得Z=2(1)1-i,

1+7-(i+i)(i-0

・,・复数z的虚部是-1.

故答案为：-1.

12.（5分）在（正-》9的展开式中的常数项是4

【解答】解：展开式的通项为图+1=（-1厂（；京空

9-3r

令一^―=0解得r=3

所以展开式的常数项为-3=-84

故答案为：-84

13.（5分）某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口.如果他恰好遇见2

次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有10种;如果他在每个路口遇见红灯的

15

概率均为；，用［示他遇到红灯的次数，则七（9=二.（用数字作答）

【解答】解：某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口.

如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形分别为：

红红绿绿绿，红绿红绿绿，红绿绿红绿，红绿绿绿红，绿红红绿绿，

绿红绿红绿，绿红绿绿红，绿绿红红绿，绿绿红绿红，绿绿绿红红，

.•.这2次红灯的不同的分布情形共有10种.

他在每个路口遇见红灯的概率均为点用S示他遇到红灯的次数，

,115

则彳~8（5,：.E⑴=5xg

故答案为：10,1

14.(5分)已知a>b>0,则“+$+乌的最小侑为2+2。.

a+ba-b---------------

【解答】解：因为。>6>0,

4?1QAIP-

则。+币+曰=2(a+b+市+“'b+口)E(a+b)x帝+

］(”切.1=2遮+2,

当且仅当a+b=盘且a-h=-^-r,即a=V2+1,〃=夜一1时取等号，此时取得最小

a+ba—b

值2+2夜.

故答案为：2+2企.

15.(5分)函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且/G)+2g(x)=

时若关于x的方程火2x)-,wg(x)=0在区间(0,2］内有解，则实数机的最小值为_A^2_.

【解答】解：,.丁(x)+2g(x)=/,

.*./(-x)+2g(-x)—ex,

又函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，

:.f(x)-2g(x)=ex,

•”x)一竺七£a)_e'-e-x

・・/中，一2，g-4»

V/(2x)-nig(x)=0在区间(0,2］内有解，

.•.m=2(黑暮在区间(0,2］内有解，

令，”--。，e2「2］,则“2纥+亭，)=Z/yO+z

Jex—exex—ext

闩内有解,

又y=2/+124VL当且仅当/=鱼时取等号，

：.m的最小值为4夜.

故答案为：4立.

16.(5分)已知函数f(x)-m-3x+'+m2-5.若存在xoCR,使得/(-xo)=-/(xo),

则m的取值范围是f-1,+8).

【解答】解：函数f(x)=必-力3户1+/-5,

若存在xo€R,使得/(-xo)=-f(AO),则/(-刈)+f(xo)=0,

即9ro—m*3~x°+1+m2-5+9x°—m*3x°+1+m2-5=0,

设/=3*。+3­。,贝h》2,

方程可化为t2-3mt+2m2-12=0-22,

即关于t的方程t2-3皿+2"，-12=0在［2,+8）上有解,

令g(f)=?-3〃"+2〃P-12,由题意得,

贝(JZ\=9帆2-8加2+48>0,g(2)=2/n2-6m-8^0,3M24或g(2)WO,

m>4<-1

4或-1W〃ZW4,

1m^3

解得"724或-1

即机2-1,

故答案为：[-1,+8).

四、解答题(每题15分)

17.(15分)己知函数/'(%)=2asin(^-%)cos(%-争，且f(亨)=L

(1)求〃的值及/(x)的最小正周期；

(2)若/(Q)=—4，aG(0,分求sin2a.

【解答】解：(1)由/(%)=2asi九—x)cos(x—^-),且//)=1>

得2QX/X3=1，解得〃=2.

/./(%)=4cosx(^-sinx—cosx)=2\[3sinxcosx_2cos2x

=y/3sin2x—cos2x—1=2sin(2x一看)一1.

.,./（%）=2sin（2x--1的最小正周期为冗;

(2)由/⑷=_g,得2s沅(2a一看)-1=一号，sin(2a—专)=上,

*：a6（0,分・・.2a一看£（一看，,）,

又si?i(2a—不)=WV)，**•2a—E(0,召).

.g兀、272

・・cos(2.ct-&)=3.

则sin2a=sin[(2a-+勺=sin(2a—亲)cos看+cos(2a—看)sin71

6

1V3,2721>/3+242

3XT+—X2=~

18.(15分)已知△ABC中,角c的对边分别为a,b,c,3/>cosC+2csinCsinB=0.

(1)求角c

(2)若c=2次，S^ABC=V3,求〃+h的值.

(3)若c=2B，a=^,求sE(2A+§).

【解答】解：(1)由正弦定理及3fecosC+2csinCsinB=0得3sinBcosC+2sinCsinCsinB=0.

因为sin8>0,

所以3cosc+2sin2c=0,即3cosc+2-2cos2C=0,

解得cosC=一方或cosC=2(舍)，

由C为三角形内角得。=等；

(2)因为S^ABC=^absinC-^-ab=V3,

所以ab=4,

因为c=2g,

由余弦定理得(^=。2+廿-2〃加osC,即12=。2+■+。〃=(。+6)2-ab=(a+6)2-4,

所以a+〃=4；

(3)由正弦定理得—,

sinAsinC

2取导

所以sinA=4

3

4J707

故sin2A=2sinAcosA=-5-,cos2A=1-2sin，A=不,

77

由I'l•1V、1.04.0414；2,V374V2+7V3

所以si7i(2/+a)=cos2A=5x——F-yxQTQ

J乙QSITCZA+N)47乙7=JLO—.

19.(15分)如图，四边形ABC。是正方形，E4_L平面43c。，EA//PD,AD=PD=2EA

=2,F,G,，分别为P8,EB,PC的中点.

(1)求证：FG〃平面PEC；

(2)求平面FGH与平面P8C所成锐二面角的大小；

71

(3)在线段PC上是否存在一点例，使直线尸仞与直线雨所成的角为孑？若存在，求出

线段PM的长；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)证明：因为尸，G分别为尸8,8E的中点，所以FG〃尸E.

又FGC平面PED,PEu平面PE£>,所以FG〃平面PED

(2)解：因为EA_L平面4BC。，所以PD_L平面ABC。，所以PD_LA£>,PD1CD.

又因为四边形ABC。是正方形，所以AOLCZ).

如图建立空间直角坐标系，

因为AO=PO=2E4,所以。(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),

C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,1).

1

因为RG,“分别为PB,EB,PC的中点，所以尸(1,1,1),G(2,1,-),H(0,

2

1,1).

T〔T1

所以GF=(-1,0,1),GH=(-2,0,1),

设云=g%,Zi)为平面FGH的一个法向量，则竹？=°，即卜1+芳=。，

%,GH=01一2/+2—0

再令=得云=(0,1,0).

PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2),

设3=(X2,丫2,Z2)为平面P8C的一个法向量，则P=°(2X2+2y2—2Z2=0

12y2-2Z2=0

n2,PC=0

令Z2=l,得R=(0,L1).

|(0,1,0)-(0,1,1)|_&

所以|cosVyt新＞|=

内词w?一丁

|ni|-|n2|

71

所以平面bG”与平面P8C所成锐二面角的大小为一.

4

(3)在线段PC上存在点使直线尸M与直线PC所成角为60°

证明：假设在线段PC上存在点“，使直线尸M与直线PC所成角为60°.

依题意可设茄=4忌，其中0WXW1.

由而=(0,2,-2),则战=(0,23-2A).

又因为局=M+P%,FP=(-1,-1,1),

所以京=(-1,24-1,1-2A).

又直线与直线处成60°角，易(2,0,-2),

所以1皿＜而易＞|E，即:赤宏疆尊解得：人|.

所以P力=(0,一3，IP访=Jo+2x($2=乎.

5V2

所以,在线段PC上存在点M,使直线FM与直线PC所成角为60°,此时PM的长为一.

4

X

20.(15分)如图所示，在四棱锥P-A8CD中，底面四边形A8CZ)是菱形，ACHBD=O,

△B4c是边长为2的等边三角形，PB=PD=V6,AP=4AF.

(1)求证：”＞_1底面48。。；

(2)求直线CP与平面BD尸所成角的大小；

(3)分别求出C到平面BDF的距离及到BF的距离.

【解答】解：（1）证明：•••底面四边形ABC。是菱形，ACCiBD=O,

，。是AC,8。的中点，

又是等边三角形，

J.OPLAC,

又PB=PD,

J.OPVBD,

又ACnBD=O,且ACu平面ABC。，BDu平面"CD,

•\OP_L平面ABC。；

(2)由四边形A8CZ)是菱形可知，AC1BD,

又由(1)知OP_LAC,OPVBD,故可建立如图所示的空间直角坐标系，

由△物1c是边长为2的等边三角形，PB=PD=网,可得OP=B，OB=OD=V3,

：.A(1,0,0),C(-l,0,0),B(0,W，0),P(0,0,V3),

：.CP=(1,0,V3),AP=(-1,0,V3),

又由已知可得办=&+/G=4，0,空)，

.(n-OB=V3y=0-

设平面BO尸的法向量为n=(x,y,z),则一反，则可取n=(l,0,

[n-OF=^x+^-z=0

I44

-V3),

cos<CP,n>=£‘71=—i,

|CP||n|

直线CP与平面8。尸所成角的正弦值为之即直线CP与平面3DF所成角为巴；

26

(3)CF=CO+OF=(^,0,务BF=BO+OF=(^,一百，字)，平面BDF的

法向量n=(l,0,—V3),

TTZ_3

AC到平面BDF的距离为"当=谤==

\n\Vi+32

—>—