上课：1.3.2-球的体积与表面积备课讲稿课件

上课：1.3.2-球的体积与表面积上课：1.3.2-球的体积与表面积

面积体积圆柱S侧＝

圆锥S侧＝圆台S侧＝

2πrhπrlπ(r1＋r2)l柱、锥、台的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝圆锥S

面积体积直棱柱S侧＝正棱锥S侧＝正棱台S侧＝球S球面＝？？V=

面积体积直棱柱S侧＝正棱锥S侧＝正棱台

球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容.

一、球的体积h1、曹冲称象法测小球的体积球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hH小球的体积

等于

它排开液体的体积hH小球的体积

2、球的体积公式定理:半径是R的球的体积是从球的结构特征可知，球的大小是其半径所确定的。OABCRR2、球的体积公式定理:半径是R的球的体积是从球的结构特征可

定理半径是的球的表面积：

球的表面积是大圆面积的4倍R

二、球的表面积定理半径是的球的表面积：球的表面积

三、球的内切、外接问题定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，

则称这个多面体是这个球的内接多面体，

这个球是这个多面体的外接球

定义2：若一个圆锥的顶点和底面所在的圆都在一个球的球面上，则称这个圆锥是这个球的内接圆锥，

这个球是这个圆锥的外接球

定义3：若一个圆柱的上下底面所在的圆都在一个球的球面上，则称这个圆柱是这个球的内接圆柱，

这个球是这个圆柱的外接球

三、球的内切、外接问题定义1：若一个多面体的各顶点都在一个如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这

定义4：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的外切多面体，

这个球是这个多面体的内切球

定义5：若一个圆柱（锥）的各面都与一个球的球面相切，

则称这个圆柱（锥）是这个球的外切圆柱锥）

，

这个球是这个圆柱（锥）的内切球

定义4：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)

球的体积等于圆柱体积的，(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。分析：由题可得：球内切于圆柱作圆柱的轴截面（如图）证明:(1)

设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R。.例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.分析：由题可

一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比为（）(A)2∶5(B)1∶2(C)2∶3(D)4∶9巩固练习OBAAB一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之

思考题：已知圆锥的底面半径是其内切球的半径的倍，求二者体积的比OCBAABC思考题：已知圆锥的底面半径是其内切球的半径的倍，求

例2、若正方体的棱长为a，求：⑴正方体的内切球的体积正方体的内切球直径=正方体棱长例2、若正方体的棱长为a，求：⑴正方体的内切球的体积正方体

⑵正方体的外接球的体积对角面ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。⑵正方体的外接球的体积对角面ABCDD1C1B1A1O球的

⑶与正方体所有棱都相切的球的体积球与正方体的各棱的切点恰是每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面⑶与正方体所有棱都相切的球的体积球与正方体的各棱的切点恰是ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径球内切于正方体的棱.OABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径球

巩固练习1、甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，

丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()

A.1:2:3 B. C. D.A∵球的外切正方体的棱长等于球直径：正方体的面对角线等于球的直径∵球内切于正方体的棱时球的内接正方体的体对角线等于球直径：解：设正方体的棱长为a巩固练习1、甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则对角线长为2、球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2,求此球体的表面积和体积解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对

变式题1、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.C2、表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。解：设球半径为R,正四棱柱底面边长为a,变式题1、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为

3、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为,求球的表面积和体积。解：作轴截面如图所示，设球半径为R,则:3、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内

COASB例3、求棱长为1的正四面体外接球的体积COASB例3、求棱长为1的正四面体外接球的体积

DABC1

解法2：如图,将正四面体放置在棱长为的正方体中，则A1、C1、B、D是棱长为1的正四面体的顶点。所以正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径DABC1解法2：如图,将正四面体放置求正多面体外接

探究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球的的问题。问题：如果一个正四面体的各棱都与一个球相切，那么是否也可以借助正方体来解决？即正四面体的外接球即为正方体的外接球。DABC探究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球的的问题。问题：

与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球结论:(1)正四面体的外接球即为正方体的外接球，(2)与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心，在正四面体的高的一个靠近面的四等分点上

与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球结论:

例4、若正四面体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积∽由解：作出过一条侧棱PC和高PO的截面，则截面三角形PDC的边PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圆与DP、DC相切，连结EO，设球半径为r，例4、若正四面体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球

解法2：连结OA、OB、OC、OP，那么解法2：连结OA、OB、OC、OP，那么

探究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球及和正四面体的各棱都相切的球的问题。一个正四面体的各棱都与一个球相切，则该球就是正方体的内切球即正四面体的外接球即为正方体的外接球。DABC探究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球及和正四面体的各

即正四面体的外接球即为正方体的外接即正四面体的外接球即为正方体的外接

解题（1）正四面体的外接球即正方体的外接球，正四面体的内切球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，这三个球的球心都在正方体的中心，又是正四面体的高的一个靠近面的四等分点解题（1）正四面体的外接球即正方体的外接球，

与正四面体各棱都相切的球的半径为与正四面体各棱都相切的球的半径为

巩固练习1、正三棱锥的高为1，底面边长为,求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。解：过侧棱AB与球心O作截面(如图),AE切圆O于F在正三棱锥中，BE是正△BCD的高，O1是正△BCD的中心，且AE为斜高设内切球半径为r，则OA=1－r1O1ABEOCDF巩固练习1、正三棱锥的高为1，底面边长为

2.三棱锥P—ABC的三条侧棱互相垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，则该三棱锥的外接球的半径等于____.2.三棱锥P—ABC的三条侧棱互相垂直，且PA=1，PB=

例5、在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，求球的表面积.思路点拨：由截面面积可求出截面圆的半径，两截面相距1cm，可求出球的半径，可先画出图形，再把问题平面化.例5、在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5π

巩固练习1.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π,则球的体积为()【解析】选C.设球的半径为R，则截面圆的半径为所以截面圆的面积球的体积故选C.巩固练习1.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积

2.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积.解:设截面圆心为O',连结OA,设球半径为R.则:2.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径

思考题在球内有相距2cm的两个平行截面，截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心在截面之间，求球的表面积.思

正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一球面上，其该球的体积课外探究DACBSO

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DB正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱